AMC 10 · 2008 · #23

학년 7 geometry-2dnumber-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
simons-favorite-factoring-trickarea-rectangleslinear-diophantine convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
바닥은 가로 a피트, 세로 b피트인 직사각형이고, a와 b는 양의 정수이며 b ＞ a이다. 화가가 그 안에 변이 바닥의 변과 평행한 더 작은 직사각형을 칠하는데, 칠하지 않은 부분이 사방으로 폭 1피트의 테두리를 이룬다. 이 테두리의 넓이는 바닥 전체 넓이의 정확히 절반이다. 이런 순서쌍 (a, b)가 몇 개나 가능한지 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

말 속에 깔끔한 방정식이 숨어 있다. 간단히 그림을 그려 보면 폭 1피트의 테두리가 가로에서 2피트, 세로에서 2피트를 깎아내므로 색칠한 직사각형은 (a-2) 곱하기 (b-2)이다. '넓이의 절반' 조건은 a와 b에 대한 방정식이 되고, 정리해서 인수분해하면 두 정수의 곱이 8인 식으로 바뀐다. 유효한 쌍을 세는 일은 8의 인수쌍을 나열하고 b ＞ a인 것만 남기는 것이다.

1STEP 1

테두리를 그리고 안쪽 직사각형 크기 구하기

폭 1피트 테두리가 양 끝에서 1피트씩 깎으므로 안쪽 색칠 직사각형은 (a-2) 곱하기 (b-2) 피트이다.

color rectangle = (a-2)×(b-2)
2STEP 2

'넓이의 절반'을 방정식으로 바꾸기

테두리가 절반이면 색칠한 부분도 나머지 절반이므로 (a-2)(b-2)는 ab의 절반, 즉 2(a-2)(b-2) = ab이다.

(a-2)(b-2) = 1/2ab → 2(a-2)(b-2) = ab
3STEP 3

전개한 뒤 +16 기법으로 인수분해하기

정리하면 ab - 4a - 4b + 8 = 0이고, 양변에 8을 더해 상수를 16으로 만들면 (a-4)(b-4) = 8로 인수분해된다.

2ab-4a-4b+8 = ab → ab-4a-4b+8 = 0 → ab-4a-4b+16 = 8 → (a-4)(b-4) = 8
4STEP 4

인수쌍을 나열하고 b ＞ a만 남기기

곱이 8이고 a-4가 더 작으므로 1×8은 (5, 12), 2×4는 (6, 8) — 순서쌍은 2개다.

(a-4)(b-4)=8: (1,8)→(a,b)=(5,12), (2,4)→(a,b)=(6,8)
정답
2
두 바닥을 조건에 맞춰 확인한다. (5, 12): 전체 넓이는 60, 색칠한 직사각형은 3 곱하기 10 = 30으로 정확히 절반이고 테두리도 30이다 - 맞다. (6, 8): 전체 넓이는 48, 색칠한 직사각형은 4 곱하기 6 = 24로 정확히 절반이다 - 맞다. 더 있을까? 8의 양의 인수쌍은 {1, 8}과 {2, 4}뿐이고, 그 역순은 b ＜ a가 되어 제외되며 음의 쌍은 불가능한 바닥 크기를 준다. 따라서 정확히 2쌍만 남아 선택지 (B)와 일치하고 1, 3, 4, 5는 배제된다.
💡핵심 정리

폭 1피트의 테두리는 각 변을 2씩 줄인다. 넓이 절반 규칙을 방정식으로 쓰고, 깔끔한 곱으로 다듬은 뒤, 인수쌍의 개수를 세면 된다.

  • 테두리를 그리고 안쪽 직사각형 크기 구하기
  • '넓이의 절반'을 방정식으로 바꾸기
  • 전개한 뒤 +16 기법으로 인수분해하기
  • 인수쌍을 나열하고 b ＞ a만 남기기

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