AMC 10 · 2009 · #19

학년 5 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

complementary-countingdigit-countingfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: complementary-counting

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 $12$ 시간제 디지털 시계가 하루의 시와 분을 표시한다. 그런데 이 시계는 $1$ 을 표시해야 할 때마다 잘못하여 $9$ 를 표시한다. 예를 들어 오후 1시 16분일 때 시계는 오후 9시 96분으로 잘못 표시한다. 이 시계가 올바른 시각을 표시하는 시간은 하루의 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac 12$

(B)

$\ \frac 58$

(C)

$\ \frac 34$

(D)

$\ \frac 56$

(E)

$\ \frac {9}{10}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 12시간제 디지털 시계가 시와 분을 표시하는데, 원래 $1$을 표시해야 할 자리마다 대신 $9$를 표시한다. 하루 전체에서 이 시계가 올바른 시각을 표시하는 시간의 비율을 구하여라.

주어진 것: 시계는 시를 $1$부터 $12$까지, 분을 $00$부터 $59$까지 표시한다.; $1$이 되어야 하는 자리는 모두 $9$로 표시된다.; 그 밖의 숫자는 모두 올바르게 표시된다.; 예를 들어 1:16은 9:96으로 표시된다.

구하는 것: 하루 중 시계가 올바른 시각을 표시하는 시간의 비율.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

표시는 시 부분과 분 부분이라는 서로 독립된 두 조각으로 이루어져 있다. 어떤 시각이 올바르려면 시도 올바르고 분도 올바라야 하며, 올바른 분의 집합은 어느 시간대에서나 똑같다. 그래서 문제를 쪼갠다: $1$이 없는 시의 비율과 $1$이 없는 분의 비율을 각각 구한 뒤 두 분수를 곱한다.

실행 — 정답: A

#16 관점 바꾸기 4.NBT.A.2 단계 1

올바름을 1이 없음으로 바꿔 보기

시계가 틀리게 표시하는 유일한 숫자는 $1$이다($9$로 바꿔 버린다).
나머지 숫자는 모두 올바르게 나온다.
따라서 표시 전체가 올바른 것은 그 안의 어떤 자릿수도 $1$이 아닐 때뿐이다.
이렇게 하면 '언제 올바른가'라는 복잡한 질문이 '자릿수를 확인하는' 깔끔한 질문으로 바뀐다.

\text{표시가 올바름} \iff \text{어떤 자릿수도 } 1 \text{이 아님}

💡 기계가 오직 숫자 1만 망가뜨린다면, 모든 1을 피하기만 하면 표시가 완벽해진다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NF.A.1 단계 2

올바른 시 세기

시는 $1,2,3,\dots,12$이다.
$1$이 들어 있지 않은 것을 나열하면 $2,3,4,5,6,7,8,9$이다.
시 $1,10,11,12$에는 모두 $1$이 들어 있으므로 틀린다.
그러면 $12$개 중 $8$개의 올바른 시가 남고, 그 비율은 $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$이다.

\text{올바른 시} = \{2,3,4,5,6,7,8,9\} \Rightarrow \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

💡 어딘가에 1이 들어 있는 시를 모두 지우고 남은 것을 세면 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 3

올바른 분 세기

분은 십의 자리($0$–$5$)와 일의 자리($0$–$9$)로 이루어진다.
분이 올바르려면 두 자리 모두 $1$이 아니어야 한다.
십의 자리는 $0,2,3,4,5$가 될 수 있으니 $5$가지, 일의 자리는 $0,2,3,4,5,6,7,8,9$가 될 수 있으니 $9$가지이다.
올바른 십의 자리 아무 것에나 올바른 일의 자리 아무 것이나 짝지을 수 있으므로, 한 시간의 $60$분 중 올바른 분은 $5\times 9 = 45$개이고 그 비율은 $\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$이다.

5 \times 9 = 45 \text{개의 올바른 분} \Rightarrow \frac{45}{60} = \frac{3}{4}

💡 허용되는 십의 자리 각각이 허용되는 일의 자리 각각과 짝을 이룰 수 있으니 가짓수를 곱한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 4

두 작은 문제 합치기

어떤 시각이 올바른 것은 시도 올바르고 분도 올바를 때뿐이다.
올바른 분은 어느 시간대에서나 똑같이 $\frac{3}{4}$의 몫을 차지하므로, 올바른 시가 차지하는 하루의 $\frac{2}{3}$ 안에서도 분의 4분의 3이 올바르다.
두 분수를 곱하면 $\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$이다.
오전과 오후가 똑같으므로 이것이 하루 전체의 비율이고, 따라서 답은 $\textbf{(A)}\ \frac{1}{2}$이다.

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

💡 올바른 시와 올바른 분이 둘 다 일어나야 하므로 두 분수를 곱한다.

[1] #16 4.NBT.A.2 시계가 틀리게 표시하는 유일한 숫자는 $1$이다($9$로 바꿔 버린다). 나머지 숫자는 모두 올바르게 나온다. 따라서 표시 전체가 올바른 것은

[2] #2 4.NF.A.1 시는 $1,2,3,\dots,12$이다. $1$이 들어 있지 않은 것을 나열하면 $2,3,4,5,6,7,8,9$이다. 시 $1,10,11,12$

[3] #2 3.OA.A.1 분은 십의 자리($0$–$5$)와 일의 자리($0$–$9$)로 이루어진다. 분이 올바르려면 두 자리 모두 $1$이 아니어야 한다. 십의 자리는

[4] #7 5.NF.B.4 어떤 시각이 올바른 것은 시도 올바르고 분도 올바를 때뿐이다. 올바른 분은 어느 시간대에서나 똑같이 $\frac{3}{4}$의 몫을 차지하므로,

검토

합리성 확인: 개수로 확인해 보자: 가능한 시각은 $12\times 60 = 720$개이고, 그중 $1$이 없는 것은 $8\times 45 = 360$개이다. 이는 정확히 $\frac{360}{720}=\frac{1}{2}$로, 분수를 곱해 얻은 값과 일치한다. 절반이라는 결과도 그럴듯하다: $1$은 꽤 흔한 숫자여서 전체 표시의 약 절반을 망친다는 것이 자연스럽다.

대안 접근: 분수를 쓰지 않고 올바른 시각을 직접 세어도 된다. 올바른 시는 $8$개($2$부터 $9$), 올바른 분은 십의 자리 $5$가지 곱하기 일의 자리 $9$가지 $= 45$개이다. 곱하면 올바른 시각은 $8\times 45 = 360$개이고, 전체 $720$으로 나누면 역시 $\frac{1}{2}$이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.NBT.A.2 여러 자리 수를 읽고 쓰며 기호로 비교하기 (표시가 올바른 것이 곧 어떤 자릿수도 1이 아닐 때임을 알아차리는 데 사용.)
4.NF.A.1 어떤 분수가 다른 분수와 같은 이유 설명하기 (올바른 경우의 수를 8/12 = 2/3, 45/60 = 3/4처럼 약분하는 데 사용.)
3.OA.A.1 자연수의 곱을 묶음 속 물건의 총개수로 해석하기 (십의 자리 5가지와 일의 자리 9가지를 곱해 올바른 분 45개를 세는 데 사용.)
5.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장하여 분수끼리 곱하기 (올바른 시의 비율과 올바른 분의 비율을 곱해 2/3 x 3/4 = 1/2을 얻는 데 사용.)

⭐ 두 부분으로 된 표시를 부분별로 나눠 각 부분에서 맞을 비율을 구하고, 그 분수들을 곱하면 전체가 맞을 비율이 나온다.