AMC 10 · 2008 · #20

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

probability-basicparitycomplementary-counting complementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 정육면체 주사위의 면에는 $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $4$ 의 수가 적혀 있다. 다른 주사위의 면에는 $1$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $8$ 의 수가 적혀 있다. 두 주사위의 윗면에 나온 두 수의 합이 $5$ , $7$ , 또는 $9$ 일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 5/18$

(B)

$\ 7/18$

(C)

$\ 11/18$

(D)

$\ 3/4$

(E)

$\ 8/9$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 주사위의 면에는 $1, 2, 2, 3, 3, 4$가, 다른 주사위의 면에는 $1, 3, 4, 5, 6, 8$이 적혀 있다. 두 주사위를 던져 윗면의 두 수를 더할 때, 그 합이 $5$, $7$, 또는 $9$가 될 확률을 구하라.

주어진 것: 주사위 A의 면: $1, 2, 2, 3, 3, 4$ ($2$와 $3$은 각각 두 번 나타남); 주사위 B의 면: $1, 3, 4, 5, 6, 8$ (모두 서로 다름); 두 주사위는 공정하여 각 면이 나올 가능성이 모두 같음; 두 번의 던지기는 서로 독립이므로 면의 쌍은 $6 \times 6 = 36$가지이며 모두 같은 확률; 선택지: (A) $5/18$, (B) $7/18$, (C) $11/18$, (D) $3/4$, (E) $8/9$

구하는 것: 두 윗면의 합이 $5$, $7$, 또는 $9$가 될 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기, #16 관점 바꾸기

두 주사위 문제를 깔끔하게 푸는 방법은 덧셈표를 완성하는 것이다(도구 #2). 행은 주사위 A의 여섯 면, 열은 주사위 B의 여섯 면으로 두고 각 칸에 두 수의 합을 적으면, 같은 확률을 갖는 $36$가지 결과가 한눈에 놓여 빠뜨리거나 중복 세는 일이 없다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 합이 $5$인 칸, $7$인 칸, $9$인 칸을 각각 세어 더한다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 약분한 분수를 선택지에 맞추고 오답을 걸러낸다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 여사건 합을 이용해 빠른 독립 검산을 제공한다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 1

같은 확률의 결과 설정

각 주사위는 공정하므로 여섯 면이 모두 같은 확률로 나오고, 두 던지기는 서로 독립이다.
주사위 A의 어떤 면과 주사위 B의 어떤 면을 짝지어도 $6 \times 6 = 36$가지 결과가 나오며 모두 확률 $\tfrac{1}{36}$로 같다.
주사위 A에서 $2$와 $3$이 각각 두 번 나타나므로 그 값이 더 자주 나올 뿐이며, 중복된 면을 서로 다른 결과로 취급하면 $36$가지 쌍이 모두 같은 확률로 유지되어 셀 수 있게 된다.

$6 \times 6 = 36$가지 같은 확률의 면 쌍

💡 공정하고 독립인 던지기는 모든 면 쌍을 같은 확률로 만들어, 확률은 유리한 쌍의 수를 $36$으로 나눈 값이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

덧셈표 만들기

주사위 A의 면을 세로로, 주사위 B의 면을 가로로 적고 각 칸에 그 행과 열 값의 합을 채운다.
이렇게 하면 $36$개의 합이 하나의 표에 모두 나타난다.

$$\begin{array}{c|cccccc} + & 1 & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 \\ \hline 1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 10 \\ 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 10 \\ 3 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 & 11 \\ 3 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 & 11 \\ 4 & 5 & 7 & 8 & 9 & 10 & 12 \end{array}$$

💡 행과 열로 이루어진 표는 모든 복합 결과를 정확히 한 번씩 나열한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

유리한 칸 세기

각 목표 합을 따로따로 표에서 훑는다.
합 $= 5$: $1{+}4$, $2{+}3$, $2{+}3$, $4{+}1$의 $4$칸.
합 $= 7$: $1{+}6$, $2{+}5$, $2{+}5$, $3{+}4$, $3{+}4$, $4{+}3$의 $6$칸.
합 $= 9$: $1{+}8$, $3{+}6$, $3{+}6$, $4{+}5$의 $4$칸.
세 값을 더하면 유리한 경우는 $4 + 6 + 4 = 14$이다.

$$4 \text{ (합 }5) + 6 \text{ (합 }7) + 4 \text{ (합 }9) = 14$$

💡 하나의 큰 셈을 세 개의 목표 합 셈으로 쪼개면 실수 없이 셀 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.A.1 단계 4

