AMC 10 · 2008 · #6
학년 6 rate-ratio점 B와 C는 AD 위에 있다. AB의 길이는 BD의 길이의 4배이고, AC의 길이는 CD의 길이의 9배이다. BC의 길이는 AD의 길이의 몇 분의 몇인가?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 점 $B$와 $C$는 선분 $\overline{AD}$ 위에 있다. 조각 $\overline{AB}$의 길이는 $\overline{BD}$의 $4$배이고, 조각 $\overline{AC}$의 길이는 $\overline{CD}$의 $9$배이다. 가운데 조각 $\overline{BC}$가 $\overline{AD}$의 몇 분의 몇을 차지하는지 구하여라.
주어진 것: $B$와 $C$는 모두 선분 $\overline{AD}$ 위에 있다; $AB = 4 \cdot BD$; $AC = 9 \cdot CD$; 선택지: (A) $\frac{1}{36}$, (B) $\frac{1}{13}$, (C) $\frac{1}{10}$, (D) $\frac{5}{36}$, (E) $\frac{1}{5}$
구하는 것: 비 $\dfrac{BC}{AD}$, 즉 조각 $\overline{BC}$가 전체 선분의 몇 분의 몇인지
이해
문제 재정리: 점 $B$와 $C$는 선분 $\overline{AD}$ 위에 있다. 조각 $\overline{AB}$의 길이는 $\overline{BD}$의 $4$배이고, 조각 $\overline{AC}$의 길이는 $\overline{CD}$의 $9$배이다. 가운데 조각 $\overline{BC}$가 $\overline{AD}$의 몇 분의 몇을 차지하는지 구하여라.
주어진 것: $B$와 $C$는 모두 선분 $\overline{AD}$ 위에 있다; $AB = 4 \cdot BD$; $AC = 9 \cdot CD$; 선택지: (A) $\frac{1}{36}$, (B) $\frac{1}{13}$, (C) $\frac{1}{10}$, (D) $\frac{5}{36}$, (E) $\frac{1}{5}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #4 변수 도입하기
이 문제는 하나의 직선 선분 위에서의 위치에 관한 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 딱 맞는다. $B$와 $C$가 $\overline{AD}$ 위 어디에 오는지를 전체에 대한 분수로 표시하면, 구하는 $\overline{BC}$는 두 표시 사이의 간격일 뿐이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 전체 길이 $\overline{AD}$를 $1$이라 두게 해 주어 각 비 조건을 곧바로 그릴 수 있는 분수로 바꿔 준다.
실행 — 정답: C
6.EE.B.6 단계 1 전체 선분을 1이라 하기
- 두 단서가 모두 비이므로 $\overline{AD}$의 실제 길이는 상관없다 — 가장 편한 값을 고르자.
- $AD = 1$이라 하면 다른 모든 길이가 곧바로 $\overline{AD}$에 대한 분수가 되는데, 이것이 바로 문제가 묻는 것이다.
💡 전체를 "1"이라 이름 붙이면 모든 조각이 저절로 전체에 대한 분수로 읽힌다.
6.RP.A.3 단계 2 B의 위치 찾기
- $AB = 4 \cdot BD$는 두 조각 $\overline{AB}$와 $\overline{BD}$가 $4 : 1$의 비임을 뜻하므로, 둘을 합치면 $\overline{AD}$가 $4 + 1 = 5$개의 똑같은 부분으로 나뉜다.
- 따라서 $BD = \tfrac{1}{5}$, $AB = \tfrac{4}{5}$이고, $B$는 $A$에서 $\tfrac{4}{5}$만큼 떨어진 곳에 있다.
💡 $4:1$로 나누면 똑같은 부분이 $5$개이고, $B$는 $4$번째 부분 자리에 온다.
6.RP.A.3 단계 3 C의 위치 찾기
- $AC = 9 \cdot CD$는 $\overline{AC}$와 $\overline{CD}$가 $9 : 1$의 비임을 뜻하므로 $\overline{AD}$가 $9 + 1 = 10$개의 똑같은 부분으로 나뉜다.
