AMC 10 · 2008 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

simons-favorite-factoring-trickarea-rectangleslinear-diophantine convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 모양의 바닥이 $a$ 곱하기 $b$ 피트이고, $a$ 와 $b$ 는 양의 정수이며 $b > a$ 이다. 한 화가가 바닥에 직사각형을 그리는데, 그 직사각형의 변들은 바닥의 변과 평행하다. 바닥의 칠하지 않은 부분은 칠한 직사각형 둘레에 폭 $1$ 피트의 테두리를 이루며 전체 바닥 넓이의 절반을 차지한다. 순서쌍 $(a,b)$ 로 가능한 경우는 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 바닥이 가로 a피트, 세로 b피트인 직사각형이다. a와 b는 양의 정수이고 b > a이다. 화가가 그 안에 더 작은 직사각형을 칠하는데, 색칠되지 않은 부분이 사방으로 폭 1피트의 테두리를 이룬다. 이 테두리의 넓이가 바닥 전체 넓이의 정확히 절반이다. 이런 순서쌍 (a, b)가 몇 개나 가능한지 세어라.

주어진 것: 바닥은 가로 a피트, 세로 b피트이고 a와 b는 양의 정수, b > a이다; 색칠한 직사각형은 변이 바닥의 변과 평행하게 안쪽에 놓인다; 색칠되지 않은 부분은 사방으로 폭이 1피트로 일정한 테두리이다; 테두리의 넓이는 바닥 전체 넓이의 절반과 같다

구하는 것: 조건을 모두 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

말 속에 깔끔한 방정식이 숨어 있다. 간단히 그림을 그려 보면 폭 1피트의 테두리가 가로에서 2피트, 세로에서 2피트를 깎아내므로 색칠한 직사각형은 (a-2) 곱하기 (b-2)이다. '넓이의 절반' 조건은 a와 b에 대한 방정식이 되고, 정리해서 인수분해하면 두 정수의 곱이 8인 식으로 바뀐다. 유효한 쌍을 세는 일은 8의 인수쌍을 나열하고 b > a인 것만 남기는 것이다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.EE.A.2 단계 1

테두리를 그리고 안쪽 직사각형 크기 구하기

색칠되지 않은 테두리는 폭이 1피트이고 색칠한 직사각형을 빙 둘러싼다.
좌우 방향으로 양쪽에서 각각 1피트씩, 즉 가로에서 총 2피트가 줄어들고, 위아래로도 마찬가지로 세로에서 2피트가 줄어든다.
따라서 바닥이 a 곱하기 b라면 안쪽에 색칠한 직사각형은 (a-2) 곱하기 (b-2) 피트이다.

$$\text{color rectangle} = (a-2)\times(b-2)$$

💡 폭 1의 테두리가 마주 보는 두 변에 있으면 그 방향 길이 전체에서 2가 깎인다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

'넓이의 절반'을 방정식으로 바꾸기

테두리가 바닥의 절반이므로 색칠한 직사각형은 나머지 절반이어야 한다.
따라서 색칠한 넓이 (a-2)(b-2)는 바닥 전체 넓이 a*b의 절반과 같다.
양변에 2를 곱해 분수를 없애면 다루기 좋은 방정식이 된다.

$$(a-2)(b-2) = \tfrac{1}{2}ab \;\Rightarrow\; 2(a-2)(b-2) = ab$$

💡 테두리가 정확히 절반이면 색칠한 부분도 나머지 절반이므로 두 넓이가 같아야 한다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 3

전개한 뒤 +16 기법으로 인수분해하기

좌변을 전개하면 2(a-2)(b-2) = 2ab - 4a - 4b + 8이다.
이를 ab와 같다고 두고 한쪽으로 모으면 ab - 4a - 4b + 8 = 0이 된다.
좌변은 거의 인수분해가 되는데, 양변에 8을 더해 상수를 16으로 만들면 (a-4)(b-4)로 깔끔하게 인수분해된다.
이것이 사이먼의 인수분해 기법(SFFT)으로, 두 변수 식이 하나의 곱으로 바뀌도록 알맞은 상수를 고르는 것이다.

$$2ab-4a-4b+8 = ab \;\Rightarrow\; ab-4a-4b+8 = 0 \;\Rightarrow\; ab-4a-4b+16 = 8 \;\Rightarrow\; (a-4)(b-4) = 8$$

💡 알맞은 상수를 더하면 다루기 어려운 두 변수 식이 하나의 깔끔한 곱으로 접힌다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