확률을 만들고 약분하기

확률은 유리한 경우를 전체 경우로 나눈 값이므로 $\tfrac{14}{36}$이다.
분자와 분모는 공약수 $2$를 가지므로 위아래를 $2$로 나누면 $\tfrac{7}{18}$이 된다.

$$\dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18}$$

💡 유리한 경우를 전체로 나누면 확률이 되고, 공약수로 나누어도 그 값은 변하지 않는다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.5 단계 5

선택지 맞추기

확률 $\tfrac{7}{18}$은 선택지 (B)이다.
이는 $0$과 $1$ 사이의 값이며 $\tfrac{1}{2}$보다 조금 작아, 여러 합 중 세 개를 목표로 한 상황에 잘 맞는 타당한 확률이다.
오답 $\tfrac{11}{18}$은 여사건($5, 7, 9$가 아닐 확률)이고, $\tfrac{5}{18}$은 합이 $7$인 칸을 빠뜨린 값이며, $\tfrac{3}{4}$, $\tfrac{8}{9}$는 지나치게 크다.
정답은 (B)이다.

$$\dfrac{7}{18} \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 타당한 확률은 $0$과 $1$ 사이에 있으며, 정직하게 센 값과 일치하는 것은 $\tfrac{7}{18}$뿐이다.

[1] #2 7.SP.C.7 각 주사위는 공정하므로 여섯 면이 모두 같은 확률로 나오고, 두 던지기는 서로 독립이다. 주사위 A의 어떤 면과 주사위 B의 어떤 면을 짝지어도

[2] #2 7.SP.C.8 주사위 A의 면을 세로로, 주사위 B의 면을 가로로 적고 각 칸에 그 행과 열 값의 합을 채운다. 이렇게 하면 $36$개의 합이 하나의 표에 모

[3] #7 7.SP.C.8 각 목표 합을 따로따로 표에서 훑는다. 합 $= 5$: $1{+}4$, $2{+}3$, $2{+}3$, $4{+}1$의 $4$칸. 합 $= 7$

[4] #7 4.NF.A.1 확률은 유리한 경우를 전체 경우로 나눈 값이므로 $\tfrac{14}{36}$이다. 분자와 분모는 공약수 $2$를 가지므로 위아래를 $2$로 나

[5] #3 7.SP.C.5 확률 $\tfrac{7}{18}$은 선택지 (B)이다. 이는 $0$과 $1$ 사이의 값이며 $\tfrac{1}{2}$보다 조금 작아, 여러 합

검토

합리성 확인: 세 셈 $4$, $6$, $4$를 더하면 유리한 경우는 $36$ 중 $14$이고, 확률은 $\tfrac{14}{36} = \tfrac{7}{18}$이다. 이는 $0$과 $1$ 사이이며 $\tfrac{1}{2}$보다 조금 작아 세 개의 합을 목표로 한 경우에 합당하다. 확인해 보면, 두 주사위가 만들 수 있는 합은 $2$부터 $12$까지이고 목표인 홀수 $5, 7, 9$는 그 범위의 붐비는 가운데에 놓이므로, 전체의 약 삼분의 일에 가까운 개수가 나오는 것은 그럴듯하다.

대안 접근: 여사건을 센다(도구 #16). 가능한 합은 $2$부터 $12$까지이며, $5, 7, 9$가 아닌 값은 $2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12$이다. 표에서 이 칸들을 세면 $2{:}\,1$, $3{:}\,2$, $4{:}\,3$, $6{:}\,4$, $8{:}\,4$, $10{:}\,3$, $11{:}\,2$, $12{:}\,1$로 합이 $20$이다. 따라서 유리한 경우는 $36 - 20 = 14$이고 확률은 $\tfrac{14}{36} = \tfrac{7}{18}$로 같은 답 (B)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델을 만들고 사건의 확률을 구하기 ($36$가지 면 쌍을 모두 같은 확률로 인식하여 확률을 유리한 경우 대 $36$의 비로 봄.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·모의실험으로 복합 사건의 확률 구하기 (행과 열의 덧셈표를 만들고 합이 $5$, $7$, $9$인 $14$개의 칸을 셈.)
4.NF.A.1 같은 값을 나타내는 분수 이해 (분자와 분모를 $2$로 나누어 $\tfrac{14}{36}$을 $\tfrac{7}{18}$로 약분함.)
7.SP.C.5 확률은 $0$과 $1$ 사이의 값으로 가능성을 나타냄을 이해 ($\tfrac{7}{18}$이 타당한 확률임을 확인하고 오답 대신 선택지 (B)에 맞춤.)

⭐ $36$가지 면 쌍의 덧셈표를 만들어 합이 $5$, $7$, $9$인 $14$칸을 세면, 확률은 $\tfrac{14}{36} = \tfrac{7}{18}$이다.