- 따라서 $CD = \tfrac{1}{10}$, $AC = \tfrac{9}{10}$이고, $C$는 $A$에서 $\tfrac{9}{10}$만큼 떨어진 곳에 있다.
💡 $9:1$로 나누면 똑같은 부분이 $10$개이고, $C$는 $9$번째 부분 자리에 온다.
5.NF.A.1 단계 4 간격 BC 재기
- 두 표시를 선분 위에 찍어 보자.
- $\tfrac{4}{5} = \tfrac{8}{10}$은 $\tfrac{9}{10}$보다 작으므로 $\overline{AD}$ 위의 순서는 $A, B, C, D$이다.
- 조각 $\overline{BC}$는 둘 사이의 간격이므로 빼면 된다: $BC = AC - AB = \tfrac{9}{10} - \tfrac{4}{5} = \tfrac{9}{10} - \tfrac{8}{10} = \tfrac{1}{10}$.
- $AD = 1$이므로 이 분수가 바로 답이며, 선택지 $\textbf{(C)}$이다.
💡 그림에서 $\overline{BC}$는 $B$의 표시에서 $C$의 표시까지의 거리일 뿐이다.
6.EE.B.6 두 단서가 모두 비이므로 $\overline{AD}$의 실제 길이는 상관없다 — 가장 편한 값을 고르자. $AD = 1$이라 하면 다른 모든 길 6.RP.A.3 $AB = 4 \cdot BD$는 두 조각 $\overline{AB}$와 $\overline{BD}$가 $4 : 1$의 비임을 뜻하므로, 둘을 6.RP.A.3 $AC = 9 \cdot CD$는 $\overline{AC}$와 $\overline{CD}$가 $9 : 1$의 비임을 뜻하므로 $\overlin 5.NF.A.1 두 표시를 선분 위에 찍어 보자. $\tfrac{4}{5} = \tfrac{8}{10}$은 $\tfrac{9}{10}$보다 작으므로 $\over 검토
합리성 확인: 길이가 $1$인 선분에서 $B$는 $0.8$, $C$는 $0.9$에 있으므로 $\overline{BC}$는 약 십분의 일 정도의 얇은 조각이어야 한다. 값 $\tfrac{1}{10}$이 이에 맞고, 아주 작은 $\tfrac{1}{36}$과 더 큰 $\tfrac{1}{5}$ 사이에 안전하게 들어간다. 두 점 모두 선분 안쪽에 정확히 들어오므로($0.8$과 $0.9$는 $0$과 $1$ 사이) 그림이 타당함이 확인된다.
대안 접근: $1$ 대신 공통 길이를 써도 된다. $5$와 $10$의 최소공배수는 $10$이므로 $AD = 10$이라 하자. 그러면 $AB = \tfrac{4}{5}\cdot 10 = 8$, $AC = \tfrac{9}{10}\cdot 10 = 9$로 위치가 모두 정수가 된다. 따라서 $BC = 9 - 8 = 1$이고 $\tfrac{BC}{AD} = \tfrac{1}{10}$ — 분수 뺄셈 없이도 같은 답이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.B.6변수를 사용해 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 (전체 선분 $AD = 1$(단위)로 두어 모든 부분 길이가 곧바로 $\overline{AD}$에 대한 분수로 읽히게 함.)6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 ($AB = 4\cdot BD$를 $4:1$ 분할(5개 부분, $B$는 $\tfrac{4}{5}$)로, $AC = 9\cdot CD$를 $9:1$ 분할(10개 부분, $C$는 $\tfrac{9}{10}$)로 바꿈.)5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (공통분모를 만들어 간격 $BC = \tfrac{9}{10} - \tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{10}$을 계산함.)
⭐ "$4$배", "$9$배" 같은 단서를 똑같은 부분들로 바꾸고, 두 점을 한 직선 위에 찍으면, 가운데 조각은 두 표시 사이의 간격일 뿐이다.
⭐ "$4$배", "$9$배" 같은 단서를 똑같은 부분들로 바꾸고, 두 점을 한 직선 위에 찍으면, 가운데 조각은 두 표시 사이의 간격일 뿐이다.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.