AMC 10 · 2009 · #14

학년 8 geometry-2d

area-rectanglesratio-proportionsystems-of-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

합동인 직사각형 네 개가 작은 정사각형을 둘러싸는 바람개비 모양으로 놓여 하나의 큰 정사각형을 이룬다. 큰 정사각형의 넓이는 작은 정사각형 넓이의 4배이다. 직사각형의 긴 변과 짧은 변의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt {10}$

(C)

$2 + \sqrt2$

(D)

$2\sqrt3$

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

그림 속에는 두 정사각형이 숨어 있고, 그 변의 길이는 직사각형의 두 변으로 이루어진다. 두 변에 이름을 붙이고 그림에서 두 정사각형의 변을 읽어내면, 넓이 조건이 하나의 방정식이 되어 풀 수 있다.

1STEP 1

큰 정사각형의 한 변은 긴 변 + 짧은 변이고, 가운데 남는 부분은 긴 변 - 짧은 변입니다.

바깥 변 = ℓ + s, 안쪽 변 = ℓ - s

2STEP 2

짧은 변을 s, 긴 변을 ℓ이라 하면 넓이는 변의 제곱이므로 (ℓ + s)²이 (ℓ - s)²의 4배입니다.

(ℓ + s)² = 4(ℓ - s)²

3STEP 3

양변이 양수 길이의 제곱이고 4 = 2²이므로, 양의 제곱근을 취하면 지수가 사라집니다.

ℓ + s = 2(ℓ - s)

4STEP 4

전개하여 정리하면 ℓ = 3s가 되므로 긴 변은 짧은 변의 세 배이고, 답은 보기 (A)입니다.

ℓ + s = 2ℓ - 2s → 3s = ℓ → ℓ/s = 3

정답

s = 1, ℓ = 3으로 확인하자. 바깥 변 = 1 + 3 = 4, 안쪽 변 = 3 - 1 = 2 이므로 넓이는 각각 16과 4이다. 16 = 4 × 4 이므로 넓이 조건이 성립하고 비 3이 확인된다. 그림에 주어진 직사각형과도 일치한다.

💡핵심 정리

한 정사각형의 넓이가 다른 것의 4배이면 변은 2배로 길다. 넓이 단서를 먼저 변의 단서로 바꾸자.