AMC 10 · 2009 · #15

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationslinear-equations-two-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양동이는 자기 자신의 고정된 무게에 물의 무게가 더해진다. 물이 3분의 2만큼 찼을 때 양동이와 물을 합한 무게가 a 킬로그램이고, 2분의 1만큼 찼을 때는 b 킬로그램이다. 양동이가 물로 가득 찼을 때의 전체 무게를 a와 b로 나타내어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac23a + \frac13b$

(B)

$\ \frac32a - \frac12b$

(C)

$\ \frac32a + b$

(D)

$\ \frac32a + 2b$

(E)

$\ 3a - 2b$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

절대 변하지 않는 두 양이 있다. 빈 양동이의 무게와 가득 찬 물 한 통의 무게다. 각각을 변수로 이름 붙이고, 두 개의 '얼마나 찼는지' 사실을 두 개의 식으로 바꾸면, 두 식을 결합하는 것만으로 가득 찬 양동이의 무게가 나온다.

1STEP 1

변하지 않는 두 무게에 이름 붙이기

빈 양동이의 무게를 B, 가득 찼을 때 물의 무게를 w라 하자. 둘 다 언제나 그대로다.

B = 빈 양동이, w = 가득 찬 물

2STEP 2

각 채움 상태를 식으로 쓰기

물이 3분의 2만큼 차면 $B + \frac{2}{3}w = a$ , 2분의 1만큼 차면 $B + \frac{1}{2}w = b$ 이다.

B + 2/3 w = a, B + 1/2 w = b

3STEP 3

빼서 물만 남기기

빼면 B가 사라지고 $\frac{1}{6}w = a - b$ 만 남는다. 즉 물 한 통은 6a - 6b이다.

(2/3 - 1/2)w = a - b → 1/6 w = a - b → w = 6a - 6b

4STEP 4

양동이 무게 되찾기

이를 $B + \frac{1}{2}w = b$ 에 넣으면 빈 양동이는 4b - 3a이다.

B = b - 1/2(6a - 6b) = 4b - 3a

5STEP 5

양동이와 가득 찬 물 더하기

가득 찬 무게는 $B + w = (4b - 3a) + (6a - 6b)$ , 곧 보기 (E)인 3a - 2b이다.

B + w = (4b - 3a) + (6a - 6b) = 3a - 2b

정답

3a - 2b

실제 숫자로 확인해 보자. 빈 양동이를 2, 가득 찬 물을 6이라 하면 3분의 2 찼을 때는 2 + 4 = 6 = a, 2분의 1 찼을 때는 2 + 3 = 5 = b이다. 가득 찬 양동이는 2 + 6 = 8이다. 공식은 3a - 2b = 18 - 10 = 8을 주어 일치하므로 (E)가 맞다.

💡핵심 정리

변하지 않는 부분에 이름을 붙이고, 단서마다 식을 하나씩 쓴 다음, 빼서 원하지 않는 부분을 사라지게 하라.

변하지 않는 두 무게에 이름 붙이기
각 채움 상태를 식으로 쓰기
빼서 물만 남기기
양동이 무게 되찾기
양동이와 가득 찬 물 더하기

변하지 않는 두 무게에 이름 붙이기

각 채움 상태를 식으로 쓰기

빼서 물만 남기기

양동이 무게 되찾기

양동이와 가득 찬 물 더하기

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