AMC 10 · 2008 · #22

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

probability-basicpermutations-basiccasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

빨간 구슬 세 개, 흰 구슬 두 개, 파란 구슬 한 개, 모두 여섯 개를 한 줄로 무작위로 놓는다. 서로 이웃한 두 구슬이 같은 색이 되지 않을 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1/12$

(B)

$\ 1/10$

(C)

$\ 1/6$

(D)

$\ 1/3$

(E)

$\ 1/2$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

여기서 확률은 (좋은 배열)÷(전체 배열)일 뿐이므로 핵심은 꼼꼼한 세기이고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 앞장선다. 먼저 여섯 구슬의 전체 배열 수를 센다. 그다음, 모든 색 쌍을 일일이 확인하는 대신 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 줄인다. 파랑은 하나뿐이라 자기 색과 이웃할 수 없으니, '올바름'은 빨강 세 개를 떨어뜨리고 흰색 두 개를 떨어뜨리는 것만 뜻한다. 도구 #1(그림 그리기)로 빨강을 다룬다 — 여섯 칸을 그리고 빨강 세 개가 서로 닿지 않게 놓는 모든 방법을 찾는다 — 그런 뒤 도구 #2로 각 빨강 배치에서 남은 칸에 W,W,B를 채우되 흰색을 떨어뜨린다. 좋은 개수를 전체로 나눈다.

1STEP 1

전체 배열 세기

같은 색 구슬은 바꿔도 같은 줄이므로 서로 다른 줄은 $\frac{6!}{3!\,2!}$ , 곧 60 가지이고 이것이 분모다.

6!/3! 2! 1!=720/12=60

2STEP 2

충돌할 수 있는 쌍 찾기

파랑은 하나뿐이라 충돌은 R끼리 또는 W끼리만 생긴다. 빨강을 떼어 놓고, 흰색을 떼어 놓으면 된다.

3STEP 3

빨강 셋을 안 닿게 놓기

여섯 자리에 번호를 붙이면 빨강이 안 닿는 배치는 딱 네 가지, $\{1,3,5\}$ , $\{1,3,6\}$ , $\{1,4,6\}$ , $\{2,4,6\}$ 이다.

R{1,3,5}, R{1,3,6}, R{1,4,6}, R{2,4,6}

4STEP 4

나머지를 W, W, B로 채우기

남은 세 자리에 W, W, B를 넣되 흰색이 붙는 경우를 빼면 $3+2+2+3$ 으로 10 가지다.

3+2+2+3=10

5STEP 5

나눠서 확률 구하기

전체 60 가지 중 좋은 줄이 10 가지이므로 확률은 $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$ 이고, 보기 (C)다.

10/60=1/6

정답

1/6

결과 1/6은 0과 1 사이의 정상적인 확률이며 보기 (C)와 같다. 확률이 작다는 것도 타당하다. 여섯 중 셋이 빨강인데 짧은 여섯 자리 줄에서 빨강 셋을 모두 떨어뜨리는 것은 빡빡한 조건이라, 무작위 줄 대부분은 실패한다. 다른 방법으로 10을 확인하면: 빨강이 아닌 세 구슬을 먼저 WBW, WWB, BWW로 배열하면 그 주위에 네 개의 틈이 생긴다. 빨강 셋을 서로 다른 틈 셋에 넣으면(C(4, 3)=4가지) 빨강이 떨어진다. WBW는 흰색이 이미 갈라져 있어 4가지 모두 되고, WWB와 BWW는 두 흰색 사이의 틈에 빨강이 반드시 들어가야 하므로 각각 C(3, 2)=3가지가 남는다. 합하면 4+3+3=10으로 첫 방법과 일치한다.

💡핵심 정리

같은 색 이웃을 피해야 할 때는 전체 줄 수를 세고, 가장 많은 색을 먼저 떨어뜨려 놓은 뒤 나머지를 떨어진 틈에 끼워 넣어라.

전체 배열 세기
충돌할 수 있는 쌍 찾기
빨강 셋을 안 닿게 놓기
나머지를 W, W, B로 채우기
나눠서 확률 구하기

전체 배열 세기

충돌할 수 있는 쌍 찾기

빨강 셋을 안 닿게 놓기

나머지를 W, W, B로 채우기

나눠서 확률 구하기

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