AMC 10 · 2009 · #11

학년 7 geometry-3d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
volume-rectangular-prismdifference-of-squareslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 모서리의 길이가 모두 같은 정육면체가 있다. 이 정육면체로 새 상자를 만든다. 한 모서리는 1만큼 늘리고, 다른 한 모서리는 1만큼 줄이고, 나머지 한 모서리는 그대로 둔다. 새 상자의 부피는 정육면체보다 5만큼 작다. 정육면체의 부피를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
8
(B)
27
(C)
64
(D)
125
(E)
216

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

두 도형을 하나로 이어 주는 핵심은 정육면체의 모서리 길이인데, 이 값을 모르므로 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 s라고 이름 붙이면 정육면체와 새 상자를 같은 기호로 나타낼 수 있다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "5만큼 작다"라는 문장을 식으로 옮기면, 서로 반대인 두 변화(+1과 -1)가 깔끔하게 정리된다. s를 구하고 나면 도구 #3(가능성 지우기)으로 정육면체의 부피를 다섯 개의 선택지 중 하나에 정확히 맞춘다.

1STEP 1

정육면체의 모서리에 이름 붙이기

정육면체의 한 모서리를 s라 하자. 정육면체이므로 세 모서리가 모두 s이다.

s = 정육면체의 모서리 길이
2STEP 2

두 부피를 식으로 쓰기

정육면체의 부피는 s³이고, 새 상자는 s+1, s-1, s이므로 부피는 (s+1)(s-1)s이다.

V_정육면체 = s³, V_상자 = (s+1)(s-1) s
3STEP 3

상자의 부피 정리하기

+1과 -1이 상쇄되어 (s+1)(s-1) = s² - 1이므로 상자의 부피는 s(s² - 1) = s³ - s이다.

(s+1)(s-1) = s² - 1, V_상자 = s(s² - 1) = s³ - s
4STEP 4

식을 세우고 모서리 구하기

부피가 5만큼 줄었으므로 s³ - (s³ - s) = 5이고, s³끼리 지워져 s = 5만 남는다.

s³ - (s³ - s) = 5 → s = 5
5STEP 5

정육면체의 부피 구하기

모서리가 5이므로 정육면체의 부피는 5³ = 125이고, 이는 선택지 (D)이다.

V_정육면체 = 5³ = 125 → (D)
정답
125
숫자로 직접 확인해 보자. 모서리가 5이면 정육면체의 부피는 5³ = 125이고, 새 상자는 6 × 4 × 5 = 120이다. 그 차이는 125 - 120 = 5로, 문제에서 말한 것과 정확히 같다. 부피 125는 선택지 (D)이므로 결과가 문제와 선택지 모두에 들어맞는다.
💡핵심 정리

한 변을 1만큼 늘리고 다른 한 변을 1만큼 줄이면, 부피는 건드리지 않은 변의 길이만큼 줄어든다.

  • 정육면체의 모서리에 이름 붙이기
  • 두 부피를 식으로 쓰기
  • 상자의 부피 정리하기
  • 식을 세우고 모서리 구하기
  • 정육면체의 부피 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.