AMC 10 · 2009 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

factorsdivisor-countratio-proportion convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원 A의 반지름은 100이다. 반지름이 정수이고 r ＜ 100인 더 작은 원 B가 원 A 안쪽에 접한 채로 한 바퀴 굴러 돈다. 원 B는 출발할 때와 도착할 때의 접점이 같다. r가 될 수 있는 정수 값이 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 4\$

(B)

$\ 8\$

(C)

$\ 9\$

(D)

$\ 50\$

(E)

$\ 90\$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

전체 그림을 묶어 주는 미지량은 원 B의 반지름이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이것을 r로 이름 붙이면 두 둘레를 하나의 깔끔한 비로 비교할 수 있다. 도구 #17(공간 상상하기)은 구르는 그림을 셀 수 있는 조건으로 바꾼다. 즉 접점은 B가 정수 번 돈 뒤에만 다시 맞아떨어진다. 이 조건은 "r가 100을 나눈다"가 되고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 100의 약수를 하나도 빠뜨리지 않고 나열한 뒤 r ＜ 100 조건으로 개수를 줄인다.

1STEP 1

구르는 여정을 그려 보기

원 B를 원 A 안쪽으로 한 바퀴 굴리면, 접점은 원 A의 가장자리 전체, 즉 200π만큼 훑는다.

C_A = 2π(100) = 200π

2STEP 2

반지름 이름 붙이고 둘레 비교하기

원 B의 반지름을 r라 하면, 구르는 횟수는 큰 둘레 2π(100)을 작은 둘레 2π r로 나눈 값이다.

C_A/C_B = 2π(100)/(2π r) = 100/r

3STEP 3

조건을 나누어떨어짐으로 바꾸기

2π가 약분되므로, 구르는 횟수가 정수가 되려면 r는 100의 약수여야 한다.

100/r ∈ Z ⇔ r ∣ 100

4STEP 4

100의 약수를 모두 나열하기

인수를 1×100, 2×50, 4×25, 5×20, 10×10으로 짝지으면 100의 약수는 모두 9개이다.

100 = 2² · 5² → 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (약수 9개)

5STEP 5

r ＜ 100 적용해 세기

r ＜ 100 조건이 100을 지우므로 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50이 남아 답은 8개, 보기 (B)이다.

9 - 1 = 8 → (B)

정답

몇 개의 반지름을 직접 확인해 보자. r = 1이면 100/1 = 100바퀴, r = 50이면 100/50 = 2바퀴로 모두 접점이 같은 지점으로 돌아온다. 약수가 아닌 r = 3은 100/3로 정수가 아니므로 실패한다. 100보다 작은 약수 여덟 개가 정확히 조건을 만족하며, 이는 보기 (B) = 8과 일치한다.

💡핵심 정리

작은 원은 자기 반지름이 큰 반지름을 딱 나누어떨어뜨릴 때에만 같은 접점으로 돌아오므로, 답은 그 조건에 맞는 약수의 개수를 세는 것이다.

구르는 여정을 그려 보기
반지름 이름 붙이고 둘레 비교하기
조건을 나누어떨어짐으로 바꾸기
100의 약수를 모두 나열하기
r ＜ 100 적용해 세기

구르는 여정을 그려 보기

반지름 이름 붙이고 둘레 비교하기

조건을 나누어떨어짐으로 바꾸기

100의 약수를 모두 나열하기

r ＜ 100 적용해 세기

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