AMC 10 · 2009 · #12

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

polygon-inequalityinterval-arithmetic bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: interval-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

사각형 $ABCD$ 에서 $AB = 5$ , $BC = 17$ , $CD = 5$ , $DA = 9$ 이고 $BD$ 는 정수이다. $BD$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사각형 $ABCD$에서 네 변은 $AB=5$, $BC=17$, $CD=5$, $DA=9$이다. 대각선 $BD$의 길이는 정수이다. $BD$를 구하여라.

주어진 것: 네 변의 길이는 $AB=5$, $BC=17$, $CD=5$, $DA=9$이다; $BD$는 $B$와 $D$를 잇는 대각선이다; $BD$는 정수이다; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: 대각선 $BD$의 정수 길이

이해

문제 재정리: 사각형 $ABCD$에서 네 변은 $AB=5$, $BC=17$, $CD=5$, $DA=9$이다. 대각선 $BD$의 길이는 정수이다. $BD$를 구하여라.

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

대각선 $BD$는 두 삼각형에 동시에 속하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사각형을 $\triangle BCD$(변 $17$, $5$, $BD$)와 $\triangle ABD$(변 $5$, $9$, $BD$)로 나눈다. 각 삼각형 안에서 나머지 한 변은 두 변이 닫힐 수 없을 만큼 너무 길거나 너무 짧을 수 없는데, 그 경계가 바로 삼각형 부등식이다. 그래서 도구 #14(극단의 원리)로 각 삼각형을 넓이가 $0$이 되는 평평한 경계까지 밀어 $BD$가 얼마나 클 수 있고 얼마나 작을 수 있는지를 읽어낸다. 이 두 경계가 $BD$를 좁은 구간에 가두고, 도구 #3(가능성 지우기)이 정수라는 단서로 살아남는 하나의 값을 고른다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.2 단계 1

사각형을 두 삼각형으로 자르기

대각선 $BD$를 긋는다.
이것은 $ABCD$를 변이 $BC=17$, $CD=5$, $BD$인 $\triangle BCD$와 변이 $AB=5$, $DA=9$, $BD$인 $\triangle ABD$로 나눈다.
둘 다 진짜 삼각형이어야 하므로 각 삼각형에서 어느 한 변도 나머지 두 변의 합보다 짧아야 한다.
공유하는 변 $BD$는 두 삼각형의 조건을 동시에 만족해야 한다.

$$\triangle BCD:\;17,\,5,\,BD \qquad \triangle ABD:\;5,\,9,\,BD$$

💡 대각선 하나가 어려운 사각형을 그 대각선을 공통 변으로 나눠 갖는 두 삼각형으로 바꾼다.

#14 극단의 원리 7.EE.B.4 단계 2

큰 삼각형에서 아래 경계 얻기

$\triangle BCD$에서 아는 두 변은 $17$과 $5$이다.
삼각형이 닫히려면 변 $BD$와 짧은 변 $5$가 함께 긴 변 $17$을 넘어서야 한다: $BD+5>17$, 즉 $BD>12$.
극단인 $BD=12$에서는 변 $5$와 $12$가 $17$에 평평하게 붙어(넓이 $0$) 버리므로 $BD$는 $12$보다 반드시 커야 한다.

$$BD + 5 > 17 \;\Rightarrow\; BD > 12$$

💡 두 변은 함께 긴 세 번째 변보다 길 때만 그것을 감쌀 수 있고, 아니면 일직선으로 무너진다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.8 단계 3

작은 삼각형에서 위 경계 얻기

$\triangle ABD$에서 아는 두 변은 $5$와 $9$이다.
변 $BD$는 이 두 변의 합보다 길 수 없다.
그렇지 않으면 두 변이 만날 수 없기 때문이다: $BD<5+9=14$.
극단인 $BD=14$에서는 변 $5$와 $9$가 끝과 끝을 맞대고 평평하게 놓여(넓이 $0$) 버리므로 $BD$는 $14$보다 반드시 작아야 한다.

$$BD < 5 + 9 = 14$$

💡 한 변은 나머지 두 변을 끝과 끝으로 이은 길이만큼만 길 수 있고, 그 길이에 이르면 삼각형은 선분으로 납작해진다.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 4

정수를 가두기

두 삼각형이 함께 $12 < BD < 14$를 강제한다.
$12$와 $14$ 사이에 딱 들어가는 정수는 $13$ 하나뿐이고, 문제에서 $BD$가 정수라고 했으므로 $BD=13$이다.
답은 (C)이다.

$$12 < BD < 14,\; BD\in\mathbb{Z} \;\Rightarrow\; BD = 13 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 값을 두 경계 사이에 끼워 넣으면 정수라는 단서가 정확히 하나만 남긴다.

[1] #7 7.G.A.2 대각선 $BD$를 긋는다. 이것은 $ABCD$를 변이 $BC=17$, $CD=5$, $BD$인 $\triangle BCD$와 변이 $AB=5$,

[2] #14 7.EE.B.4 $\triangle BCD$에서 아는 두 변은 $17$과 $5$이다. 삼각형이 닫히려면 변 $BD$와 짧은 변 $5$가 함께 긴 변 $17$을

[3] #14 6.EE.B.8 $\triangle ABD$에서 아는 두 변은 $5$와 $9$이다. 변 $BD$는 이 두 변의 합보다 길 수 없다. 그렇지 않으면 두 변이 만날

[4] #3 6.NS.C.7 두 삼각형이 함께 $12 < BD < 14$를 강제한다. $12$와 $14$ 사이에 딱 들어가는 정수는 $13$ 하나뿐이고, 문제에서 $BD$가

검토

합리성 확인: $BD=13$으로 두 삼각형을 확인한다. $\triangle BCD$의 변 $5,13,17$은 $5+13=18>17$이므로 유효한 삼각형이다. $\triangle ABD$의 변 $5,9,13$은 $5+9=14>13$이므로 역시 유효하다. 둘 다 약간의 여유를 두고 성립하며 다른 정수는 안 된다: $12$는 실패($5+12=17$, 평평)하고 $14$도 실패($5+9=14$, 평평)한다. 따라서 $BD=13$, (C)와 일치한다.

대안 접근: 모든 부등식을 한꺼번에 결합한다. $\triangle BCD$에서 $|17-5| < BD < 17+5$, 즉 $12 < BD < 22$. $\triangle ABD$에서 $|9-5| < BD < 9+5$, 즉 $4 < BD < 14$. 두 구간을 겹치면 $12 < BD < 14$이고, 그 안의 정수는 $13$뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.A.2 Draw geometric shapes with given conditions including triangles (대각선 $BD$를 따라 사각형을 두 삼각형으로 나누고 각 삼각형이 삼각형 부등식을 만족하도록 요구하는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ($\triangle BCD$에서 $BD+5>17$을 세우고 풀어 아래 경계 $BD>12$를 얻는 데 사용.)
6.EE.B.8 Write an inequality of the form x > c or x < c and graph on a number line ($\triangle ABD$의 경계에서 위 경계 조건 $BD<14$를 쓰는 데 사용.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers ($12$와 $14$ 사이에서 수직선 위 유일한 정수가 $13$임을 알아보는 데 사용.)

⭐ 대각선은 사각형을 두 삼각형으로 자른다. 각 삼각형을 아슬아슬하게 닫히도록 만들어 대각선을 두 수 사이에 가둔 뒤, 정수라는 단서로 답을 고르면 된다.