AMC 10 · 2009 · #13

학년 5 geometry-2d

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

perimetermodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: perimeter

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

각 변의 길이가 AB=3, BC=4, CD=6, DE=3, EA=7인 볼록오각형 ABCDE가 있다. 처음에는 변 AB가 x축 위에 놓여 있고 A는 원점, B는 양의 x축 위에 있다. 이 오각형을 x축을 따라 오른쪽으로 시계 방향으로 굴린다. 오각형이 점 x=2009를 덮는 순간 바닥에 닿아 있는 변이 어느 변인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\overline{AB}$

(B)

$\overline{BC}$

(C)

$\overline{CD}$

(D)

$\overline{DE}$

(E)

$\overline{EA}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

오각형을 굴리면 변들이 바닥에 차례로 찍히고, 한 바퀴가 끝나면 같은 무늬가 그대로 반복된다. 도구 #5(패턴 찾기)는 바닥이 똑같은 23짜리 블록으로 채워진다는 사실을 잡아내므로, 2009가 한 블록 안 어디에 떨어지는지만 알면 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 변의 길이를 더해 각 변이 차지하는 구간을 정확히 기록한다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 거대한 2009를 둘레로 나눈 나머지로 줄여, 큰 수를 작은 블록 안의 한 점으로 바꾼다.

1STEP 1

한 바퀴의 변 길이를 모두 더하기

한 바퀴에 모든 변이 한 번씩 닿으므로 반복 길이는 둘레 3+4+6+3+7=23입니다.

3+4+6+3+7=23

2STEP 2

각 변이 끝나는 위치 표시하기

x=0부터 쌓으면 AB는 0~~3, BC는 3~~7, CD는 7~~13, DE는 13~~16, EA는 16~23을 덮습니다.

AB:[0,3], BC:[3,7], CD:[7,13], DE:[13,16], EA:[16,23]

3STEP 3

2009를 한 블록으로 줄이기

온전한 바퀴를 걷어내면 2009=23×87+8이므로 x=2009는 한 블록의 x=8과 같습니다.

2009=23 × 87+8, 2009≡ 8 (mod 23)

4STEP 4

남은 8이 어느 변인지 찾기

8을 품는 구간은 7부터 13까지인 CD이므로 x=2009에 닿는 변은 CD, 보기 (C)입니다.

7 ＜ 8 ＜ 13 → 변 CD → (C)

정답

블록 경계를 점검한다. 누적되는 끝은 3,7,13,16,23이고 그 사이 간격은 3,4,6,3,7로 주어진 변 길이와 일치하며 합이 둘레 23이 되므로 겹치거나 빠진 것이 없다. 남은 8은 7과 13 사이, 즉 꼭짓점이 아니라 CD 구간의 내부에 놓이므로 답이 깔끔하다. 23 × 87=2001, 2001+8=2009로 다시 확인하면 나머지는 8이고 CD, 곧 보기 (C)에 떨어진다.

💡핵심 정리

도형이 굴러 반복되면, 한 바퀴 길이를 더하고 온전한 바퀴는 나눠 없앤 뒤 남은 만큼이 어디에 떨어지는지만 보면 된다.

한 바퀴의 변 길이를 모두 더하기
각 변이 끝나는 위치 표시하기
2009를 한 블록으로 줄이기
남은 8이 어느 변인지 찾기

한 바퀴의 변 길이를 모두 더하기

각 변이 끝나는 위치 표시하기

2009를 한 블록으로 줄이기

남은 8이 어느 변인지 찾기

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