AMC 10 · 2008 · #22
학년 7 probability빨간 구슬 세 개, 흰 구슬 두 개, 파란 구슬 한 개를 무작위 순서로 일렬로 놓는다. 이웃한 두 구슬의 색이 서로 같지 않을 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 빨간 구슬 세 개, 흰 구슬 두 개, 파란 구슬 한 개, 모두 여섯 개를 한 줄로 무작위로 놓는다. 서로 이웃한 두 구슬이 같은 색이 되지 않을 확률을 구하여라.
주어진 것: 구슬은 빨강($R$) $3$개, 흰색($W$) $2$개, 파랑($B$) $1$개이다.; 구슬을 일직선으로 놓으며, 모든 배열이 동일하게 나올 수 있다.; 같은 색 구슬끼리는 서로 구별되지 않는다.
구하는 것: 이웃한 두 구슬이 같은 색이 되지 않을 확률.
이해
문제 재정리: 빨간 구슬 세 개, 흰 구슬 두 개, 파란 구슬 한 개, 모두 여섯 개를 한 줄로 무작위로 놓는다. 서로 이웃한 두 구슬이 같은 색이 되지 않을 확률을 구하여라.
주어진 것: 구슬은 빨강($R$) $3$개, 흰색($W$) $2$개, 파랑($B$) $1$개이다.; 구슬을 일직선으로 놓으며, 모든 배열이 동일하게 나올 수 있다.; 같은 색 구슬끼리는 서로 구별되지 않는다.
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
여기서 확률은 (좋은 배열)$\div$(전체 배열)일 뿐이므로 핵심은 꼼꼼한 세기이고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 앞장선다. 먼저 여섯 구슬의 전체 배열 수를 센다. 그다음, 모든 색 쌍을 일일이 확인하는 대신 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 줄인다. 파랑은 하나뿐이라 자기 색과 이웃할 수 없으니, '올바름'은 빨강 세 개를 떨어뜨리고 흰색 두 개를 떨어뜨리는 것만 뜻한다. 도구 #1(그림 그리기)로 빨강을 다룬다 — 여섯 칸을 그리고 빨강 세 개가 서로 닿지 않게 놓는 모든 방법을 찾는다 — 그런 뒤 도구 #2로 각 빨강 배치에서 남은 칸에 $W,W,B$를 채우되 흰색을 떨어뜨린다. 좋은 개수를 전체로 나눈다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 전체 배열 세기
- 여섯 구슬은 같은 색끼리 구별되지 않으므로, 서로 다른 줄의 수는 $6!$을 $3!$(같은 빨강)과 $2!$(같은 흰색)로 나눈 값이다.
- 그러면 $\frac{720}{6\times 2}=60$개의, 똑같이 나올 수 있는 배열이 분모가 된다.
💡 같은 구슬 두 개를 바꿔도 새 줄이 아니므로, 각 색 그룹끼리 섞는 경우의 수를 나눠 준다.
7.SP.C.7 단계 2 충돌할 수 있는 쌍 찾기
- 같은 색 이웃은 빨강 둘이 붙거나 흰색 둘이 붙을 때만 생긴다.
- 파랑은 하나뿐이기 때문이다.
- 그러므로 줄이 올바른 것은 $R$ 두 개가 이웃하지 않고 $W$ 두 개도 이웃하지 않을 때뿐이다.
- 세는 일을 두 개의 쉬운 일로 나눈다: 먼저 빨강을 떨어뜨려 놓고, 그다음 흰색을 떨어뜨려 놓는다.
💡 파랑은 아무와도 다투지 않으므로, 지켜야 할 규칙은 '빨강 떨어뜨리기'와 '흰색 떨어뜨리기'뿐이다.
7.SP.C.8 단계 3 빨강 셋을 안 닿게 놓기
- 여섯 자리에 $1$부터 $6$까지 번호를 붙이고, 고른 세 자리가 서로 이웃하지 않도록 빨강 자리를 고른다.
- 빠짐없이 나열하면 정확히 네 가지 배치가 나온다: $R$이 $\{1,3,5\}$, $\{1,3,6\}$, $\{1,4,6\}$, $\{2,4,6\}$.
- (다른 세 구슬 주변의 틈에 빨강 셋을 밀어 넣는다고 보면 $\binom{4}{3}=4$이다.)
💡 빨강은 한 칸씩 띄운 자리에 놓여야만 떨어지고, 그런 간격은 딱 네 가지뿐이다.
7.SP.C.8 단계 4 나머지를 W, W, B로 채우기
- 각 빨강 배치에서 남은 세 자리에 $W,W,B$가 들어간다.
- 놓는 방법은 $3$가지($B$가 세 자리 중 하나를 고르면 흰색이 나머지 둘을 차지)인데, 흰색 둘이 이웃한 자리에 놓일 때만 잘못된 배치다.