인수쌍을 나열하고 b > a만 남기기

이제 a-4와 b-4는 곱이 8인 두 정수이고, b > a이므로 a-4 < b-4여야 한다.
작은 인수를 앞에 둔 8의 양의 인수쌍은 1 곱하기 8과 2 곱하기 4이다.
1 곱하기 8에서는 a-4 = 1, b-4 = 8이므로 (a, b) = (5, 12)이다.
2 곱하기 4에서는 a-4 = 2, b-4 = 4이므로 (a, b) = (6, 8)이다.
음의 인수쌍은 a를 0 이하로 만들어 실제 바닥이 될 수 없으므로 버린다.
남은 두 쌍은 모두 b > a와 a > 2를 만족하므로 순서쌍은 2개, 즉 선택지 (B)이다.

$$(a-4)(b-4)=8:\quad (1,8)\to(a,b)=(5,12), \qquad (2,4)\to(a,b)=(6,8)$$

💡 8을 두 자연수의 곱으로 나누는 모든 방법이 후보 바닥 하나이고, b > a 규칙이 좌우가 뒤바뀐 쌍을 걸러낸다.

[1] #1 6.EE.A.2 색칠되지 않은 테두리는 폭이 1피트이고 색칠한 직사각형을 빙 둘러싼다. 좌우 방향으로 양쪽에서 각각 1피트씩, 즉 가로에서 총 2피트가 줄어들고

[2] #13 7.EE.B.4 테두리가 바닥의 절반이므로 색칠한 직사각형은 나머지 절반이어야 한다. 따라서 색칠한 넓이 (a-2)(b-2)는 바닥 전체 넓이 a*b의 절반과

[3] #13 7.EE.A.1 좌변을 전개하면 2(a-2)(b-2) = 2ab - 4a - 4b + 8이다. 이를 ab와 같다고 두고 한쪽으로 모으면 ab - 4a - 4b

[4] #2 4.OA.B.4 이제 a-4와 b-4는 곱이 8인 두 정수이고, b > a이므로 a-4 < b-4여야 한다. 작은 인수를 앞에 둔 8의 양의 인수쌍은 1 곱하기

검토

합리성 확인: 두 바닥을 조건에 맞춰 확인한다. (5, 12): 전체 넓이는 60, 색칠한 직사각형은 3 곱하기 10 = 30으로 정확히 절반이고 테두리도 30이다 - 맞다. (6, 8): 전체 넓이는 48, 색칠한 직사각형은 4 곱하기 6 = 24로 정확히 절반이다 - 맞다. 더 있을까? 8의 양의 인수쌍은 {1, 8}과 {2, 4}뿐이고, 그 역순은 b < a가 되어 제외되며 음의 쌍은 불가능한 바닥 크기를 준다. 따라서 정확히 2쌍만 남아 선택지 (B)와 일치하고 1, 3, 4, 5는 배제된다.

대안 접근: 인수분해를 건너뛰고 a를 작은 값부터 대입해 확인할 수도 있다. (a-2)(b-2) = ab/2에서 각 a마다 b를 풀면, a = 3과 a = 4는 유효한 b가 없고(음수가 되거나 식이 성립하지 않는다), a = 5는 3(b-2) = 2.5b에서 b = 12, a = 6은 4(b-2) = 3b에서 b = 8이다. a = 7은 b가 정수가 아니고, a = 8부터는 b가 a 이하가 되어 b > a를 어긴다. 여기서 탐색이 멈추고, 역시 (5, 12)와 (6, 8)만 성립한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (색칠한 직사각형의 변의 길이와 넓이를 미지의 변수로 (a-2)(b-2)와 같이 식으로 나타내기)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 문제 해결을 위한 방정식 세우기 ('색칠한 넓이가 바닥의 절반'이라는 조건을 방정식 2(a-2)(b-2) = ab로 옮기기)
7.EE.A.1 연산의 성질을 이용해 식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 (곱을 전개하고 상수를 채우는 +16 단계로 (a-4)(b-4) = 8로 인수분해하기)
4.OA.B.4 1~100 범위 자연수의 모든 인수쌍 찾기 (8의 모든 인수쌍을 나열해 후보 (a, b) 바닥을 만들기)

⭐ 폭 1피트의 테두리는 각 변을 2씩 줄인다. 넓이 절반 규칙을 방정식으로 쓰고, 깔끔한 곱으로 다듬은 뒤, 인수쌍의 개수를 세면 된다.