경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2022 · #13
학년 4 algebranumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"가능한 k 가 몇 개인가?" 라는 질문은 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)에 딱 맞습니다. 작은 수 b 를 기준으로 순서를 정해 k 가 양의 정수가 되는 모든 b 를 빠뜨리지 않고 적기만 하면 됩니다. 그 전에 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 두 조건 (a = 2b + k 와 a + b = 28)을 한 줄짜리 식 3b + k = 28로 합쳐 두면 k = 28 - 3b 라는 깔끔한 뺄셈 규칙이 나옵니다. 이후 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 b = 1, 2, 3, … 을 차례로 넣어 보다가 k 가 1 미만이 되는 순간 멈추면 끝 — 굳이 도구 #13 (대수로 바꾸기)까지 가지 않아도 됩니다.
문장을 식으로 바꾸기
"a 는 b 의 두 배보다 k 큼" 은 a = 2b + k; a + b = 28에 대입하면 3b + k = 28.
"두 배" 라는 곱셈 비교 표현은 4학년 곱셈 비교 문장제 표현 그대로이고, 거기에 작은 수 b 를 한 번 더 더해 주면 됩니다.
4.OA.A.2Identify Subproblems남는 수를 식으로 나타내기
k 에 대해 정리하면 k = 28 - 3b. 이제 어떤 양의 정수 b 에서 28 - 3b 가 양수인지 묻는 문제.
두 조건짜리 문제를 한 줄 뺄셈으로 축약하는 것이 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)의 핵심 — 4학년 다단계 문장제 수준입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems작은 수의 최댓값 찾기
k ≥ 1 이려면 28 - 3b ≥ 1, 즉 3b ≤ 27, b ≤ 9; b 는 1부터 9 까지의 자연수.
"b 가 얼마나 커지면 k 가 모자라게 될까?" 를 경계에서 점검하는 것이 도구 #6 (추측하고 확인하기) — 결국 27 ÷ 3 = 9 라는 4학년 계산입니다.
4.OA.A.3Guess And Check가능한 짝 모두 나열하기
b = 1부터 9까지 (b, k)를 나열: k = 25, 22, 19, …, 1, a = 28 - b 도 항상 양수.
"b 가 1 늘 때마다 k 는 3 씩 줄어든다" 라는 규칙으로 표를 만드는 것이 4학년 "규칙에 따른 수의 패턴 만들기" 표준입니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List서로 다른 값 세기
서로 다른 k 값 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1을 세면 모두 9 개, 선택지 (D).
완성된 목록의 개수를 세는 것은 3학년 두 단계 문장제 수준의 마무리입니다.
두 수 중 작은 수를 b, 빈칸을 k라 하자. 빈칸에 들어갈 수 있는 양의 정수가 몇 개인지는 두 가지 사실로 정해진다: 허용되는 각 b는 정확히 하나의 k를 주며 겹치지 않고, b는 1부터 9까지 끊김 없이 이어지는 정수 아무 값이나 될 수 있다.
▸ 왜?
허용되는 각 b를 그 k와 짝지어 보면, 규칙 k = 28 - 3b는 각 b를 정확히 하나의 k로 보내고, 목록을 따라 내려가며 그 값 25, 22, 19, …는 겹침 없이 계속 줄어들어, b 목록과 k 목록이 남는 것 없이 하나씩 짝지어진다.
▸ 왜?
b는 양의 정수이므로 적어도 1이고, 9보다 클 수는 없다. 더 큰 b는 k = 28 - 3b를 1 아래로 끌어내리는데, 양의 k는 이를 허용하지 않기 때문이다.
▸ 왜?
관계식 k = 28 - 3b가 성립하는 까닭은, 전체 28이 겹침 없이 b와 더 큰 수로 나뉘고, 그 더 큰 수가 다시 2b + k이기 때문이다. 그래서 28 = b + (2b + k) = 3b + k이다.
▸ 왜?
따라서 허용되는 가장 큰 b는 9이다: k ≥ 1을 지키려면 3b ≤ 27이어야 하고, 3배를 되돌려 27을 3으로 나누면 9가 나온다.
이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "두 배" 비교와 차근차근 빠짐없이 적기만 알면 풀 수 있어요!
- 문장을 식으로 바꾸기
- 남는 수를 식으로 나타내기
- 작은 수의 최댓값 찾기
- 가능한 짝 모두 나열하기
- 서로 다른 값 세기
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