AMC 10 · 2008 · #25

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Staggered Start or Schedule Table

ratecoordinate-geometrypattern-recognition physical-representationcasework ↑ 선수 지식: rate

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

마이클은 길고 곧은 길을 초속 $5$ 피트로 걷는다. 길을 따라 $200$ 피트마다 쓰레기통이 놓여 있다. 마이클과 같은 방향으로 초속 $10$ 피트로 이동하는 쓰레기차가 각 쓰레기통에서 $30$ 초 동안 멈춘다. 마이클이 어떤 쓰레기통을 지날 때, 그는 바로 다음 쓰레기통을 막 떠나는 쓰레기차를 앞쪽에서 보게 된다. 마이클과 쓰레기차는 몇 번 만나는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 4$

(B)

$\ 5$

(C)

$\ 6$

(D)

$\ 7$

(E)

$\ 8$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마이클은 곧은 길을 초속 $5$피트로 걷는다. 쓰레기통은 $200$피트마다 놓여 있다. 청소차는 같은 방향으로 초속 $10$피트로 달리지만 각 쓰레기통에서 $30$초씩 멈춘다. 마이클이 어떤 쓰레기통을 지나는 순간, 청소차는 바로 앞 쓰레기통($200$피트 앞)에서 막 출발하고 있다. 그 뒤로 마이클과 청소차가 같은 위치에 있게 되는 횟수를 센다.

주어진 것: 마이클의 속도: 초속 $5$피트, 일정; 쓰레기통 간격: $200$피트마다; 청소차의 주행 속도: 초속 $10$피트, 같은 방향; 청소차는 각 쓰레기통에서 $30$초 정지; $t = 0$일 때: 마이클은 어떤 쓰레기통(위치 $0$)에 있고, 청소차는 그 다음 쓰레기통($200$피트 앞)에서 막 출발; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: $t = 0$ 이후 마이클과 청소차가 같은 위치에 있게 되는 (만나는) 횟수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #8 단위 살펴보기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기)로 위치-시간 그래프를 그린다. 마이클은 직선, 청소차는 계단(달릴 때는 비스듬, 멈출 때는 평평)이고, 만남은 두 그래프가 만나는 점이다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 숫자를 청소차의 리듬으로 바꾼다. $200$피트를 초속 $10$피트로 가면 $20$초 주행, 그 뒤 $30$초 정지, 즉 $50$초 주기다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 물체를 하나의 수, 간격 $D = (\text{청소차}) - (\text{마이클})$로 바꾼다. 만남은 곧 $D = 0$이며, $D$는 청소차가 달릴 때 초속 $5$피트로 오르고 멈출 때 초속 $5$피트로 내린다. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 주기마다 $D$가 $+100$ 뒤 $-150$으로 흔들리는 규칙을 이용해 첫 만남까지 빠르게 나아간다. 도구 #3(가능성 지우기)로 마무리한다. $D$가 더는 $0$에 닿을 수 없게 되면 남은 만남이 없으므로 개수가 확정된다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.RP.A.2 단계 1

시계와 원점 정하기

마이클이 쓰레기통을 지나는 순간을 $t = 0$으로, 그 쓰레기통을 위치 $0$으로 둔다.
그러면 마이클의 위치는 $M(t) = 5t$이다.
같은 순간 청소차는 다음 쓰레기통인 위치 $200$에서 막 출발한다.
즉 청소차는 마이클보다 $200$피트 앞에서 시작한다.

$$M(t) = 5t, \qquad \text{청소차는 위치 } 200 \text{에서 출발}$$

💡 $t=0$을 깔끔한 사건(마이클은 쓰레기통, 청소차는 다음 통에서 출발)에 맞추면 이후 모든 위치가 속도 곱하기 시간으로 간단해진다.

#8 단위 살펴보기 7.RP.A.3 단계 2

청소차의 50초 주기 찾기

청소차는 쓰레기통 간격 $200$피트를 초속 $10$피트로 달리므로 $200 \div 10 = 20$초가 걸린다.
그 뒤 $30$초 정지한다.
따라서 청소차는 $20$초 주행, $30$초 정지, 합쳐 통 하나당 $50$초의 고정 주기를 반복한다.

$$\frac{200 \text{ ft}}{10 \text{ ft/s}} = 20 \text{ s 주행}, \quad +\,30 \text{ s 정지} \;=\; 50 \text{ s 주기}$$

💡 거리 나누기 속도는 시간이므로, 통 간격과 청소차 속도가 20초 주행 / 30초 정지의 반복 박자를 정한다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.3 단계 3

수 하나로 좁히기: 간격

두 위치 대신 그 간격 $D = (\text{청소차 위치}) - (\text{마이클 위치})$를 따라간다.
$t = 0$에서 $D = 200$이다.
청소차가 달릴 때는 초속 $10$피트, 마이클은 초속 $5$피트이므로 간격은 $10 - 5 = 5$ 초속피트로 늘어난다.
청소차가 멈춘 동안은 청소차 $0$, 마이클은 여전히 초속 $5$피트이므로 간격은 초속 $5$피트로 줄어든다.
만남은 곧 $D = 0$이며, $D$가 음수면 마이클이 앞선 것이다.

$$D(0) = 200; \quad D \text{ 는 } +5\,\text{ft/s (청소차 주행)}, \;\; D \text{ 는 } -5\,\text{ft/s (청소차 정지)}$$

💡 부호 있는 간격 하나만 보면 두 물체의 추격이 $0$을 향해 오르내리는 수 하나로 바뀐다.

