AMC 10 · 2009 · #22

학년 7 probability

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

주사위 두 개에서 숫자 1부터 6까지를 모두 떼어낸다 — 전부 열두 개이고, 각 값 1–6이 두 개씩 있다. 이 열두 개를 주머니에 넣고 섞은 뒤, 한 면에 하나씩(주사위마다 여섯 면) 무작위로 다시 붙인다. 두 주사위를 굴려 위에 나온 두 숫자를 더한다. 이 합이 7이 될 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{9}$

(B)

$\ \frac{1}{8}$

(C)

$\ \frac{1}{6}$

(D)

$\ \frac{2}{11}$

(E)

$\ \frac{1}{5}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

무작위로 붙이고 굴리는 과정은 복잡해 보이지만, 결국 각 주사위 위에 어떤 숫자 하나가 오는지만 정할 뿐이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 이야기를 핵심만 남긴다 — 주머니에서 주사위 위에 올 숫자를 하나씩 두 번 뽑는 것과 똑같다. 도구 #4(변수 도입하기)로 주사위 1의 윗면을 n이라 하면, 주사위 2가 필요한 짝 7-n이 곧바로 정해진다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 합이 7이 되는 짝 {1,6},{2,5},{3,4}을 따라가며 남은 숫자 중 그 목표에 맞는 것이 몇 개인지 센다. 그러면 문제는 나눗셈 한 번으로 정리된다.

1STEP 1

굴리는 과정을 걷어내기

붙이고 굴리기는 각 주사위의 윗면 숫자 하나를 정할 뿐이니, 결국 주머니에서 두 숫자를 뽑는 것과 같다.

12개의 숫자에서 (비복원) 두 번 뽑을 때 P(합=7)

2STEP 2

주사위 1의 윗면에 이름 붙이기

주사위 1의 윗면을 n이라 하면 주사위 2는 7-n이어야 하고, 2n=7은 불가능하니 7-n은 n과 다르다.

주사위 2 윗면=7-n, 7-n ≠ n

3STEP 3

남은 숫자 중 맞는 것 세기

윗면 하나를 쓰면 11개가 남고, 7-n은 n과 다르니 7-n 두 개가 모두 남아 11개 중 2개가 맞다.

(7-n)의 남은 개수=2, 남은 숫자=11

4STEP 4

나눠서 확률 구하기

주사위 2의 윗면은 남은 11개 중 어느 것이든 같은 확률이고 그중 2개가 맞으니 확률은 $\frac{2}{11}$ , 곧 (D)이다.

P(합=7)=2/11 → (D)

정답

2/11

순서 없는 짝을 세어 교차 확인하자. 열두 개의 숫자를 서로 다른 토큰으로 보면 두 윗면은 순서 없는 짝을 이루고, C(12, 2)=66개의 짝이 모두 똑같은 확률이다. 합이 7인 경우는 {1,6},{2,5},{3,4}에서 나오는데, 각 값이 2개씩이므로 각 조합은 2×2=4개의 토큰 짝을 주어 이기는 짝은 3×4=12개다. 즉 12/66=2/11로 같은 결과다. 크기도 확인하면 2/11≈0.18로, 보통 주사위 두 개에서 나오는 1/6≈0.17보다 아주 조금 크다. 보통 주사위는 7을 완성하는 짝이 6개 중 1개이고 여기서는 11개 중 2개이니, 사실상 같은 비율이라 자연스럽다.

💡핵심 정리

첫 주사위가 위에 무엇을 보이든, 남은 열한 개 숫자 중 정확히 두 개가 합을 7로 만든다 — 그래서 확률은 그냥 2/11이고, 붙이고 굴리는 복잡한 이야기는 전혀 문제가 되지 않았다.

굴리는 과정을 걷어내기
주사위 1의 윗면에 이름 붙이기
남은 숫자 중 맞는 것 세기
나눠서 확률 구하기

굴리는 과정을 걷어내기

주사위 1의 윗면에 이름 붙이기

남은 숫자 중 맞는 것 세기

나눠서 확률 구하기

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