AMC 10 · 2009 · #13

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

exponentsprime-factorization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$P = 2^m$ , $Q = 3^n$ 이라고 하자. 모든 정수 쌍 $(m,n)$ 에 대하여 $12^{mn}$ 과(와) 같은 것은 다음 중 어느 것인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$P^2Q$

(B)

$P^nQ^m$

(C)

$P^nQ^{2m}$

(D)

$P^{2m}Q^n$

(E)

$P^{2n}Q^m$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 문자 $P$와 $Q$는 각각 $P = 2^m$, $Q = 3^n$인 수를 나타낸다. 다섯 개의 보기 중에서, 어떤 정수 $m$과 $n$을 넣더라도 항상 $12^{mn}$과 같아지는 것을 찾아라.

주어진 것: $P = 2^m$; $Q = 3^n$; 목표 식은 $12^{mn}$; 보기: (A) $P^2Q$, (B) $P^nQ^m$, (C) $P^nQ^{2m}$, (D) $P^{2m}Q^n$, (E) $P^{2n}Q^m$

구하는 것: 모든 정수 쌍 $(m,n)$에 대해 $12^{mn}$과 같아지는 보기

이해

주어진 것: $P = 2^m$; $Q = 3^n$; 목표 식은 $12^{mn}$; 보기: (A) $P^2Q$, (B) $P^nQ^m$, (C) $P^nQ^{2m}$, (D) $P^{2m}Q^n$, (E) $P^{2n}Q^m$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

모든 것이 두 재료 $P = 2^m$과 $Q = 3^n$으로 쓰여 있다. 밑 $12$를 $2$와 $3$의 거듭제곱으로 쪼갠 다음, 지수 법칙을 이용해 각 소수의 거듭제곱을 $P$와 $Q$로 다시 만든다. 마지막에 간단한 수 대입으로 딱 맞는 보기 하나를 확정한다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 8.EE.A.1 단계 1

밑을 소인수로 분해하기

밑 $12$는 $2^2 \times 3$이다.
곱을 거듭제곱하면 각 인수가 따로 거듭제곱되므로, 두 소수 조각이 깔끔하게 분리된다.

$$12^{mn} = (2^2 \cdot 3)^{mn} = 2^{2mn} \cdot 3^{mn}$$

💡 $12$를 $2$ 부분과 $3$ 부분으로 나누면 $2$와 $3$을 따로 다룰 수 있다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.1 단계 2

P와 Q로 소수 거듭제곱 다시 만들기

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱해진다.
그래서 $P^{2n} = (2^m)^{2n} = 2^{2mn}$이고, $Q^m = (3^n)^m = 3^{mn}$이다.
이 둘이 바로 우리에게 필요한 조각이다.

$$P^{2n} = 2^{2mn}, \qquad Q^m = 3^{mn}$$

💡 지수 위에 지수를 쌓으면 곱해지므로, $P$와 $Q$로 원하는 어떤 지수든 만들 수 있다.

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.2 단계 3

조각들을 맞춰 붙이기

목표 식은 $2^{2mn} \cdot 3^{mn}$으로 쪼개졌고, 이는 각각 $P^{2n}$과 $Q^m$과 같다.
둘을 다시 곱하면 $12^{mn}$이 오로지 $P$와 $Q$만으로 다시 만들어진다.

$$12^{mn} = 2^{2mn} \cdot 3^{mn} = P^{2n} Q^m$$

💡 각 소수의 거듭제곱을 $P$나 $Q$로 쓰고 나면, 목표 식은 그저 그 둘의 곱이다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 4

수 대입으로 확인하기

$m = 1$, $n = 1$을 넣어 보자.
그러면 $12^{mn} = 12$이고, $P = 2$, $Q = 3$이므로 $P^{2n}Q^m = 2^2 \cdot 3 = 12$로 일치한다.
다른 보기들은 값이 달라진다.
예를 들어 여기서는 $P^2Q = 12$로 같아 보이지만, $m=2, n=1$에서는 $12^2 = 144$인 반면 $P^2Q = 4^2\cdot 3 = 48$로 어긋난다.
따라서 답은 (E)이다.

$$m=2,\, n=1:\ 12^{mn}=144 = 2^4\cdot 3 = P^{2n}Q^m$$

💡 작은 수를 넣어 보면 대수 계산이 맞는지 확인되고, 비슷해 보이는 보기가 걸러진다.

[1] #4 8.EE.A.1 밑 $12$는 $2^2 \times 3$이다. 곱을 거듭제곱하면 각 인수가 따로 거듭제곱되므로, 두 소수 조각이 깔끔하게 분리된다.

[2] #4 8.EE.A.1 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱해진다. 그래서 $P^{2n} = (2^m)^{2n} = 2^{2mn}$이고, $Q^m = (3^n)^m

[3] #15 6.EE.A.2 목표 식은 $2^{2mn} \cdot 3^{mn}$으로 쪼개졌고, 이는 각각 $P^{2n}$과 $Q^m$과 같다. 둘을 다시 곱하면 $12^{m

[4] #3 6.EE.A.1 $m = 1$, $n = 1$을 넣어 보자. 그러면 $12^{mn} = 12$이고, $P = 2$, $Q = 3$이므로 $P^{2n}Q^m =

검토

합리성 확인: 밑 $12 = 2^2 \cdot 3$은 $3$보다 $2$를 두 배 많이 품고 있으므로, $2$ 부분의 지수가 더 커야 한다. 보기 (E)는 $2$ 부분에 $P^{2n}$을, $3$ 부분에 $Q^m$을 쓰는데, $2n$이 $m$을 이기는 정도가 $2^2\cdot 3$이 예고한 두 배와 정확히 맞는다. $m=2, n=1$을 대입하면 양변이 모두 $144$가 되어, 한 쌍의 우연을 넘어 일치가 유지됨을 확인할 수 있다.

대안 접근: 문자를 빼고 지수를 직접 비교한다. 각 보기를 다시 $2$와 $3$으로 써서 $2^{2mn}3^{mn}$과 같아야 한다고 요구한다. $2$의 지수가 $2mn$, $3$의 지수가 $mn$이 동시에 되는 것은 오직 (E)뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 ($2^2\cdot 3$에 지수를 분배하고 쌓인 지수를 곱하여 $P$와 $Q$를 필요한 $2$와 $3$의 거듭제곱으로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (각 소수의 거듭제곱을 확인한 뒤, 주어진 문자 양 $P$와 $Q$로 $12^{mn}$을 다시 조립하는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식을 쓰고 계산하기 (작은 정숫값에서 $12^{mn}$과 $P^{2n}Q^m$을 계산하여 일치를 확인하고 다른 보기를 지우는 데 사용.)

⭐ 수를 소수의 거듭제곱으로 쪼갠 다음, 지수 법칙으로 소수 하나씩 목표 식을 다시 만들면 된다.