AMC 10 · 2008 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

isosceles-triangleequilateral-triangleangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: isosceles-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

사각형 ABCD에서 이웃한 세 변 AB = BC = CD가 서로 같다. B에서의 각은 70도, C에서의 각은 170도이다. A에서의 각 BAD의 크기를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 75$

(B)

$\ 80$

(C)

$\ 85$

(D)

$\ 90$

(E)

$\ 95$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

세 변의 길이가 같으므로, 그 길이를 다시 활용하는 보조선을 긋고 싶어진다. CD 위에 정삼각형을 세우면 같은 길이의 네 번째 선분과 깔끔한 60도 각이 새로 생긴다. 이 60도 조각이 170도 각을 110도로 길들이고, 도형은 평행사변형과 이등변삼각형이라는 다루기 쉬운 두 조각으로 나뉜다. 그러면 각 BAD는 큰 각에서 작은 각을 뺀 것에 지나지 않는다.

1STEP 1

CD 위에 정삼각형 세우기

AB = BC = CD = 1이라 하고 CD 위에 E가 B 쪽에 오도록 정삼각형 CDE를 세우면 CE = DE = 1, 각은 모두 60도이다.

CE = DE = CD = 1, ∠ DCE=∠ CDE=∠ DEC=60°

2STEP 2

170도 각을 자르기

반직선 CE가 C의 각에서 60도 조각을 떼어내어 각 BCE = 170 - 60 = 110도가 남고, CE = CB = 1이다.

∠ BCE=∠ BCD-∠ DCE=170°-60°=110°, CE=CB=1

3STEP 3

평행한 두 변 찾기

횡단선 BC의 같은 쪽 내각이 70 + 110 = 180도이므로 BA는 CE와 평행하고 ABCE는 평행사변형이다.

∠ ABC+∠ BCE=70°+110°=180° → BA ∥ CE, AB=CE

4STEP 4

평행사변형을 활용하기

ABCE의 마주 보는 것끼리 같으므로 EA = BC = 1, 각 EAB = 110도, 각 AEC = 70도이다.

EA=BC=1, ∠ EAB=∠ BCE=110°, ∠ AEC=∠ ABC=70°

5STEP 5

이등변삼각형 AED 읽기

삼각형 AED는 AE = ED = 1이고 꼭지각 AED = 70 + 60 = 130도이므로 밑각은 각 DAE = 25도이다.

AE=ED=1, ∠ AED=∠ AEC+∠ CED=70°+60°=130°, ∠ DAE=(180°-130°)/2=25°

6STEP 6

빼서 각 BAD 구하기

반직선 AD는 각 EAB 안쪽에 있으므로 각 BAD = 110 - 25 = 85도이다.

∠ BAD=∠ EAB-∠ DAE=110°-25°=85°

정답

사각형 ABCD의 네 각을 확인한다. 각 BAD = 85도를 얻었다. D에서의 각은 각 ADC = 각 CDE - 각 ADE = 60 - 25 = 35도이다. 그러면 85 + 70 + 170 + 35 = 360도로, 사각형의 내각 합과 정확히 일치하므로 답이 앞뒤가 맞는다. 또한 A와 D 두 미지 각이 나누어 가져야 할 합인 120도(360 - 70 - 170)보다 넉넉히 작으므로, D에게 너무 적게 남기는 값들은 배제된다.

💡핵심 정리

여러 변의 길이가 같은 도형에서는 그중 한 변 위에 정삼각형을 세워 보자. 그 길이를 복사하고 깔끔한 60도 각을 만들어, 지저분한 각을 실제로 써먹을 수 있는 평행선으로 바꿔 준다.

CD 위에 정삼각형 세우기
170도 각을 자르기
평행한 두 변 찾기
평행사변형을 활용하기
이등변삼각형 AED 읽기
빼서 각 BAD 구하기