AMC 10 · 2008 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

isosceles-triangleequilateral-triangleangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: isosceles-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

사각형 $ABCD$ 는 $AB = BC = CD$ 이고 $m\angle ABC = 70^\circ$ , $m\angle BCD = 170^\circ$ 이다. $\angle BAD$ 의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 75$

(B)

$\ 80$

(C)

$\ 85$

(D)

$\ 90$

(E)

$\ 95$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사각형 ABCD에서 이웃한 세 변 AB = BC = CD가 서로 같다. B에서의 각은 70도, C에서의 각은 170도이다. A에서의 각 BAD의 크기를 구하여라.

주어진 것: AB = BC = CD (이웃한 세 변의 길이가 같다); 각 ABC = 70도; 각 BCD = 170도

구하는 것: 각 BAD의 크기(도 단위)

이해

문제 재정리: 사각형 ABCD에서 이웃한 세 변 AB = BC = CD가 서로 같다. B에서의 각은 70도, C에서의 각은 170도이다. A에서의 각 BAD의 크기를 구하여라.

주어진 것: AB = BC = CD (이웃한 세 변의 길이가 같다); 각 ABC = 70도; 각 BCD = 170도

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

세 변의 길이가 같으므로, 그 길이를 다시 활용하는 보조선을 긋고 싶어진다. CD 위에 정삼각형을 세우면 같은 길이의 네 번째 선분과 깔끔한 60도 각이 새로 생긴다. 이 60도 조각이 170도 각을 110도로 길들이고, 도형은 평행사변형과 이등변삼각형이라는 다루기 쉬운 두 조각으로 나뉜다. 그러면 각 BAD는 큰 각에서 작은 각을 뺀 것에 지나지 않는다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 1

CD 위에 정삼각형 세우기

공통 길이를 1이라 하면 AB = BC = CD = 1이다.
변 CD 위에, E가 B와 같은 쪽에 오도록 정삼각형 CDE를 그린다.
그러면 CE와 DE도 1이 되고, 삼각형 CDE의 모든 각은 60도이다.
이렇게 하면 공통 길이의 새 선분과 알고 있는 60도 각을 손에 넣는다.

$$CE = DE = CD = 1,\quad \angle DCE=\angle CDE=\angle DEC=60^\circ$$

💡 정삼각형은 길이와 각을 찍어내는 공장이다. 변의 길이를 그대로 복사하고 정확한 60도 각을 만들어 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 2

170도 각을 자르기

반직선 CE는 C에서의 170도 각 안쪽에 놓여 60도 조각 DCE를 잘라낸다.
CB와 CE 사이에 남는 각은 각 BCE = 170 - 60 = 110도이다.
또한 CE = CB = 1이므로 C는 이등변 쌍의 꼭짓점이 된다.

$$\angle BCE=\angle BCD-\angle DCE=170^\circ-60^\circ=110^\circ,\quad CE=CB=1$$

💡 큰 각에서 알고 있는 60도 조각을 떼어내면 그냥 110도가 남는다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 3

평행한 두 변 찾기

직선 BC를, 직선 BA를 B에서 그리고 직선 CE를 C에서 가로지르는 횡단선으로 본다.
같은 쪽 내각은 각 ABC = 70도와 각 BCE = 110도이고 70 + 110 = 180이다.
횡단선 한쪽의 두 내각이 평각 180도를 채우면 두 직선은 평행하므로, BA는 CE와 평행하다.
게다가 AB = CE = 1이므로 사각형 ABCE는 평행사변형이다.

$$\angle ABC+\angle BCE=70^\circ+110^\circ=180^\circ\ \Rightarrow\ BA\parallel CE,\quad AB=CE$$

💡 가로지르는 선의 한쪽에 붙은 두 각이 평각을 이루면, 두 직선은 결코 만나지 않는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 4

평행사변형을 활용하기

평행사변형 ABCE에서 마주 보는 변은 같으므로 EA = BC = 1이다.
마주 보는 각도 같으므로 각 EAB = 각 BCE = 110도, 각 AEC = 각 ABC = 70도이다.
이제 EA는 길이 1의 네 번째 선분이 되어 정삼각형의 변 ED와 짝을 이룰 준비가 되었다.

$$EA=BC=1,\quad \angle EAB=\angle BCE=110^\circ,\quad \angle AEC=\angle ABC=70^\circ$$

💡 평행사변형은 마주 보는 꼭짓점과 마주 보는 변을 그대로 비추므로, 한쪽의 사실이 반대쪽으로 복사된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 5

이등변삼각형 AED 읽기

삼각형 AED는 AE = 1(평행사변형에서)과 ED = 1(정삼각형의 변)이므로 이등변삼각형이다.
반직선 EC가 EA와 ED 사이에 있으므로, E에서의 꼭지각은 각 AED = 각 AEC + 각 CED = 70 + 60 = 130도이다.
두 밑각은 남은 50도를 똑같이 나누어 가지므로 각 DAE = (180 - 130)/2 = 25도이다.