- 배치 $R\{1,3,5\}$와 $R\{2,4,6\}$는 남은 자리가 모두 떨어져 있어 $3$가지 모두 된다.
- 배치 $R\{1,3,6\}$(남은 자리 $2,4,5$)와 $R\{1,4,6\}$(남은 자리 $2,3,5$)는 각각 이웃한 빈자리 쌍이 하나 있어, $3$가지 중 $1$가지는 흰색이 붙어 버려 버리고 $2$가지가 남는다.
- 좋은 배열의 합은 $3+2+2+3=10$이다.
💡 빨강이 정해지면 남은 위험은 흰색 둘이 나란히 놓이는 것뿐이라, 그 경우만 빼면 된다.
7.SP.C.7 단계 5 나눠서 확률 구하기
- 전체 $60$가지 중 좋은 배열이 $10$가지이므로 확률은 $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$이다.
- 이는 보기 $(C)$와 일치한다.
💡 공정한 상황의 확률은 성공의 수를 전체의 수로 나눈 것일 뿐이다.
7.SP.C.8 여섯 구슬은 같은 색끼리 구별되지 않으므로, 서로 다른 줄의 수는 $6!$을 $3!$(같은 빨강)과 $2!$(같은 흰색)로 나눈 값이다. 그러면 7.SP.C.7 같은 색 이웃은 빨강 둘이 붙거나 흰색 둘이 붙을 때만 생긴다. 파랑은 하나뿐이기 때문이다. 그러므로 줄이 올바른 것은 $R$ 두 개가 이웃하지 7.SP.C.8 여섯 자리에 $1$부터 $6$까지 번호를 붙이고, 고른 세 자리가 서로 이웃하지 않도록 빨강 자리를 고른다. 빠짐없이 나열하면 정확히 네 가지 7.SP.C.8 각 빨강 배치에서 남은 세 자리에 $W,W,B$가 들어간다. 놓는 방법은 $3$가지($B$가 세 자리 중 하나를 고르면 흰색이 나머지 둘을 차지 7.SP.C.7 전체 $60$가지 중 좋은 배열이 $10$가지이므로 확률은 $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$이다. 이는 보기 $(C)$와 일치한 검토
합리성 확인: 결과 $\frac{1}{6}$은 $0$과 $1$ 사이의 정상적인 확률이며 보기 $(C)$와 같다. 확률이 작다는 것도 타당하다. 여섯 중 셋이 빨강인데 짧은 여섯 자리 줄에서 빨강 셋을 모두 떨어뜨리는 것은 빡빡한 조건이라, 무작위 줄 대부분은 실패한다. 다른 방법으로 $10$을 확인하면: 빨강이 아닌 세 구슬을 먼저 $WBW$, $WWB$, $BWW$로 배열하면 그 주위에 네 개의 틈이 생긴다. 빨강 셋을 서로 다른 틈 셋에 넣으면($\binom{4}{3}=4$가지) 빨강이 떨어진다. $WBW$는 흰색이 이미 갈라져 있어 $4$가지 모두 되고, $WWB$와 $BWW$는 두 흰색 사이의 틈에 빨강이 반드시 들어가야 하므로 각각 $\binom{3}{2}=3$가지가 남는다. 합하면 $4+3+3=10$으로 첫 방법과 일치한다.
대안 접근: 빨강을 먼저 놓는 대신, 빨강이 아닌 구슬을 먼저 놓고 그 틈에 빨강을 끼워 넣는다(도구 #16, 관점 바꾸기). $W,W,B$ 세 구슬은 $3$가지 순서가 있고 각각 네 개의 틈을 만든다. 빨강을 넣을 틈 셋을 고르면 빨강이 떨어지고, 이웃한 두 흰색 사이의 틈에 빨강을 반드시 넣으면 흰색이 떨어진다. 올바른 삽입을 모두 더하면 똑같이 전체 $60$ 중 좋은 줄 $10$개가 나와 $\frac{1}{6}$이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, tree diagrams, and simulation (전체 $60$가지 배열을 세고, 빨강을 떨어뜨린 뒤 흰색을 놓는 식으로 좋은 배열 $10$가지를 빠짐없이 세기.)7.SP.C.7Develop a probability model and use it to find probabilities of events ($60$가지 배열을 모두 동일하게 나올 수 있다고 보고, 확률을 좋은 경우 나누기 전체로 계산해 $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$ 구하기.)
⭐ 같은 색 이웃을 피해야 할 때는 전체 줄 수를 세고, 가장 많은 색을 먼저 떨어뜨려 놓은 뒤 나머지를 떨어진 틈에 끼워 넣어라.
⭐ 같은 색 이웃을 피해야 할 때는 전체 줄 수를 세고, 가장 많은 색을 먼저 떨어뜨려 놓은 뒤 나머지를 떨어진 틈에 끼워 넣어라.
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