AMC 10 · 2009 · #6

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
area-circlesarea-differencefraction-arithmetic identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-circles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름이 2인 원이 반원 안에 꼭 맞게 들어가 있고, 평평한 지름과 곡선 호에 모두 닿아 있다. 반원 안쪽이면서 원 바깥쪽인 부분이 색칠되어 있다. 색칠된 부분이 반원 넓이의 몇 분의 몇인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ \frac{1}{2}$
(B)
$\ \frac{\pi}{6}$
(C)
$\ \frac{2}{\pi}$
(D)
$\ \frac{2}{3}$
(E)
$\ \frac{3}{\pi}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

그림이 숨기고 있는 단 하나의 사실은 반원의 반지름이다. 그림을 꼼꼼히 읽으면(도구 #1) 이것이 풀린다: 원은 평평한 지름 위에 서 있고 그 꼭대기가 호에 막 닿으므로, 원의 지름 전체가 둘 사이에 끼여 반원의 반지름과 같아진다. 두 반지름을 알고 나면 넓이 문제는 두 조각으로 깔끔하게 나뉜다(도구 #7): 반원의 넓이와 원의 넓이. 색칠된 부분은 직접 구하지 않고 원을 덜어낸 나머지로 구하므로(도구 #16), 분수 계산이 간단한 뺄셈과 약분으로 바뀐다.

1STEP 1

그림에서 반원의 반지름 읽기

중심은 평평한 지름에서 2, 꼭대기는 거기서 2 더 위이므로 반원의 반지름은 4이다.

R_반원 = 2 + 2 = 4
2STEP 2

반원의 넓이

반원은 온전한 원의 절반이다. 반지름 4이면 π·4² = 16π이므로 그 절반은 8π이다.

A_반원 = 1/2π (4)² = 1/2 · 16π = 8π
3STEP 3

내접한 원의 넓이

내접한 원은 반지름이 2이므로 같은 공식으로 넓이는 4π이다.

A_원 = π (2)² = 4π
4STEP 4

빼고 나서 분수 만들기

색칠된 부분은 원을 덜어낸 나머지이므로 8π - 4π = 4π이고, 4π를 8π로 나누면 1/2이다.

A_색칠/A_반원 = (8π - 4π)/8π = 4π/8π = 1/2 (A)
정답
1/2
원의 넓이 4π는 반원의 넓이 8π의 정확히 절반이므로, 색칠된 나머지도 4π가 되어야 한다 — 두 조각이 반원을 똑같이 나눈다. 비율 1/2는 나열된 선택지 중 하나이며 그림과도 맞는다. 그림에서 흰 원이 영역의 절반쯤을 채우고 있다. 또한 모든 π가 약분되므로 답은 깔끔한 유리수이고, 이는 π가 들어간 (B), (C), (E)가 아니라 (A)와 맞는다.
💡핵심 정리

원의 지름이 반원의 반지름과 같아서, 원이 반원의 정확히 절반을 덮고 색칠된 나머지가 또 다른 절반, 곧 1/2이다.

  • 그림에서 반원의 반지름 읽기
  • 반원의 넓이
  • 내접한 원의 넓이
  • 빼고 나서 분수 만들기

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