#5 패턴 찾기 7.RP.A.3 단계 4

주기마다의 흔들림으로 첫 만남까지

매 $50$초 주기에서 간격은 먼저 $20$초 동안 초속 $+5$피트로 오르고($+100$), 그 다음 $30$초 동안 초속 $-5$피트로 내린다($-150$).
즉 주기마다 순변화는 $-50$이다.
$D = 200$에서 시작하면 주기 끝마다 간격은 $150,\,100,\,50,\,0$이 된다.
따라서 $t = 4 \times 50 = 200$초에 간격이 처음으로 $0$이 된다.
첫 번째 만남으로, 청소차는 쓰레기통에 멈춰 있고 마이클이 따라잡는다.

$$200 \xrightarrow{-50} 150 \xrightarrow{-50} 100 \xrightarrow{-50} 50 \xrightarrow{-50} 0 \;\text{ (} t = 200 \text{ s)}$$

💡 주기마다 꾸준히 $-50$이므로 처음의 $200$피트 앞섬은 정확히 네 주기 만에 지워진다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 5

다섯째 주기: 한 번 만남

$t = 200$($D = 0$)에서 청소차가 출발하므로 간격은 $t = 220$에서 $+100$까지 오른다(이제 청소차가 앞).
그 뒤 청소차가 멈추면 간격은 내려간다.
$100 - 5(t - 220) = 0$, 즉 $t = 240$일 때 다시 $0$이 된다.
두 번째 만남으로, 마이클이 멈춰 있는 청소차를 앞지른다.
$t = 250$에서 간격은 $-50$이다.

$$100 - 5(t - 220) = 0 \;\Rightarrow\; t = 240 \text{ s} \quad (\text{만남 } \#2)$$

💡 청소차가 달리며 앞서 나갔다가 멈춰 서니, 꾸준한 마이클이 한 번 따라잡아 만난다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 6

여섯째 주기: 두 번 만남

이제 간격은 $-50$(마이클이 앞)에서 시작한다.
청소차가 달리는 동안 간격이 올라 $-50 + 5(t - 250) = 0$, 즉 $t = 260$에서 $0$이 된다.
세 번째 만남으로, 청소차가 길 위에서 마이클을 따라잡는다.
간격은 $t = 270$에서 $+50$까지 오른 뒤 청소차가 멈추면 다시 내려가 $50 - 5(t - 270) = 0$, 즉 $t = 280$에서 $0$이 된다.
네 번째 만남으로, 마이클이 멈춘 청소차를 되앞지른다.
주기 끝 간격은 $-100$이다.

$$-50 + 5(t-250)=0 \Rightarrow t = 260; \qquad 50 - 5(t-270)=0 \Rightarrow t = 280$$

💡 간격이 $0$ 아래에서 위로 올랐다가 다시 아래로 내려오니, 한 주기에서 만남 선을 두 번 지난다.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.3 단계 7

일곱째 주기: 마지막 스침, 그 뒤 끝

간격은 $-100$에서 시작한다.
청소차가 달리는 동안 $100$만큼 올라 $t = 320$에서 정확히 $0$에 닿는다.
다섯 번째 만남으로, 청소차가 쓰레기통에 들어서는 바로 그 순간 마이클도 도착한다.
그 뒤 청소차가 멈추면 간격은 $-150$까지 내려간다.
이제부터는 매 주기의 순변화 $-50$ 때문에 간격이 영원히 음수로 남는다(다음 주기의 최고점도 $-50$뿐).
그래서 다시는 $0$이 되지 않는다.

$$-100 + 5(t-300)=0 \Rightarrow t = 320 \;(\#5); \quad \text{이후: } D \le -50 < 0 \text{ 항상}$$

💡 한 주기의 최고점이 $0$ 아래로 떨어지면 마이클이 영구히 앞서므로 더 이상 만남은 불가능하다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 8

만남 세기

만난 시각을 모으면 $t = 200,\,240,\,260,\,280,\,320$초다.
모두 $5$번이며 그 뒤로는 없다.
정답은 $\textbf{(B)}\ 5$이다.

$$\{200, 240, 260, 280, 320\} \;\Rightarrow\; 5 \text{ 번 만남} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 정확한 만남 시각을 나열하고 목록이 닫혔음을 확인하면 개수가 빈틈없이 정해진다.

