AMC 10 · 2008 · #6

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

ratio-proportionfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

점 B와 C는 선분 AD 위에 있다. 조각 AB의 길이는 BD의 4배이고, 조각 AC의 길이는 CD의 9배이다. 가운데 조각 BC가 AD의 몇 분의 몇을 차지하는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{36}$

(B)

$\frac{1}{13}$

(C)

$\frac{1}{10}$

(D)

$\frac{5}{36}$

(E)

$\frac{1}{5}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 하나의 직선 선분 위에서의 위치에 관한 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 딱 맞는다. B와 C가 AD 위 어디에 오는지를 전체에 대한 분수로 표시하면, 구하는 BC는 두 표시 사이의 간격일 뿐이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 전체 길이 AD를 1이라 두게 해 주어 각 비 조건을 곧바로 그릴 수 있는 분수로 바꿔 준다.

1STEP 1

전체 선분을 1이라 하기

두 단서가 모두 비이므로 AD의 실제 길이는 상관없다. AD = 1이라 두면 모든 길이가 곧 전체에 대한 분수가 된다.

AD = 1

2STEP 2

B의 위치 찾기

AB = 4 · BD는 4 대 1의 비이므로 AD는 5등분된다. 따라서 BD는 $\frac{1}{5}$ , A에서 재면 $AB = \frac{4}{5}$ 이다.

AB : BD = 4 : 1 → 5 개 부분 → AB = 4/5, BD = 1/5

3STEP 3

C의 위치 찾기

AC = 9 · CD는 9 대 1의 비이므로 AD는 10등분된다. 따라서 CD는 $\frac{1}{10}$ , A에서 재면 $AC = \frac{9}{10}$ 이다.

AC : CD = 9 : 1 → 10 개 부분 → AC = 9/10, CD = 1/10

4STEP 4

간격 BC 재기

$\frac{4}{5}$ 가 $\frac{9}{10}$ 보다 작으니 순서는 A, B, C, D이고, 간격 BC = AC - AB = $\frac{1}{10}$ 이다. 답은 (C).

BC = AC - AB = 9/10 - 8/10 = 1/10 → (C)

정답

1/10

길이가 1인 선분에서 B는 0.8, C는 0.9에 있으므로 BC는 약 십분의 일 정도의 얇은 조각이어야 한다. 값 1/10이 이에 맞고, 아주 작은 1/36과 더 큰 1/5 사이에 안전하게 들어간다. 두 점 모두 선분 안쪽에 정확히 들어오므로(0.8과 0.9는 0과 1 사이) 그림이 타당함이 확인된다.

💡핵심 정리

"4배", "9배" 같은 단서를 똑같은 부분들로 바꾸고, 두 점을 한 직선 위에 찍으면, 가운데 조각은 두 표시 사이의 간격일 뿐이다.

전체 선분을 1이라 하기
B의 위치 찾기
C의 위치 찾기
간격 BC 재기

전체 선분을 1이라 하기

B의 위치 찾기

C의 위치 찾기

간격 BC 재기

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