AMC 10 · 2009 · #22
학년 7 probability두 개의 정육면체 주사위에는 각각 1부터 6까지의 떼어낼 수 있는 숫자가 붙어 있다. 두 주사위의 열두 개 숫자를 모두 떼어내 주머니에 넣고, 한 번에 하나씩 뽑아 정육면체의 각 면에 하나씩 무작위로 다시 붙인다. 그런 다음 두 주사위를 굴려 위쪽 두 면의 숫자를 더한다. 그 합이 7일 확률은 얼마인가?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 주사위 두 개에서 숫자 $1$부터 $6$까지를 모두 떼어낸다 — 전부 열두 개이고, 각 값 $1$–$6$이 두 개씩 있다. 이 열두 개를 주머니에 넣고 섞은 뒤, 한 면에 하나씩(주사위마다 여섯 면) 무작위로 다시 붙인다. 두 주사위를 굴려 위에 나온 두 숫자를 더한다. 이 합이 $7$이 될 확률을 구하라.
주어진 것: 주사위는 두 개이고 각각 원래 $1,2,3,4,5,6$을 가지므로, 주머니에는 열두 개의 숫자, 즉 각 값 $1$–$6$이 두 개씩 들어 있다.; 열두 개의 숫자는 열두 면에 한 면당 하나씩(주사위마다 여섯 면) 완전히 무작위로 다시 붙는다.; 두 주사위를 모두 굴리며, 각 주사위는 여섯 면 중 하나가 똑같은 확률로 위에 온다.; 위에 나온 두 숫자를 더해 그 합이 $7$이 되기를 원한다.; 보기: (A) $\frac{1}{9}$, (B) $\frac{1}{8}$, (C) $\frac{1}{6}$, (D) $\frac{2}{11}$, (E) $\frac{1}{5}$.
구하는 것: 위에 나온 두 숫자의 합이 $7$이 될 확률.
이해
문제 재정리: 주사위 두 개에서 숫자 $1$부터 $6$까지를 모두 떼어낸다 — 전부 열두 개이고, 각 값 $1$–$6$이 두 개씩 있다. 이 열두 개를 주머니에 넣고 섞은 뒤, 한 면에 하나씩(주사위마다 여섯 면) 무작위로 다시 붙인다. 두 주사위를 굴려 위에 나온 두 숫자를 더한다. 이 합이 $7$이 될 확률을 구하라.
주어진 것: 주사위는 두 개이고 각각 원래 $1,2,3,4,5,6$을 가지므로, 주머니에는 열두 개의 숫자, 즉 각 값 $1$–$6$이 두 개씩 들어 있다.; 열두 개의 숫자는 열두 면에 한 면당 하나씩(주사위마다 여섯 면) 완전히 무작위로 다시 붙는다.; 두 주사위를 모두 굴리며, 각 주사위는 여섯 면 중 하나가 똑같은 확률로 위에 온다.; 위에 나온 두 숫자를 더해 그 합이 $7$이 되기를 원한다.; 보기: (A) $\frac{1}{9}$, (B) $\frac{1}{8}$, (C) $\frac{1}{6}$, (D) $\frac{2}{11}$, (E) $\frac{1}{5}$.
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #4 변수 도입하기, #2 빠짐없이 나열하기
무작위로 붙이고 굴리는 과정은 복잡해 보이지만, 결국 각 주사위 위에 어떤 숫자 하나가 오는지만 정할 뿐이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 이야기를 핵심만 남긴다 — 주머니에서 주사위 위에 올 숫자를 하나씩 두 번 뽑는 것과 똑같다. 도구 #4(변수 도입하기)로 주사위 1의 윗면을 $n$이라 하면, 주사위 2가 필요한 짝 $7-n$이 곧바로 정해진다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 합이 $7$이 되는 짝 $\{1,6\},\{2,5\},\{3,4\}$을 따라가며 남은 숫자 중 그 목표에 맞는 것이 몇 개인지 센다. 그러면 문제는 나눗셈 한 번으로 정리된다.
실행 — 정답: D
7.SP.C.7 단계 1 굴리는 과정을 걷어내기
- 붙이고 굴리는 과정이 하는 일은 각 주사위 위에 올 숫자 하나를 정하는 것뿐이다.
- 모든 숫자가 무작위로 붙고 각 주사위가 여섯 면 중 어느 것이든 똑같은 확률로 위로 오기 때문에, 열두 개의 숫자 각각이 주사위 1의 윗면이 될 확률은 모두 같고, 주사위 2에서도 마찬가지다.
- 그래서 이 장치 전체는 다음의 더 쉬운 실험과 같다: 주머니에서 주사위 1의 윗면 숫자를 하나 뽑고, 이어서 주사위 2의 윗면이 될 (서로 다른) 숫자를 하나 더 뽑는다.
- 중요한 것은 두 숫자의 합뿐이다.
💡 결코 보이지 않는 면들은 답을 바꿀 수 없으니, 무시하고 두 윗면만 뽑으면 된다.
6.EE.A.2 단계 2 주사위 1의 윗면에 이름 붙이기
- 주사위 1 위에 오는 숫자를 $n$이라 하자.
- 아직 그 정확한 값은 중요하지 않다 — 중요한 것은 합이 $7$이 되려면 주사위 2의 윗면이 반드시 $7-n$이어야 한다는 점이다.
- $n$은 $1$과 $6$ 사이이므로 필요한 짝 $7-n$도 $1$과 $6$ 사이이고, $n$과 같아질 수 없다($2n=7$은 정수에서 불가능하므로).
