AMC 10 · 2009 · #13

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

exponentsprime-factorization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

문자 P와 Q는 각각 P = 2^m, Q = 3ⁿ인 수를 나타내며, 여기서 m과 n은 정수이다. 다섯 개의 보기 중에서 모든 정수 쌍 (m,n)에 대하여 12^mn과 같아지는 것 하나를 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$P^2Q$

(B)

$P^nQ^m$

(C)

$P^nQ^{2m}$

(D)

$P^{2m}Q^n$

(E)

$P^{2n}Q^m$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

모든 것이 두 재료 P = 2^m과 Q = 3ⁿ으로 쓰여 있다. 밑 12를 2와 3의 거듭제곱으로 쪼갠 다음, 지수 법칙을 이용해 각 소수의 거듭제곱을 P와 Q로 다시 만든다. 마지막에 간단한 수 대입으로 딱 맞는 보기 하나를 확정한다.

1STEP 1

밑을 소인수로 분해하기

밑 12는 2² × 3이고, 곱의 거듭제곱은 각 인수를 따로 올리므로 2 조각과 3 조각이 분리된다.

12^mn = (2² · 3)^mn = 2²mn · 3^mn

2STEP 2

P와 Q로 소수 거듭제곱 다시 만들기

거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱하므로 P²ⁿ = 2²mn, Q^m = 3^mn이 되어 필요한 조각이 나온다.

P²ⁿ = 2²mn, Q^m = 3^mn

3STEP 3

조각들을 맞춰 붙이기

쪼갠 2²mn · 3^mn은 곧 P²ⁿ과 Q^m의 곱이므로, 12^mn을 P와 Q만으로 되살릴 수 있다.

12^mn = 2²mn · 3^mn = P²ⁿ Q^m

4STEP 4

수 대입으로 확인하기

m=2, n=1을 넣으면 목표값이 144인데, 닮은꼴 P²Q는 4²·3 = 48이라 어긋난다.

m=2, n=1: 12^mn=144 = 2⁴ · 3 = P²ⁿQ^m

정답

P²ⁿQ^m

밑 12 = 2² · 3은 3보다 2를 두 배 많이 품고 있으므로, 2 부분의 지수가 더 커야 한다. 보기 (E)는 2 부분에 P²ⁿ을, 3 부분에 Q^m을 쓰는데, 2n이 m을 이기는 정도가 2² · 3이 예고한 두 배와 정확히 맞는다. m=2, n=1을 대입하면 양변이 모두 144가 되어, 한 쌍의 우연을 넘어 일치가 유지됨을 확인할 수 있다.

💡핵심 정리

수를 소수의 거듭제곱으로 쪼갠 다음, 지수 법칙으로 소수 하나씩 목표 식을 다시 만들면 된다.

밑을 소인수로 분해하기
P와 Q로 소수 거듭제곱 다시 만들기
조각들을 맞춰 붙이기
수 대입으로 확인하기

밑을 소인수로 분해하기

P와 Q로 소수 거듭제곱 다시 만들기

조각들을 맞춰 붙이기

수 대입으로 확인하기

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