AMC 10 · 2009 · #16

학년 7 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

absolute-valuesystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 $|a-b|=2$ , $|b-c|=3$ , $|c-d|=4$ 인 실수라고 하자. $|a-d|$ 가 가질 수 있는 모든 값의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 9$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 15$

(D)

$\ 18$

(E)

$\ 24$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 실수 a, b, c, d가 수직선 위에 놓여 있다. 이웃한 수끼리의 거리는 정해져 있다. a와 b는 2만큼, b와 c는 3만큼, c와 d는 4만큼 떨어져 있다. a에서 d까지의 거리 |a - d|는 각 이웃이 어느 방향으로 뛰느냐에 따라 여러 값을 가질 수 있다. |a - d|가 될 수 있는 서로 다른 값을 모두 더하라.

주어진 것: |a - b| = 2; |b - c| = 3; |c - d| = 4; a, b, c, d는 실수이다

구하는 것: |a - d|가 가질 수 있는 서로 다른 값들의 합

이해

주어진 것: |a - b| = 2; |b - c| = 3; |c - d| = 4; a, b, c, d는 실수이다

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

a에서 d까지의 거리는 세 번의 뜀으로 이루어지고, 각 뜀은 앞이나 뒤 두 방향 중 하나를 향할 수 있다. 이것은 작고 유한한 경우의 집합이다. 뜀마다 두 방향, 세 번의 뜀이니 모두 여덟 가지다. 깔끔한 방법은 a - d를 세 뜀의 부호 있는 합으로 한 번에 쓰고, 여덟 가지 부호 패턴을 빠짐없이 겹치지 않게 나열하는 것이다. 목록이 완성되면 절댓값을 취하고 중복을 버린 뒤 남은 값을 더한다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

간격을 사슬처럼 잇기

a에서 d까지의 거리는 세 이웃 간격으로 다시 만들 수 있다.
a - d를 (a - b) + (b - c) + (c - d)로 쓰면 가운데 b와 c가 짝을 이뤄 사라지고 정확히 a - d만 남는다.
그래서 a와 d를 직접 다루는 대신, 알려진 세 차를 더하면 된다.

$$a - d = (a - b) + (b - c) + (c - d)$$

💡 a에서 b, c, d로 걸으며 각 걸음을 더하면 정확히 a에서 d까지의 간격에 도착한다.

#4 변수 도입하기 6.NS.C.7 단계 2

절댓값을 부호 선택으로 바꾸기

절댓값은 차의 크기만 정할 뿐 방향은 정하지 않는다.
그래서 |a - b| = 2는 a - b가 +2이거나 -2임을 뜻한다.
마찬가지로 b - c는 +3 또는 -3, c - d는 +4 또는 -4이다.
사슬 식에 넣으면 a - d는 각 부호를 독립적으로 고른 플러스마이너스 2, 플러스마이너스 3, 플러스마이너스 4가 된다.

$$a - d = \pm 2 \pm 3 \pm 4$$

💡 절댓값은 얼마나 먼지는 알려줘도 어느 쪽인지는 안 알려주니, 각 간격마다 부호를 자유롭게 고른다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.NS.A.1 단계 3

여덟 가지 부호 패턴 나열하기

세 개의 독립적인 플러스마이너스 선택은 2 x 2 x 2 = 8가지 경우를 만든다.
빠뜨리지 않도록 순서대로 훑는다.
+2+3+4 = 9.
+2+3-4 = 1.
+2-3+4 = 3.
+2-3-4 = -5.
-2+3+4 = 5.
-2+3-4 = -3.
-2-3+4 = -1.
-2-3-4 = -9.
이 여덟 값이 절댓값을 취하기 전 a - d가 가질 수 있는 값이다.

$$a - d \in \{9,\ 1,\ 3,\ -5,\ 5,\ -3,\ -1,\ -9\}$$

💡 세 번의 뜀 각각 두 방향이니 여덟 개의 부호 있는 합이 깔끔하게 나온다.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.3 단계 4