💡 첫 윗면을 알면 합을 $7$로 만드는 목표 값은 정확히 하나다.
7.SP.C.8 단계 3 남은 숫자 중 맞는 것 세기
- 주사위 1의 윗면이 숫자 하나를 써 버리면, 주사위 2의 윗면에 쓸 수 있는 숫자는 $11$개 남는다.
- 주머니에는 원래 모든 값이 두 개씩 있었고, 지금 필요한 값 $7-n$은 $n$과 다르므로 $7-n$의 두 개는 하나도 건드려지지 않아 $11$개 안에 그대로 남아 있다.
- (짝을 확인해 보자: $1{+}6,\ 2{+}5,\ 3{+}4$; 각 짝에서 두 값이 서로 다르므로 짝의 두 개는 항상 살아남는다.)
💡 $n$을 하나 빼도 $7-n$은 절대 빠지지 않으니, 두 짝은 언제나 남아 있다.
7.SP.C.7 단계 4 나눠서 확률 구하기
- 1단계의 대칭성에 의해 주사위 2의 윗면은 남은 $11$개 숫자 중 어느 것이든 똑같은 확률로 나온다.
- 그중 정확히 $2$개가 필요한 $7-n$이므로, 합이 $7$이 될 확률은 $\tfrac{2}{11}$이다.
- 이는 $n$이 무엇이었든 성립하므로 전체 확률이 된다.
- 이것이 보기 (D)이다.
💡 똑같은 확률의 열한 개 중 이기는 숫자가 둘이면 곧바로 $2/11$이다.
7.SP.C.7 붙이고 굴리는 과정이 하는 일은 각 주사위 위에 올 숫자 하나를 정하는 것뿐이다. 모든 숫자가 무작위로 붙고 각 주사위가 여섯 면 중 어느 것이 6.EE.A.2 주사위 1 위에 오는 숫자를 $n$이라 하자. 아직 그 정확한 값은 중요하지 않다 — 중요한 것은 합이 $7$이 되려면 주사위 2의 윗면이 반드 7.SP.C.8 주사위 1의 윗면이 숫자 하나를 써 버리면, 주사위 2의 윗면에 쓸 수 있는 숫자는 $11$개 남는다. 주머니에는 원래 모든 값이 두 개씩 있었 7.SP.C.7 1단계의 대칭성에 의해 주사위 2의 윗면은 남은 $11$개 숫자 중 어느 것이든 똑같은 확률로 나온다. 그중 정확히 $2$개가 필요한 $7-n$ 검토
합리성 확인: 순서 없는 짝을 세어 교차 확인하자. 열두 개의 숫자를 서로 다른 토큰으로 보면 두 윗면은 순서 없는 짝을 이루고, $\binom{12}{2}=66$개의 짝이 모두 똑같은 확률이다. 합이 $7$인 경우는 $\{1,6\},\{2,5\},\{3,4\}$에서 나오는데, 각 값이 $2$개씩이므로 각 조합은 $2\times2=4$개의 토큰 짝을 주어 이기는 짝은 $3\times4=12$개다. 즉 $\tfrac{12}{66}=\tfrac{2}{11}$로 같은 결과다. 크기도 확인하면 $\tfrac{2}{11}\approx0.18$로, 보통 주사위 두 개에서 나오는 $\tfrac16\approx0.17$보다 아주 조금 크다. 보통 주사위는 $7$을 완성하는 짝이 $6$개 중 $1$개이고 여기서는 $11$개 중 $2$개이니, 사실상 같은 비율이라 자연스럽다.
대안 접근: 가장 빠른 암산 방법: 주사위 1에 무엇이 나오든 나머지 $11$개 중 정확히 $2$개가 합 $7$을 완성하므로, 경우 나누기 없이 답은 $\tfrac{2}{11}$이다. 조금 느리지만 안심되는 길은 도구 #3(가능성 지우기)이다. 값은 보통 주사위의 $\tfrac16$ 근처여야 하므로 $\tfrac19,\tfrac18,\tfrac15$는 너무 멀어 지워지고, $\tfrac16$은 '면이 전부 다르다고 착각하는' 함정임이 드러나 $\tfrac{2}{11}$만 남는다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.7Develop probability models and use them to find probabilities of events (대칭성 덕분에 열두 숫자 각각이 윗면에 올 확률이 같음을 알아채고, 유리한 $2$개를 주사위 2 윗면의 똑같은 확률 결과 $11$개로 나누는 데 사용.)6.EE.A.2Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (주사위 1의 윗면을 $n$이라 이름 붙이고, 주사위 2가 필요한 짝을 식 $7-n$으로 나타내는 데 사용.)7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (합이 $7$인 값의 짝 $\{1,6\},\{2,5\},\{3,4\}$을 나열하고, 필요한 짝이 남은 숫자 중 몇 개인지 세는 데 사용.)
⭐ 첫 주사위가 위에 무엇을 보이든, 남은 열한 개 숫자 중 정확히 두 개가 합을 $7$로 만든다 — 그래서 확률은 그냥 $2/11$이고, 붙이고 굴리는 복잡한 이야기는 전혀 문제가 되지 않았다.
⭐ 첫 주사위가 위에 무엇을 보이든, 남은 열한 개 숫자 중 정확히 두 개가 합을 $7$로 만든다 — 그래서 확률은 그냥 $2/11$이고, 붙이고 굴리는 복잡한 이야기는 전혀 문제가 되지 않았다.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.