AMC 10 · 2008 · #25

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Staggered Start or Schedule Table

ratecoordinate-geometrypattern-recognition physical-representationcasework ↑ 선수 지식: rate

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

마이클은 곧은 길을 초속 5피트로 걷는다. 쓰레기통은 200피트마다 놓여 있다. 청소차는 같은 방향으로 초속 10피트로 달리지만 각 쓰레기통에서 30초씩 멈춘다. 마이클이 어떤 쓰레기통을 지나는 순간, 청소차는 바로 앞 쓰레기통(200피트 앞)에서 막 출발하고 있다. 그 뒤로 마이클과 청소차가 같은 위치에 있게 되는 횟수를 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 4$

(B)

$\ 5$

(C)

$\ 6$

(D)

$\ 7$

(E)

$\ 8$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)로 위치-시간 그래프를 그린다. 마이클은 직선, 청소차는 계단(달릴 때는 비스듬, 멈출 때는 평평)이고, 만남은 두 그래프가 만나는 점이다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 숫자를 청소차의 리듬으로 바꾼다. 200피트를 초속 10피트로 가면 20초 주행, 그 뒤 30초 정지, 즉 50초 주기다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 물체를 하나의 수, 간격 D = (청소차) - (마이클)로 바꾼다. 만남은 곧 D = 0이며, D는 청소차가 달릴 때 초속 5피트로 오르고 멈출 때 초속 5피트로 내린다. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 주기마다 D가 +100 뒤 -150으로 흔들리는 규칙을 이용해 첫 만남까지 빠르게 나아간다. 도구 #3(가능성 지우기)로 마무리한다. D가 더는 0에 닿을 수 없게 되면 남은 만남이 없으므로 개수가 확정된다.

1STEP 1

시계와 원점 정하기

마이클이 통을 지나는 순간을 t = 0, 그 통을 위치 0으로 두면 M(t) = 5t이고 청소차는 200피트 앞에서 출발한다.

M(t) = 5t, 청소차는 위치 200 에서 출발

2STEP 2

청소차의 50초 주기 찾기

청소차는 200피트를 초속 10피트로 20초에 달린 뒤 30초 멈춘다. 통 하나당 50초 주기다.

(200 ft)/(10 ft/s) = 20 s 주행, + 30 s 정지 = 50 s 주기

3STEP 3

수 하나로 좁히기: 간격

간격 D = (청소차) - (마이클)로 좁히자. D(0) = 200, 달리면 초속 5피트로 늘고 멈추면 준다. D = 0이 만남이다.

D(0) = 200; D 는 +5 ft/s (청소차 주행), D 는 -5 ft/s (청소차 정지)

4STEP 4

주기마다의 흔들림으로 첫 만남까지

주기마다 +100 뒤 -150이라 50씩 줄어 200, 150, 100, 50, 0이 되고 t = 200초에 첫 만남이다.

200 → 150 → 100 → 50 → 0 ( t = 200 s)

5STEP 5

다섯째 주기: 한 번 만남

D = 0에서 t = 220에 100까지 올랐다 내려 t = 240초에 0. 멈춘 차를 앞지르는 두 번째 만남이다.

100 - 5(t - 220) = 0 → t = 240 s (만남 #2)

6STEP 6

여섯째 주기: 두 번 만남

-50에서 올라 t = 260에 0을 지나고(청소차가 따라잡음) t = 280초에 다시 0. 두 번 만난다.

-50 + 5(t-250)=0 → t = 260; 50 - 5(t-270)=0 → t = 280

7STEP 7

일곱째 주기: 마지막 스침, 그 뒤 끝

-100에서 올라 t = 320초에 딱 0에 닿아 함께 통에 닿는다. 이후 주기의 최고점은 계속 0 아래다.

-100 + 5(t-300)=0 → t = 320 (#5); 이후: D ≤ -50 ＜ 0 항상

8STEP 8

만남 세기

만난 시각은 t = 200, 240, 260, 280, 320초. 모두 다섯 번이고 그 뒤는 없다. 정답은 (B) 5다.

{200, 240, 260, 280, 320} → 5 번 만남 → (B)

정답

간격만이 아니라 위치로도 확인한다. 만남 #1, t=200: 마이클은 5 · 200 = 1000피트에 있고, 청소차는 t=170에 쓰레기통 1000에 도착해 t=200까지 멈춰 있으므로 겹친다. 만남 #5, t=320: 마이클은 5 · 320 = 1600피트에 있고, 청소차가 쓰레기통 400,600,…에 도착하는 시각은 20,70,120,170,220,270,320이므로 정확히 t=320에 쓰레기통 1600에 들어선다. 다섯 시각 200,240,260,280,320은 늦은 따라잡기 하나, 홀로 지나침 하나, 이중 지나침 하나, 마지막 동시 도착 하나로 자연스럽게 나뉘며, 이는 오르내리는 간격이 예측하는 그대로다. 개수 5는 선택지 (B)이고, 4는 이중 지나침 주기를 놓친 것, 6은 t=320의 경계 스침을 두 번 센 것이다.

💡핵심 정리

추격 문제는 둘 사이의 간격 하나만 따라가면 쉬워진다. 청소차가 달리면 간격이 커지고 멈추면 줄어드는데, 간격이 0이 될 때마다 만난다. 여기서는 그런 일이 다섯 번 일어난다.

시계와 원점 정하기
청소차의 50초 주기 찾기
수 하나로 좁히기: 간격
주기마다의 흔들림으로 첫 만남까지
다섯째 주기: 한 번 만남
여섯째 주기: 두 번 만남
일곱째 주기: 마지막 스침, 그 뒤 끝
만남 세기