AMC 10 · 2009 · #15

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationslinear-equations-two-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양동이에 물이 3분의 2만큼 차 있을 때 양동이와 물의 무게는 $a$ 킬로그램이다. 양동이에 물이 2분의 1만큼 차 있을 때 전체 무게는 $b$ 킬로그램이다. 양동이에 물이 가득 찼을 때의 전체 무게를 $a$ 와 $b$ 로 나타내면 몇 킬로그램인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac23a + \frac13b$

(B)

$\ \frac32a - \frac12b$

(C)

$\ \frac32a + b$

(D)

$\ \frac32a + 2b$

(E)

$\ 3a - 2b$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양동이는 자기 자신의 고정된 무게에 물의 무게가 더해진다. 물이 $\tfrac23$만큼 찼을 때 양동이와 물을 합한 무게가 $a$ 킬로그램이고, $\tfrac12$만큼 찼을 때는 $b$ 킬로그램이다. 양동이가 물로 가득 찼을 때의 전체 무게를 $a$와 $b$로 나타내어라.

주어진 것: 물이 $\tfrac23$ 찬 양동이의 전체 무게는 $a$ kg이다.; 물이 $\tfrac12$ 찬 양동이의 전체 무게는 $b$ kg이다.; 빈 양동이의 무게는 정해진 미지수이다.; 가득 찬 물의 양도 정해진 미지수이다.

구하는 것: 양동이가 물로 가득 찼을 때의 전체 무게.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

절대 변하지 않는 두 양이 있다. 빈 양동이의 무게와 가득 찬 물 한 통의 무게다. 각각을 변수로 이름 붙이고, 두 개의 '얼마나 찼는지' 사실을 두 개의 식으로 바꾸면, 두 식을 결합하는 것만으로 가득 찬 양동이의 무게가 나온다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

변하지 않는 두 무게에 이름 붙이기

빈 양동이의 무게를 $B$, 양동이가 가득 찼을 때 물의 무게를 $w$라 하자.
이 두 값은 양동이가 얼마나 차 있든 항상 같다.

B = \text{빈 양동이}, \quad w = \text{가득 찬 물}

💡 변하지 않는 부분에 이름을 붙이면 모든 경우에서 그것을 따라갈 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

각 채움 상태를 식으로 쓰기

$\tfrac23$ 찼다는 것은 담긴 물이 $\frac23 w$라는 뜻이므로 전체는 $B + \frac23 w = a$이다.
$\tfrac12$ 찼다는 것은 담긴 물이 $\frac12 w$이므로 전체는 $B + \frac12 w = b$이다.

$$B + \tfrac23 w = a, \qquad B + \tfrac12 w = b$$

💡 가득 찬 물의 일부에 같은 양동이를 더하면 각 측정 무게가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 3

빼서 물만 남기기

첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 양동이 무게 $B$가 사라지고 물만 남는다.
$\left(\frac23 - \frac12\right)w = a - b$, 즉 $\frac16 w = a - b$이다.
따라서 $w = 6a - 6b$이다.

$$\left(\tfrac23 - \tfrac12\right)w = a - b \;\Rightarrow\; \tfrac16 w = a - b \;\Rightarrow\; w = 6a - 6b$$

💡 두 식을 나란히 놓으면 공통인 양동이 무게가 스스로 지워진다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

양동이 무게 되찾기

$w = 6a - 6b$를 $B + \frac12 w = b$에 다시 넣는다.
그러면 $B = b - \frac12(6a - 6b) = b - 3a + 3b = 4b - 3a$이다.

$$B = b - \tfrac12(6a - 6b) = 4b - 3a$$

💡 물을 알고 나면 식 하나로 양동이가 드러난다.

#4 변수 도입하기 7.EE.A.1 단계 5

양동이와 가득 찬 물 더하기

가득 찬 양동이의 무게는 $B + w = (4b - 3a) + (6a - 6b) = 3a - 2b$이다.
이것은 보기 (E)와 일치하므로 답은 $\textbf{(E)}\ 3a - 2b$이다.

$$B + w = (4b - 3a) + (6a - 6b) = 3a - 2b$$

💡 가득 찬 무게는 그저 양동이에 물 한 통 전체를 더한 것이다.

[1] #4 6.EE.B.6 빈 양동이의 무게를 $B$, 양동이가 가득 찼을 때 물의 무게를 $w$라 하자. 이 두 값은 양동이가 얼마나 차 있든 항상 같다.

[2] #13 7.EE.B.4 $\tfrac23$ 찼다는 것은 담긴 물이 $\frac23 w$라는 뜻이므로 전체는 $B + \frac23 w = a$이다. $\tfrac12$

[3] #7 8.EE.C.8 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 양동이 무게 $B$가 사라지고 물만 남는다. $\left(\frac23 - \frac12\right)w =

[4] #13 8.EE.C.7 $w = 6a - 6b$를 $B + \frac12 w = b$에 다시 넣는다. 그러면 $B = b - \frac12(6a - 6b) = b -

[5] #4 7.EE.A.1 가득 찬 양동이의 무게는 $B + w = (4b - 3a) + (6a - 6b) = 3a - 2b$이다. 이것은 보기 (E)와 일치하므로 답은

검토

합리성 확인: 실제 숫자로 확인해 보자. 빈 양동이를 $2$, 가득 찬 물을 $6$이라 하면 $\tfrac23$ 찼을 때는 $2 + 4 = 6 = a$, $\tfrac12$ 찼을 때는 $2 + 3 = 5 = b$이다. 가득 찬 양동이는 $2 + 6 = 8$이다. 공식은 $3a - 2b = 18 - 10 = 8$을 주어 일치하므로 (E)가 맞다.

대안 접근: 각 부분을 따로 구하지 않아도 된다. 첫 번째 식에 $3$을, 두 번째 식에 $2$를 곱하면 $3B + 2w = 3a$, $2B + w = 2b$가 된다. 빼면 $B + w = 3a - 2b$가 바로 나오는데, $B + w$가 정확히 가득 찬 양동이의 무게다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (변하지 않는 양동이 무게와 가득 찬 물의 무게를 변수로 이름 붙이기.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ('$\tfrac23$ 참'과 '$\tfrac12$ 참'을 두 개의 식으로 옮기기.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (두 식을 빼서 양동이를 없애고 물을 구하기.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (대입하여 빈 양동이의 무게 구하기.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions (양동이와 가득 찬 물의 식을 더해 최종 공식 얻기.)

⭐ 변하지 않는 부분에 이름을 붙이고, 단서마다 식을 하나씩 쓴 다음, 빼서 원하지 않는 부분을 사라지게 하라.