[1] #1 6.RP.A.2 마이클이 쓰레기통을 지나는 순간을 $t = 0$으로, 그 쓰레기통을 위치 $0$으로 둔다. 그러면 마이클의 위치는 $M(t) = 5t$이다. 같

[2] #8 7.RP.A.3 청소차는 쓰레기통 간격 $200$피트를 초속 $10$피트로 달리므로 $200 \div 10 = 20$초가 걸린다. 그 뒤 $30$초 정지한다.

[3] #4 7.NS.A.3 두 위치 대신 그 간격 $D = (\text{청소차 위치}) - (\text{마이클 위치})$를 따라간다. $t = 0$에서 $D = 200$이

[4] #5 7.RP.A.3 매 $50$초 주기에서 간격은 먼저 $20$초 동안 초속 $+5$피트로 오르고($+100$), 그 다음 $30$초 동안 초속 $-5$피트로 내린

[5] #4 7.EE.B.4 $t = 200$($D = 0$)에서 청소차가 출발하므로 간격은 $t = 220$에서 $+100$까지 오른다(이제 청소차가 앞). 그 뒤 청소차

[6] #4 7.EE.B.4 이제 간격은 $-50$(마이클이 앞)에서 시작한다. 청소차가 달리는 동안 간격이 올라 $-50 + 5(t - 250) = 0$, 즉 $t = 2

[7] #3 7.NS.A.3 간격은 $-100$에서 시작한다. 청소차가 달리는 동안 $100$만큼 올라 $t = 320$에서 정확히 $0$에 닿는다. 다섯 번째 만남으로,

[8] #3 4.NBT.B.4 만난 시각을 모으면 $t = 200,\,240,\,260,\,280,\,320$초다. 모두 $5$번이며 그 뒤로는 없다. 정답은 $\textbf

검토

합리성 확인: 간격만이 아니라 위치로도 확인한다. 만남 #1, $t=200$: 마이클은 $5 \cdot 200 = 1000$피트에 있고, 청소차는 $t=170$에 쓰레기통 $1000$에 도착해 $t=200$까지 멈춰 있으므로 겹친다. 만남 #5, $t=320$: 마이클은 $5 \cdot 320 = 1600$피트에 있고, 청소차가 쓰레기통 $400,600,\dots$에 도착하는 시각은 $20,70,120,170,220,270,320$이므로 정확히 $t=320$에 쓰레기통 $1600$에 들어선다. 다섯 시각 $200,240,260,280,320$은 늦은 따라잡기 하나, 홀로 지나침 하나, 이중 지나침 하나, 마지막 동시 도착 하나로 자연스럽게 나뉘며, 이는 오르내리는 간격이 예측하는 그대로다. 개수 $5$는 선택지 (B)이고, $4$는 이중 지나침 주기를 놓친 것, $6$은 $t=320$의 경계 스침을 두 번 센 것이다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)을 문자 그대로 실행: 위치-시간 그래프를 그린다. 마이클은 직선 $y = 5t$이다. 청소차는 기울기 $10$의 주행 구간을 평평한 정지 구간으로 이은 계단이며 $(0, 200)$에서 시작한다. 둘을 그리고 직선과 계단이 만나는 점을 센다. 계단이 직선 아래로 영구히 내려가기 전에 다섯 번 만난다(평평한 단 위에서 한 번, 비탈 중간에서 한 번, 비탈-단 이중 한 번, 모서리에서 정확히 한 번). 같은 답을 그래프에서 바로 읽어낸다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.2 단위 비율의 개념을 이해하고 비율 언어를 사용하기 (초속 $5$피트와 초속 $10$피트를 단위 비율로 읽어 위치를 속도 곱하기 시간으로 쓰기.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용하여 여러 단계의 비율·백분율 문제 풀기 ($200$피트를 초속 $10$피트로 가는 것을 $20$초 주행과 $30$초 정지($50$초 주기)로 바꾸고, 주기마다 간격이 $+100/-150$으로 흔들리는 것을 추적하기.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산이 포함된 실생활·수학 문제 풀기 (부호 있는 간격 $D$가 오르고($+5$ ft/s) 내리는($-5$ ft/s) 것을 따라가고, 언제 영구히 음수가 되어 만남이 멈추는지 알아보기.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식·부등식을 세워 문제 풀기 ($100 - 5(t-220) = 0$ 같은 교차 시각 방정식을 풀어 만남 시각 $240$, $260$, $280$을 정확히 찾기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수를 능숙하게 더하고 빼기 (주기별 변화를 누적하고($200,150,100,50,0$) 마지막 다섯 만남 시각의 목록을 세기.)

⭐ 추격 문제는 둘 사이의 간격 하나만 따라가면 쉬워진다. 청소차가 달리면 간격이 커지고 멈추면 줄어드는데, 간격이 $0$이 될 때마다 만난다. 여기서는 그런 일이 다섯 번 일어난다.