AMC 10 · 2009 · #12
학년 7 geometry-2d
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AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
대각선 BD는 두 삼각형에 동시에 속하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사각형을 △ BCD(변 17, 5, BD)와 △ ABD(변 5, 9, BD)로 나눈다. 각 삼각형 안에서 나머지 한 변은 두 변이 닫힐 수 없을 만큼 너무 길거나 너무 짧을 수 없는데, 그 경계가 바로 삼각형 부등식이다. 그래서 도구 #14(극단의 원리)로 각 삼각형을 넓이가 0이 되는 평평한 경계까지 밀어 BD가 얼마나 클 수 있고 얼마나 작을 수 있는지를 읽어낸다. 이 두 경계가 BD를 좁은 구간에 가두고, 도구 #3(가능성 지우기)이 정수라는 단서로 살아남는 하나의 값을 고른다.
사각형을 두 삼각형으로 자르기
대각선 BD를 그으면 △ BCD(17, 5, BD)와 △ ABD(5, 9, BD)가 되고, BD는 두 삼각형을 동시에 만족해야 한다.
대각선 하나가 어려운 사각형을 그 대각선을 공통 변으로 나눠 갖는 두 삼각형으로 바꾼다.
7.G.A.2Identify Subproblems큰 삼각형에서 아래 경계 얻기
△ BCD에서 5와 BD가 17을 넘어서야 하므로 BD는 12보다 크다. 12에서는 17에 납작해진다.
두 변은 함께 긴 세 번째 변보다 길 때만 그것을 감쌀 수 있고, 아니면 일직선으로 무너진다.
두 변이 긴 셋째 변을 감쌀 수 있는 것은, 합쳐서 그것보다 길 때뿐이다.
▸ 왜?
그렇지 않으면 끝이 만나지 못하고 삼각형이 납작해져 직선이 된다.
▸ 왜?
그 비교들이 사슬처럼 이어져, 미지의 길이를 아래와 위 사이에 가둔다.
작은 삼각형에서 위 경계 얻기
△ ABD에서 BD는 5+9보다 길 수 없으므로 14보다 작다. 14에서는 두 변이 일직선이 된다.
한 변은 나머지 두 변을 끝과 끝으로 이은 길이만큼만 길 수 있고, 그 길이에 이르면 삼각형은 선분으로 납작해진다.
6.EE.B.8Extreme Principle정수를 가두기
두 결과를 합치면 BD는 12와 14 사이에 있고, 그 사이 정수는 13뿐이다. 답은 (C)이다.
값을 두 경계 사이에 끼워 넣으면 정수라는 단서가 정확히 하나만 남긴다.
6.NS.C.7Eliminate Possibilities대각선은 사각형을 두 삼각형으로 자른다. 각 삼각형을 아슬아슬하게 닫히도록 만들어 대각선을 두 수 사이에 가둔 뒤, 정수라는 단서로 답을 고르면 된다.
- 사각형을 두 삼각형으로 자르기
- 큰 삼각형에서 아래 경계 얻기
- 작은 삼각형에서 위 경계 얻기
- 정수를 가두기