$$AE=ED=1,\quad \angle AED=\angle AEC+\angle CED=70^\circ+60^\circ=130^\circ,\quad \angle DAE=\tfrac{180^\circ-130^\circ}{2}=25^\circ$$

💡 두 변이 같으면 두 밑각이 같아지므로, 꼭지각만 알면 두 밑각은 저절로 정해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 6

빼서 각 BAD 구하기

꼭짓점 A에서 반직선 AD는 평행사변형 각 EAB 안쪽에 놓이므로, 각 BAD는 큰 각에서 작은 삼각형 각을 뺀 것이다.
즉 각 BAD = 각 EAB - 각 DAE = 110 - 25 = 85도이다.
이는 보기 (C)와 일치한다.

$$\angle BAD=\angle EAB-\angle DAE=110^\circ-25^\circ=85^\circ$$

💡 구하려는 각은 평행사변형의 각에서 작은 삼각형의 각을 잘라낸 나머지이다.

[1] #1 7.G.A.2 공통 길이를 1이라 하면 AB = BC = CD = 1이다. 변 CD 위에, E가 B와 같은 쪽에 오도록 정삼각형 CDE를 그린다. 그러면 CE

[2] #7 7.G.B.5 반직선 CE는 C에서의 170도 각 안쪽에 놓여 60도 조각 DCE를 잘라낸다. CB와 CE 사이에 남는 각은 각 BCE = 170 - 60 =

[3] #1 8.G.A.5 직선 BC를, 직선 BA를 B에서 그리고 직선 CE를 C에서 가로지르는 횡단선으로 본다. 같은 쪽 내각은 각 ABC = 70도와 각 BCE =

[4] #7 8.G.A.5 평행사변형 ABCE에서 마주 보는 변은 같으므로 EA = BC = 1이다. 마주 보는 각도 같으므로 각 EAB = 각 BCE = 110도, 각

[5] #7 8.G.A.5 삼각형 AED는 AE = 1(평행사변형에서)과 ED = 1(정삼각형의 변)이므로 이등변삼각형이다. 반직선 EC가 EA와 ED 사이에 있으므로,

[6] #7 7.G.B.5 꼭짓점 A에서 반직선 AD는 평행사변형 각 EAB 안쪽에 놓이므로, 각 BAD는 큰 각에서 작은 삼각형 각을 뺀 것이다. 즉 각 BAD = 각

검토

합리성 확인: 사각형 ABCD의 네 각을 확인한다. 각 BAD = 85도를 얻었다. D에서의 각은 각 ADC = 각 CDE - 각 ADE = 60 - 25 = 35도이다. 그러면 85 + 70 + 170 + 35 = 360도로, 사각형의 내각 합과 정확히 일치하므로 답이 앞뒤가 맞는다. 또한 A와 D 두 미지 각이 나누어 가져야 할 합인 120도(360 - 70 - 170)보다 넉넉히 작으므로, D에게 너무 적게 남기는 값들은 배제된다.

대안 접근: 그림을 접어두고 좌표를 쓴다. B = (0,0), C = (1,0)으로 두면 A = (cos 70, sin 70), D = (1 + cos 10, sin 10)이다. A에서 B로, A에서 D로 가는 벡터로 cos(각 BAD) = (AB · AD)/(|AB||AD|) = 0.0872를 얻어 각 BAD = 85도가 된다. 삼각법도 통한다. 대각선 BD로 삼각형 BCD가 밑각 5도인 이등변삼각형이 되어 각 ABD = 65도가 되고, 삼각형 ABD에 코사인 법칙을 쓰면 역시 85도가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.2 주어진 조건으로 도형 그리기, 특히 삼각형 작도 (변 CD 위에 보조 정삼각형 CDE를 작도하여 네 번째 같은 길이와 60도 각을 만드는 데 사용)
7.G.B.5 보각, 여각, 맞꼭지각, 이웃한 각의 성질로 미지의 각 구하기 (170도 각을 110도로 쪼개고, 110도에서 25도를 빼서 각 BAD를 구하는 데 사용)
8.G.A.5 각의 합, 외각, 평행선이 횡단선과 만날 때 생기는 각에 대한 비형식적 논증 (같은 쪽 내각이 보각임을 이용해 BA와 CE가 평행함을 보이고, 평행사변형의 각을 옮기며, 이등변삼각형의 밑각을 구하는 데 사용)

⭐ 여러 변의 길이가 같은 도형에서는 그중 한 변 위에 정삼각형을 세워 보자. 그 길이를 복사하고 깔끔한 60도 각을 만들어, 지저분한 각을 실제로 써먹을 수 있는 평행선으로 바꿔 준다.