AMC 10 · 2009 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

factorsdivisor-countratio-proportion convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원 $A$ 의 반지름은 $100$ 이다. 원 $B$ 는 정수인 반지름 $r<100$ 을 가지며, 원 $A$ 의 둘레를 한 바퀴 굴러가는 동안 원 $A$ 에 내접한 상태를 유지한다. 원 $B$ 가 이동을 시작할 때와 끝날 때 두 원의 접점이 같다. $r$ 가 가질 수 있는 값은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 4\$

(B)

$\ 8\$

(C)

$\ 9\$

(D)

$\ 50\$

(E)

$\ 90\$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원 $A$의 반지름은 $100$이다. 반지름이 정수이고 $r < 100$인 더 작은 원 $B$가 원 $A$ 안쪽에 접한 채로 한 바퀴 굴러 돈다. 원 $B$는 출발할 때와 도착할 때의 접점이 같다. $r$가 될 수 있는 정수 값이 몇 개인지 구하여라.

주어진 것: 원 $A$의 반지름은 $100$이므로 둘레는 $2\pi(100) = 200\pi$이다.; 원 $B$의 반지름 $r$는 정수이고 $r < 100$이며, 원 $A$에 안쪽으로 접한 채 한 바퀴 굴러 돈다.; 원 $B$는 출발할 때와 도착할 때의 접점이 같다.

구하는 것: 출발 접점과 도착 접점이 같아지도록 하는 정수 반지름 $r$의 개수.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #2 빠짐없이 나열하기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

전체 그림을 묶어 주는 미지량은 원 $B$의 반지름이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이것을 $r$로 이름 붙이면 두 둘레를 하나의 깔끔한 비로 비교할 수 있다. 도구 #17(공간 상상하기)은 구르는 그림을 셀 수 있는 조건으로 바꾼다. 즉 접점은 $B$가 정수 번 돈 뒤에만 다시 맞아떨어진다. 이 조건은 "$r$가 $100$을 나눈다"가 되고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $100$의 약수를 하나도 빠뜨리지 않고 나열한 뒤 $r < 100$ 조건으로 개수를 줄인다.

실행 — 정답: B

#17 공간 상상하기 7.G.B.4 단계 1

구르는 여정을 그려 보기

원 $B$가 원 $A$ 안쪽에 붙어서 한 바퀴 굴러 돈다고 상상하자.
접점은 원 $A$의 안쪽 가장자리 전체를 훑고 지나가며, 그 거리는 원 $A$의 둘레 $200\pi$와 같다.
원 $B$가 자기 자신의 같은 지점에서 다시 만나려면, 한 바퀴 도는 동안 자기 둘레의 정수 배만큼 굴러야 한다.

$$C_A = 2\pi(100) = 200\pi$$

💡 접점은 원 $A$를 한 바퀴 돌므로, 여정의 길이는 정확히 원 $A$의 둘레이다.

#4 변수 도입하기 7.G.B.4 단계 2

반지름 이름 붙이고 둘레 비교하기

원 $B$의 반지름을 $r$라 하자.
원 $A$의 둘레는 $2\pi(100)$이고 원 $B$의 둘레는 $2\pi r$이다.
한 바퀴 도는 동안 $B$가 구르는 횟수는 큰 둘레를 작은 둘레로 나눈 값이다.

$$\dfrac{C_A}{C_B} = \dfrac{2\pi(100)}{2\pi r} = \dfrac{100}{r}$$

💡 작은 원의 가장자리가 큰 원 둘레에 몇 개 들어가는지는 큰 둘레를 작은 둘레로 나눈 값이다.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 3

조건을 나누어떨어짐으로 바꾸기

접점은 $B$가 정수 번 굴렀을 때에만 다시 맞아떨어지므로 $\tfrac{100}{r}$는 정수여야 한다.
$2\pi$는 이미 약분되었으므로, 이는 곧 $r$가 $100$을 나머지 없이 나눈다는 뜻이다.

