AMC 10 · 2009 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

area-rectanglesratio-proportionsystems-of-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

합동인 네 개의 직사각형이 그림과 같이 놓여 있다. 바깥쪽 정사각형의 넓이는 안쪽 정사각형 넓이의 $4$ 배이다. 각 직사각형의 긴 변의 길이와 짧은 변의 길이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt {10}$

(C)

$2 + \sqrt2$

(D)

$2\sqrt3$

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 합동인 직사각형 네 개가 작은 정사각형을 둘러싸는 바람개비 모양으로 놓여 하나의 큰 정사각형을 이룬다. 큰 정사각형의 넓이는 작은 정사각형 넓이의 4배이다. 직사각형의 긴 변과 짧은 변의 비를 구하여라.

주어진 것: 합동인 직사각형 네 개가 바람개비 모양으로 배열되어, 가운데에 작은 정사각형 구멍이 있는 바깥 정사각형을 만든다.; 바깥 정사각형의 넓이는 안쪽 정사각형 넓이의 4배이다.

구하는 것: 각 직사각형의 (긴 변) : (짧은 변) 비.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기

그림 속에는 두 정사각형이 숨어 있고, 그 변의 길이는 직사각형의 두 변으로 이루어진다. 두 변에 이름을 붙이고 그림에서 두 정사각형의 변을 읽어내면, 넓이 조건이 하나의 방정식이 되어 풀 수 있다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

그림에서 두 정사각형을 읽기

큰 정사각형의 한 변을 따라가 보자.
한 직사각형의 긴 변 전체를 지난 뒤 이어지는 직사각형의 짧은 변을 지나므로, 바깥 정사각형의 변은 (긴 변) + (짧은 변)이다.
안쪽 구멍의 변은 남은 부분, 즉 직사각형의 긴 변에서 겹치는 짧은 변을 뺀 (긴 변) - (짧은 변)이다.

\text{바깥 변} = \ell + s, \qquad \text{안쪽 변} = \ell - s

💡 큰 정사각형의 변을 걸어가면 긴 변 하나와 짧은 변 하나를 끝과 끝으로 지난다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

넓이 조건을 방정식으로 바꾸기

짧은 변을 s, 긴 변을 \ell 이라 하자.
정사각형의 넓이는 변의 제곱이므로 바깥 정사각형의 넓이는 (\ell + s)^2, 안쪽 정사각형의 넓이는 (\ell - s)^2 이다.
바깥 넓이는 안쪽 넓이의 4배이다.

$$(\ell + s)^2 = 4(\ell - s)^2$$

💡 두 영역 모두 정사각형이므로 '넓이 = 변의 제곱'으로 그림이 하나의 깔끔한 방정식이 된다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 3

양변에 제곱근 취하기

양변 모두 양수인 길이의 완전제곱이고 4 = 2^2 이다.
양변에 양의 제곱근을 취하면 등식은 그대로 유지되면서 지수가 사라진다.

$$\ell + s = 2(\ell - s)$$

💡 넓이의 비가 4 : 1이면 변의 길이의 비는 2 : 1이다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

변의 비 구하기

오른쪽을 전개하고 항을 정리하면 3s = \ell 이 되어 긴 변이 짧은 변의 3배임을 알 수 있다.
긴 변 대 짧은 변의 비는 3이며, 이는 보기 (A)이다.

$$\ell + s = 2\ell - 2s \;\Rightarrow\; 3s = \ell \;\Rightarrow\; \frac{\ell}{s} = 3$$

💡 지수가 사라지면 두 길이에 대한 한 줄짜리 일차방정식이 된다.

[1] #1 6.G.A.1 큰 정사각형의 한 변을 따라가 보자. 한 직사각형의 긴 변 전체를 지난 뒤 이어지는 직사각형의 짧은 변을 지나므로, 바깥 정사각형의 변은 (긴

[2] #4 6.EE.B.6 짧은 변을 s, 긴 변을 \ell 이라 하자. 정사각형의 넓이는 변의 제곱이므로 바깥 정사각형의 넓이는 (\ell + s)^2, 안쪽 정사각형의

[3] #13 8.EE.A.2 양변 모두 양수인 길이의 완전제곱이고 4 = 2^2 이다. 양변에 양의 제곱근을 취하면 등식은 그대로 유지되면서 지수가 사라진다.

[4] #13 8.EE.C.7 오른쪽을 전개하고 항을 정리하면 3s = \ell 이 되어 긴 변이 짧은 변의 3배임을 알 수 있다. 긴 변 대 짧은 변의 비는 3이며, 이는

검토

합리성 확인: s = 1, \ell = 3 으로 확인하자. 바깥 변 = 1 + 3 = 4, 안쪽 변 = 3 - 1 = 2 이므로 넓이는 각각 16과 4이다. 16 = 4 \times 4 이므로 넓이 조건이 성립하고 비 3이 확인된다. 그림에 주어진 직사각형과도 일치한다.

대안 접근: 안쪽 정사각형의 변을 1로 두자. 그러면 바깥 정사각형의 넓이가 4배이므로 바깥 변은 2이다. 직사각형의 짧은 변과 긴 변은 \ell - s = 1, \ell + s = 2 를 만족하므로 \ell = 3/2, s = 1/2 이고 역시 \ell / s = 3 이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (바람개비 모양으로 합쳐진 그림에서 바깥·안쪽 정사각형의 변의 길이를 읽어내는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (직사각형의 두 변을 s, \ell 로 이름 붙이고 두 정사각형의 넓이를 식으로 나타내는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (넓이 방정식에 제곱근을 취해 변의 길이 관계를 얻는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (얻어진 일차방정식을 풀어 변의 비를 구하는 데 사용.)

⭐ 한 정사각형의 넓이가 다른 것의 4배이면 변은 2배로 길다. 넓이 단서를 먼저 변의 단서로 바꾸자.