AMC 10 · 2009 · #1

학년 4 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

modular-arithmeticmultiplesmental-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: multiples

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

제인은 주 5일 근무하는 동안 매일 아침 $50$ 센트짜리 머핀 또는 $75$ 센트짜리 베이글 중 하나를 샀다. 그 주에 쓴 총 금액은 정확히 달러 단위의 정수였다. 제인이 산 베이글은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 제인은 5일 동안 매일 한 가지씩만 산다. $50$센트짜리 머핀 또는 $75$센트짜리 베이글이다. 5일치 총액이 정확히 딱 떨어지는 달러(센트 나머지 없음)가 되었다. 다섯 개 중 베이글이 몇 개였는지 구하여라.

주어진 것: 구입은 하루에 하나씩, 모두 $5$번이다; 머핀은 $50$센트, 베이글은 $75$센트이다; 5일치 총액은 딱 떨어지는 달러이다 (남는 센트가 없음); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 제인이 그 주에 산 베이글의 개수

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

베이글 개수를 문자 하나로 두면(도구 #4) 머핀 개수와 총액까지 그 하나의 미지수로 나타낼 수 있어, 딱 떨어지는 달러 조건이 확인할 식 하나로 정리된다. 센트로 계산하는 것(도구 #8)이 핵심이다. '딱 떨어지는 달러'는 곧 센트 총액이 $00$으로 끝난다는 뜻, 즉 $100$의 배수라는 뜻이기 때문이다. 그러면 베이글 개수의 경우가 여섯 가지뿐이므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 어느 개수가 실제로 $100$의 배수가 되는지 따져 마무리한다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 1

센트 단위로 계산하기

모든 가격을 센트로 바꿔 정수로 만든다.
머핀은 $50$, 베이글은 $75$이다.
'딱 떨어지는 달러'란 남는 센트가 없다는 뜻이므로, 센트 총액이 $00$으로 끝나야 하고 곧 $100$의 배수여야 한다.

$$\text{머핀}=50\text{c},\quad \text{베이글}=75\text{c},\quad \text{딱 떨어지는 달러}\iff \text{총액이 }100\text{의 배수}$$

💡 센트로 세면 '딱 떨어지는 달러'가 '$00$으로 끝난다'는 간단한 조건으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 4.OA.A.3 단계 2

베이글을 문자로, 총액 세우기

베이글 개수를 $b$라 하자.
구입이 모두 $5$번이므로 머핀 개수는 $5-b$이다.
센트로 나타낸 총액은 베이글과 머핀을 더한 $75b+50(5-b)$이다.
$50(5-b)=250-50b$로 펼쳐 정리하면 $75b+250-50b=250+25b$이다.

$$75b+50(5-b)=75b+250-50b=250+25b$$

💡 머핀은 5일에서 남는 만큼이므로 미지수 $b$ 하나로 한 주 전체가 표현된다.

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 3

딱 떨어지는 달러 조건 세우기

딱 떨어지는 달러가 되려면 총액 $250+25b$ 센트가 $100$의 배수여야 한다.
밑값 $250$은 이미 $50$으로 끝나고, 베이글 하나마다 $25$센트씩 더해진다.
그러니 $250$에서 $25$센트씩 몇 번 더해야 $100$의 배수에 정확히 닿는지가 문제다.

$$250+25b\equiv 0 \pmod{100}$$

💡 딱 떨어지는 달러 총액은 곧 $100$의 배수이므로, 닿을 수 있는 범위 안의 $100$의 배수를 찾으면 된다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

여섯 경우 확인하기

$b=0,1,2,3,4,5$를 넣으면 총액은 $250,275,300,325,350,375$ 센트이다.
이 중 $100$의 배수는 $300$ 센트$=\$3.00$ 하나뿐이고, 이는 $b=2$일 때 나온다. 다른 개수는 모두 $25$, $50$, $75$센트가 남는다. 따라서 제인은 베이글을 $2$개 샀고, 이는 선택지 (B)이다.

$$b=0\!:\!250,\ 1\!:\!275,\ 2\!:\!\mathbf{300},\ 3\!:\!325,\ 4\!:\!350,\ 5\!:\!375\ \Rightarrow\ b=2\ \textbf{(B)}$$

💡 경우가 여섯 개뿐이라 하나씩 확인하는 것이 어떤 요령보다 빠르고 확실하다.

[1] #8 4.MD.A.2 모든 가격을 센트로 바꿔 정수로 만든다. 머핀은 $50$, 베이글은 $75$이다. '딱 떨어지는 달러'란 남는 센트가 없다는 뜻이므로, 센트 총

[2] #4 4.OA.A.3 베이글 개수를 $b$라 하자. 구입이 모두 $5$번이므로 머핀 개수는 $5-b$이다. 센트로 나타낸 총액은 베이글과 머핀을 더한 $75b+50(

[3] #4 4.OA.B.4 딱 떨어지는 달러가 되려면 총액 $250+25b$ 센트가 $100$의 배수여야 한다. 밑값 $250$은 이미 $50$으로 끝나고, 베이글 하나마

[4] #3 4.OA.B.4 $b=0,1,2,3,4,5$를 넣으면 총액은 $250,275,300,325,350,375$ 센트이다. 이 중 $100$의 배수는 $300$ 센트

검토

합리성 확인: 주간 총액은 모두 머핀일 때 $5\times50=250$ 센트($\$2.50$)와 모두 베이글일 때 $5\times75=375$ 센트($\$3.75$) 사이에 있어야 한다. 그 범위에서 딱 떨어지는 달러는 $\$3.00$ 하나뿐이다. $\$2.50$에서 시작해 머핀 하나를 베이글로 바꿀 때마다 $25$센트가 더해지므로, $\$3.00$에 닿으려면 $50$센트 더, 즉 정확히 $2$번 바꿔야 한다. 곧 베이글 $2$개로, 구한 답과 일치한다.

대안 접근: 베이글을 더할 때 끝 두 자리(센트)만 따라가 보자. 모두 머핀이면 총액은 $50$으로 끝나고, 베이글을 하나 더할 때마다 끝자리가 $25$씩 오른다: $50\to75\to00$. 끝자리가 처음 $00$이 되는 것은 베이글 $2$개일 때이므로, 전체 총액을 계산하지 않고도 답이 $2$임을 알 수 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.MD.A.2 Solve word problems involving distances, time, liquid volumes, and money ($50$센트와 $75$센트 가격을 센트로 바꾸고 '딱 떨어지는 달러'를 $100$센트의 배수로 해석하는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (머핀을 $5-b$로 나타내고 주간 총액 $75b+50(5-b)=250+25b$를 세우는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (총액이 $100$의 배수여야 한다는 조건을 세우고 $0$부터 $5$까지의 베이글 개수를 확인하는 데 사용.)

⭐ 돈을 센트로 세어 보자. 딱 떨어지는 달러는 총액이 $00$으로 끝난다는 뜻이니, 어느 선택지가 거기에 닿는지 찾으면 된다.