$$\dfrac{100}{r} \in \mathbb{Z} \iff r \mid 100$$

💡 정수 번 돈다는 것은 작은 반지름이 $100$을 딱 나누어떨어뜨려야 한다는 뜻이다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

$100$의 약수를 모두 나열하기

인수를 짝지어 $100$을 나누는 모든 자연수를 찾는다: $1\times100$, $2\times50$, $4\times25$, $5\times20$, $10\times10$.
이를 모으면 $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100$ — 모두 아홉 개의 약수이다.

$$100 = 2^2\cdot 5^2 \;\Rightarrow\; 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 \;(\text{약수 } 9\text{개})$$

💡 곱해서 $100$이 되는 인수를 짝지으면 어떤 약수도 빠뜨리지 않고 모두 잡을 수 있다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

$r < 100$ 적용해 세기

반지름은 $r < 100$을 만족해야 하므로 목록에서 $100$을 뺀다.
그러면 $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50$ — 여덟 개가 남는다.
따라서 $r$가 될 수 있는 값은 $8$개이며, 답은 $\textbf{(B)}$이다.

$$9 - 1 = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $100$의 모든 약수가 조건을 만족하지만, $r < 100$ 규칙이 $100$ 자신은 제외한다.

[1] #17 7.G.B.4 원 $B$가 원 $A$ 안쪽에 붙어서 한 바퀴 굴러 돈다고 상상하자. 접점은 원 $A$의 안쪽 가장자리 전체를 훑고 지나가며, 그 거리는 원 $

[2] #4 7.G.B.4 원 $B$의 반지름을 $r$라 하자. 원 $A$의 둘레는 $2\pi(100)$이고 원 $B$의 둘레는 $2\pi r$이다. 한 바퀴 도는 동안

[3] #13 6.RP.A.3 접점은 $B$가 정수 번 굴렀을 때에만 다시 맞아떨어지므로 $\tfrac{100}{r}$는 정수여야 한다. $2\pi$는 이미 약분되었으므로,

[4] #2 4.OA.B.4 인수를 짝지어 $100$을 나누는 모든 자연수를 찾는다: $1\times100$, $2\times50$, $4\times25$, $5\times

[5] #3 4.OA.B.4 반지름은 $r < 100$을 만족해야 하므로 목록에서 $100$을 뺀다. 그러면 $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50$ — 여덟 개

검토

합리성 확인: 몇 개의 반지름을 직접 확인해 보자. $r = 1$이면 $100/1 = 100$바퀴, $r = 50$이면 $100/50 = 2$바퀴로 모두 접점이 같은 지점으로 돌아온다. 약수가 아닌 $r = 3$은 $100/3$로 정수가 아니므로 실패한다. $100$보다 작은 약수 여덟 개가 정확히 조건을 만족하며, 이는 보기 (B) $= 8$과 일치한다.

대안 접근: 약수를 일일이 나열하는 대신 소인수분해로 개수를 센다. $100 = 2^2\cdot 5^2$이므로 약수의 개수는 $(2+1)(2+1) = 9$이다. $r = 100$을 제외하면 $9 - 1 = 8$로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 활용하기 (원 $A$의 둘레를 $200\pi$, 원 $B$의 둘레를 $2\pi r$로 써서 여정의 길이를 $B$의 크기와 비교함.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (비 $\tfrac{100}{r}$를 구르는 횟수로 읽고 이 값이 정수, 즉 $r \mid 100$이 되도록 요구함.)
4.OA.B.4 $1$부터 $100$까지 자연수의 모든 인수 쌍 찾기 (인수 쌍으로 $100$의 모든 약수를 나열하고 $100$보다 작은 것이 몇 개인지 셈.)

⭐ 작은 원은 자기 반지름이 큰 반지름을 딱 나누어떨어뜨릴 때에만 같은 접점으로 돌아오므로, 답은 그 조건에 맞는 약수의 개수를 세는 것이다.