AMC 10 · 2009 · #6

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesarea-differencefraction-arithmetic identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 반지름이 $2$ 인 원이 반원에 내접해 있다. 반원의 내부이면서 원의 외부인 영역이 색칠되어 있다. 반원 넓이의 몇 분의 몇이 색칠되어 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{2}$

(B)

$\ \frac{\pi}{6}$

(C)

$\ \frac{2}{\pi}$

(D)

$\ \frac{2}{3}$

(E)

$\ \frac{3}{\pi}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $2$인 원이 반원 안에 꼭 맞게 들어가 있고, 평평한 지름과 곡선 호에 모두 닿아 있다. 반원 안쪽이면서 원 바깥쪽인 부분이 색칠되어 있다. 색칠된 부분이 반원 넓이의 몇 분의 몇인지 구하여라.

주어진 것: 내접한 원의 반지름은 $2$이다; 이 원은 반원에 내접한다: 지름 위에 놓여 있고 호에 닿아 있다; 색칠된 부분은 반원 안쪽이면서 원 바깥쪽인 영역이다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{\pi}{6}$, (C) $\tfrac{2}{\pi}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{\pi}$

구하는 것: (색칠된 넓이) / (반원 넓이) 의 비

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

그림이 숨기고 있는 단 하나의 사실은 반원의 반지름이다. 그림을 꼼꼼히 읽으면(도구 #1) 이것이 풀린다: 원은 평평한 지름 위에 서 있고 그 꼭대기가 호에 막 닿으므로, 원의 지름 전체가 둘 사이에 끼여 반원의 반지름과 같아진다. 두 반지름을 알고 나면 넓이 문제는 두 조각으로 깔끔하게 나뉜다(도구 #7): 반원의 넓이와 원의 넓이. 색칠된 부분은 직접 구하지 않고 원을 덜어낸 나머지로 구하므로(도구 #16), 분수 계산이 간단한 뺄셈과 약분으로 바뀐다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

그림에서 반원의 반지름 읽기

원은 평평한 지름 위에 놓여 있고 가장 높은 점이 호에 닿는다.
원의 중심은 지름에서 위로 $2$만큼(반지름 하나) 올라가 있고, 꼭대기는 중심에서 다시 $2$만큼 더 위에 있으므로 원의 꼭대기는 지름에서 $4$만큼 위에 있다.
평평한 바닥에서 곧장 위로 호까지의 이 거리가 바로 반원의 반지름이다.
따라서 반원의 반지름은 $4$이고, 원의 지름 전체가 반원의 반지름과 같다.

$$R_{\text{반원}} = 2 + 2 = 4$$

💡 원이 평평한 바닥에서 호까지 아래위로 꽉 차므로, 원의 지름이 곧 큰 반지름이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

반원의 넓이

반원은 온전한 원의 절반이다.
반지름이 $4$이면 온전한 원의 넓이는 $\pi \cdot 4^2 = 16\pi$이므로, 반원은 그 절반이다.

$$A_{\text{반원}} = \tfrac{1}{2}\pi (4)^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 16\pi = 8\pi$$

💡 반지름 $4$에 원의 넓이 공식을 쓰고, 반원만 그려졌으니 절반을 취한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

내접한 원의 넓이

내접한 원의 반지름은 $2$이므로 같은 넓이 공식을 그대로 적용한다.

$$A_{\text{원}} = \pi (2)^2 = 4\pi$$

💡 반지름 $2$인 원의 넓이는 $\pi r^2$에서 바로 $4\pi$이다.

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 4

빼고 나서 분수 만들기

색칠된 부분은 원을 뺀 반원 안쪽 전부이므로, 그 넓이는 반원의 넓이에서 원의 넓이를 뺀 값이다: $8\pi - 4\pi = 4\pi$.
색칠된 비율은 이것을 반원 전체로 나눈 값이다.
$\pi$가 약분되고 분수가 깔끔하게 줄어든다.

$$\dfrac{A_{\text{색칠}}}{A_{\text{반원}}} = \dfrac{8\pi - 4\pi}{8\pi} = \dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac{1}{2}\ \textbf{(A)}$$

💡 원이 반원 넓이의 정확히 절반을 차지하므로, 남는 것이 나머지 절반이다.

[1] #1 7.G.B.4 원은 평평한 지름 위에 놓여 있고 가장 높은 점이 호에 닿는다. 원의 중심은 지름에서 위로 $2$만큼(반지름 하나) 올라가 있고, 꼭대기는 중심

[2] #7 7.G.B.4 반원은 온전한 원의 절반이다. 반지름이 $4$이면 온전한 원의 넓이는 $\pi \cdot 4^2 = 16\pi$이므로, 반원은 그 절반이다.

[3] #7 7.G.B.4 내접한 원의 반지름은 $2$이므로 같은 넓이 공식을 그대로 적용한다.

[4] #16 6.RP.A.3 색칠된 부분은 원을 뺀 반원 안쪽 전부이므로, 그 넓이는 반원의 넓이에서 원의 넓이를 뺀 값이다: $8\pi - 4\pi = 4\pi$. 색칠된

검토

합리성 확인: 원의 넓이 $4\pi$는 반원의 넓이 $8\pi$의 정확히 절반이므로, 색칠된 나머지도 $4\pi$가 되어야 한다 — 두 조각이 반원을 똑같이 나눈다. 비율 $\tfrac{1}{2}$는 나열된 선택지 중 하나이며 그림과도 맞는다. 그림에서 흰 원이 영역의 절반쯤을 채우고 있다. 또한 모든 $\pi$가 약분되므로 답은 깔끔한 유리수이고, 이는 $\pi$가 들어간 (B), (C), (E)가 아니라 (A)와 맞는다.

대안 접근: 실제 넓이를 구하지 않고 닮음 비로 비교할 수도 있다. 반원의 반지름($4$)은 원의 반지름($2$)의 두 배다. 반지름을 두 배로 하면 온전한 원의 넓이는 $2^2 = 4$배가 되므로, 반지름 $4$인 온전한 원은 작은 원 넓이의 $4$배다. 그런데 그려진 것은 반원 — 그 온전한 원의 절반 — 이므로 $\tfrac{4}{2} = 2$배, 즉 작은 원 두 개 크기다. 하나가 흰 부분을 채우고 다른 하나가 색칠된 부분이니, 다시 $\tfrac{1}{2}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (내접한 원의 지름을 반원의 반지름과 연결하고, 넓이 $\tfrac{1}{2}\pi(4)^2 = 8\pi$와 $\pi(2)^2 = 4\pi$를 계산하는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (부분 대 전체의 비 $\tfrac{4\pi}{8\pi}$를 만들고 $\tfrac{1}{2}$로 약분하는 데 사용.)

⭐ 원의 지름이 반원의 반지름과 같아서, 원이 반원의 정확히 절반을 덮고 색칠된 나머지가 또 다른 절반, 곧 $\tfrac{1}{2}$이다.