절댓값을 취하고 중복 지우기

이제 각 값에 |a - d|를 적용한다.
9, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 9.
모든 양의 값이 두 번씩 나타난다.
어떤 부호 패턴과 그것을 정반대로 뒤집은 패턴에서 각각 한 번씩 나오기 때문에 목록이 짝을 이룬다.
서로 다른 크기는 1, 3, 5, 9이다.
이 값들을 더하면 1 + 3 + 5 + 9 = 18이다.
따라서 |a - d|가 가질 수 있는 모든 값의 합은 18이고, 답은 (D)이다.

$$|a - d| \in \{1,\ 3,\ 5,\ 9\},\quad 1 + 3 + 5 + 9 = 18$$

💡 모든 부호를 뒤집으면 합의 부호는 바뀌어도 크기는 그대로라, 서로 다른 크기는 거울처럼 짝지어 나온다.

[1] #4 6.EE.B.6 a에서 d까지의 거리는 세 이웃 간격으로 다시 만들 수 있다. a - d를 (a - b) + (b - c) + (c - d)로 쓰면 가운데 b와

[2] #4 6.NS.C.7 절댓값은 차의 크기만 정할 뿐 방향은 정하지 않는다. 그래서 |a - b| = 2는 a - b가 +2이거나 -2임을 뜻한다. 마찬가지로 b -

[3] #2 7.NS.A.1 세 개의 독립적인 플러스마이너스 선택은 2 x 2 x 2 = 8가지 경우를 만든다. 빠뜨리지 않도록 순서대로 훑는다. +2+3+4 = 9. +2

[4] #3 7.NS.A.3 이제 각 값에 |a - d|를 적용한다. 9, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 9. 모든 양의 값이 두 번씩 나타난다. 어떤 부호 패턴과 그것을

검토

합리성 확인: 가장 큰 |a - d|는 세 뜀이 모두 같은 방향일 때 생긴다. 2 + 3 + 4 = 9이므로 어떤 값도 9를 넘을 수 없고, 서로 다른 네 크기 1, 3, 5, 9는 모두 9 이하에 놓인다. 또한 이들은 모두 2 + 3 + 4 = 9(홀수)와 같은 홀짝성을 공유한다. 그래서 홀수 크기만 나타나고, 12나 24 같은 짝수 선택지는 하나의 |a - d| 값으로는 결코 나오지 않는다. 진짜 서로 다른 값 1, 3, 5, 9를 더하면 18이 되어 (D)와 일치한다.

대안 접근: 모든 수에 같은 상수를 더하거나 수직선을 반사해도 간격은 변하지 않으므로, 일반성을 잃지 않고 a - b = 2, b - c = 3으로 고정한다. 그러면 a - c = 5이고, c - d = 플러스마이너스 4에서 a - d = 5 + 4 = 9 또는 a - d = 5 - 4 = 1이다. b - c = -3으로 다시 하면 a - c = -1이므로 a - d = -1 플러스마이너스 4 = 3 또는 -5, 즉 크기 3과 5가 나온다. 네 크기 9, 1, 3, 5는 다시 18로 합해진다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (a - d를 텔레스코핑 합 (a - b) + (b - c) + (c - d)로 다시 써서 알려진 간격들을 합칠 수 있게 함.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (|a - b| = 2 같은 조건을 a - b = +2 또는 -2라는 두 부호 가능성으로 읽음.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (플러스마이너스 2 플러스마이너스 3 플러스마이너스 4 형태의 여덟 패턴 전체에서 부호 있는 뜀들을 더함.)
7.NS.A.3 Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers (절댓값을 취하고 중복 크기를 지운 뒤 서로 다른 값을 더해 18을 얻음.)

⭐ 거리들이 사슬처럼 이어질 때는 각 뜀이 두 방향으로 갈 수 있으니, 모든 부호 패턴을 나열하고 절댓값을 취한 다음 서로 다른 크기만 더하라.