AMC 10 · 2009 · #11

학년 7 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

volume-rectangular-prismdifference-of-squareslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

정육면체의 한 모서리의 길이를 $1$ 만큼 늘리고, 다른 한 모서리를 $1$ 만큼 줄이고, 나머지 한 모서리는 그대로 두었다. 이렇게 만든 직육면체의 부피는 원래 정육면체의 부피보다 $5$ 만큼 작다. 정육면체의 부피는 얼마였는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

125

(E)

216

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 모서리의 길이가 모두 같은 정육면체가 있다. 이 정육면체로 새 상자를 만든다. 한 모서리는 $1$만큼 늘리고, 다른 한 모서리는 $1$만큼 줄이고, 나머지 한 모서리는 그대로 둔다. 새 상자의 부피는 정육면체보다 $5$만큼 작다. 정육면체의 부피를 구하여라.

주어진 것: 처음 도형은 정육면체이므로 가로, 세로, 높이가 모두 같다.; 한 모서리는 $1$만큼 늘리고, 다른 한 모서리는 $1$만큼 줄이며, 세 번째 모서리는 그대로 둔다.; 새 상자의 부피는 정육면체의 부피보다 정확히 $5$만큼 작다.

구하는 것: 처음 정육면체의 부피.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

두 도형을 하나로 이어 주는 핵심은 정육면체의 모서리 길이인데, 이 값을 모르므로 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 $s$라고 이름 붙이면 정육면체와 새 상자를 같은 기호로 나타낼 수 있다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "$5$만큼 작다"라는 문장을 식으로 옮기면, 서로 반대인 두 변화($+1$과 $-1$)가 깔끔하게 정리된다. $s$를 구하고 나면 도구 #3(가능성 지우기)으로 정육면체의 부피를 다섯 개의 선택지 중 하나에 정확히 맞춘다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

정육면체의 모서리에 이름 붙이기

정육면체의 한 모서리 길이를 $s$라고 하자.
정육면체이므로 세 모서리가 모두 $s$이다.
이제 문제에 나오는 모든 길이를 $s$로 나타낼 수 있다.

$$s = \text{정육면체의 모서리 길이}$$

💡 모르는 모서리에 이름을 붙이면 두 도형을 하나의 기호로 나타낼 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 5.MD.C.5 단계 2

두 부피를 식으로 쓰기

정육면체의 부피는 $s \times s \times s = s^3$이다.
새 상자는 한 모서리를 $s$로 두고, 다른 한 모서리를 $s+1$로, 세 번째 모서리를 $s-1$로 만들었으므로 부피는 $(s+1)(s-1)(s)$이다.

$$V_{\text{정육면체}} = s^3, \qquad V_{\text{상자}} = (s+1)(s-1)\,s$$

💡 부피는 세 변의 길이를 모두 곱한 것일 뿐이다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 3

상자의 부피 정리하기

바뀐 두 모서리를 먼저 곱한다.
$+1$과 $-1$은 서로 반대이므로 $(s+1)(s-1) = s^2 - 1$이다.
여기에 그대로 둔 모서리 $s$를 곱하면 $V_{\text{상자}} = s(s^2 - 1) = s^3 - s$가 된다.

$$(s+1)(s-1) = s^2 - 1, \qquad V_{\text{상자}} = s(s^2 - 1) = s^3 - s$$

💡 서로 반대인 두 변화 $+1$과 $-1$이 상쇄되어 깔끔한 $s^2 - 1$로 정리된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

식을 세우고 모서리 구하기

상자의 부피가 정육면체보다 $5$만큼 작으므로 $V_{\text{정육면체}} - V_{\text{상자}} = 5$이다.
즉 $s^3 - (s^3 - s) = 5$이다.
$s^3$끼리 지워지고 $s = 5$만 남는다.

$$s^3 - (s^3 - s) = 5 \;\Rightarrow\; s = 5$$

💡 정육면체 부분이 상쇄되므로 $5$만큼 줄어든 양이 곧 모서리 하나의 길이와 같다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 5

정육면체의 부피 구하기

정육면체의 모서리가 $s = 5$이므로 부피는 $5^3 = 125$이다.
이를 선택지에 맞추면 $\textbf{(D)}$이다.

$$V_{\text{정육면체}} = 5^3 = 125 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 구한 모서리를 세제곱하면 문제가 물은 부피가 나온다.

[1] #4 6.EE.B.6 정육면체의 한 모서리 길이를 $s$라고 하자. 정육면체이므로 세 모서리가 모두 $s$이다. 이제 문제에 나오는 모든 길이를 $s$로 나타낼 수

[2] #13 5.MD.C.5 정육면체의 부피는 $s \times s \times s = s^3$이다. 새 상자는 한 모서리를 $s$로 두고, 다른 한 모서리를 $s+1$로,

[3] #13 7.EE.A.1 바뀐 두 모서리를 먼저 곱한다. $+1$과 $-1$은 서로 반대이므로 $(s+1)(s-1) = s^2 - 1$이다. 여기에 그대로 둔 모서리 $

[4] #4 6.EE.B.7 상자의 부피가 정육면체보다 $5$만큼 작으므로 $V_{\text{정육면체}} - V_{\text{상자}} = 5$이다. 즉 $s^3 - (s^3

[5] #3 6.EE.A.1 정육면체의 모서리가 $s = 5$이므로 부피는 $5^3 = 125$이다. 이를 선택지에 맞추면 $\textbf{(D)}$이다.

검토

합리성 확인: 숫자로 직접 확인해 보자. 모서리가 $5$이면 정육면체의 부피는 $5^3 = 125$이고, 새 상자는 $6 \times 4 \times 5 = 120$이다. 그 차이는 $125 - 120 = 5$로, 문제에서 말한 것과 정확히 같다. 부피 $125$는 선택지 (D)이므로 결과가 문제와 선택지 모두에 들어맞는다.

대안 접근: 모든 선택지가 완전세제곱수이므로 그 모서리는 $2, 3, 4, 5, 6$이다. 각각을 추측하고 확인해 보면, 모서리가 $5$일 때 상자는 $6 \times 4 \times 5 = 120$으로 $125$보다 $5$만큼 작다. 다른 모서리는 차이가 정확히 $5$가 되지 않으므로(모서리 $4$이면 차이가 $4$, 모서리 $6$이면 차이가 $6$) 정육면체의 부피는 $125$임이 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (정육면체의 모서리를 $s$로 두어 두 도형을 하나의 기호로 나타내기.)
5.MD.C.5 Relate volume to the operations of multiplication and addition (정육면체의 부피 $s^3$과 세 모서리의 곱으로 나타낸 상자의 부피 쓰기.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions ($(s+1)(s-1)$을 $s^2 - 1$로 전개하고 상자의 부피를 $s^3 - s$로 정리하기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ("$5$만큼 작다"를 $s^3 - (s^3 - s) = 5$로 옮기고 풀어 $s = 5$ 구하기.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents ($5^3 = 125$를 계산하여 정육면체의 부피 구하기.)

⭐ 한 변을 $1$만큼 늘리고 다른 한 변을 $1$만큼 줄이면, 부피는 건드리지 않은 변의 길이만큼 줄어든다.