AMC 10 · 2009 · #16

학년 7 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

absolute-valuesystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

네 실수 a, b, c, d가 수직선 위에 놓여 있다. 이웃한 수끼리의 거리는 정해져 있다. a와 b는 2만큼, b와 c는 3만큼, c와 d는 4만큼 떨어져 있다. a에서 d까지의 거리 |a - d|는 각 이웃이 어느 방향으로 뛰느냐에 따라 여러 값을 가질 수 있다. |a - d|가 될 수 있는 서로 다른 값을 모두 더하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 9$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 15$

(D)

$\ 18$

(E)

$\ 24$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

a에서 d까지의 거리는 세 번의 뜀으로 이루어지고, 각 뜀은 앞이나 뒤 두 방향 중 하나를 향할 수 있다. 이것은 작고 유한한 경우의 집합이다. 뜀마다 두 방향, 세 번의 뜀이니 모두 여덟 가지다. 깔끔한 방법은 a - d를 세 뜀의 부호 있는 합으로 한 번에 쓰고, 여덟 가지 부호 패턴을 빠짐없이 겹치지 않게 나열하는 것이다. 목록이 완성되면 절댓값을 취하고 중복을 버린 뒤 남은 값을 더한다.

1STEP 1

간격을 사슬처럼 잇기

a - d를 (a - b) + (b - c) + (c - d)로 쓰면 가운데 b와 c가 짝을 이뤄 사라진다.

a - d = (a - b) + (b - c) + (c - d)

2STEP 2

절댓값을 부호 선택으로 바꾸기

절댓값은 크기만 정할 뿐 방향은 자유다. a - b는 ±2, b - c는 ±3, c - d는 ±4이다.

a - d = ± 2 ± 3 ± 4

3STEP 3

여덟 가지 부호 패턴 나열하기

부호 선택 세 번이면 2 x 2 x 2 = 8 가지다. 차례로 훑으면 a - d는 9, 1, 3, -5, 5, -3, -1, -9이다.

a - d ∈ {9, 1, 3, -5, 5, -3, -1, -9}

4STEP 4

절댓값을 취하고 중복 지우기

크기는 9, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 9로 짝을 이루니, 서로 다른 값 1, 3, 5, 9의 합은 18이다.

|a - d| ∈ {1, 3, 5, 9}, 1 + 3 + 5 + 9 = 18

정답

가장 큰 |a - d|는 세 뜀이 모두 같은 방향일 때 생긴다. 2 + 3 + 4 = 9이므로 어떤 값도 9를 넘을 수 없고, 서로 다른 네 크기 1, 3, 5, 9는 모두 9 이하에 놓인다. 또한 이들은 모두 2 + 3 + 4 = 9(홀수)와 같은 홀짝성을 공유한다. 그래서 홀수 크기만 나타나고, 12나 24 같은 짝수 선택지는 하나의 |a - d| 값으로는 결코 나오지 않는다. 진짜 서로 다른 값 1, 3, 5, 9를 더하면 18이 되어 (D)와 일치한다.

💡핵심 정리

거리들이 사슬처럼 이어질 때는 각 뜀이 두 방향으로 갈 수 있으니, 모든 부호 패턴을 나열하고 절댓값을 취한 다음 서로 다른 크기만 더하라.

간격을 사슬처럼 잇기
절댓값을 부호 선택으로 바꾸기
여덟 가지 부호 패턴 나열하기
절댓값을 취하고 중복 지우기

간격을 사슬처럼 잇기

절댓값을 부호 선택으로 바꾸기

여덟 가지 부호 패턴 나열하기

절댓값을 취하고 중복 지우기

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