AMC 10 · 2009 · #19

학년 5 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

complementary-countingdigit-countingfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: complementary-counting

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

12시간제 디지털 시계가 시와 분을 표시하는데, 원래 1을 표시해야 할 자리마다 대신 9를 표시한다. 예를 들어 1시 16분은 9시 96분으로 표시된다. 하루 전체에서 이 시계가 올바른 시각을 표시하는 시간의 비율을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac 12$

(B)

$\ \frac 58$

(C)

$\ \frac 34$

(D)

$\ \frac 56$

(E)

$\ \frac {9}{10}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

표시는 시 부분과 분 부분이라는 서로 독립된 두 조각으로 이루어져 있다. 어떤 시각이 올바르려면 시도 올바르고 분도 올바라야 하며, 올바른 분의 집합은 어느 시간대에서나 똑같다. 그래서 문제를 쪼갠다: 1이 없는 시의 비율과 1이 없는 분의 비율을 각각 구한 뒤 두 분수를 곱한다.

1STEP 1

올바름을 1이 없음으로 바꿔 보기

시계가 망가뜨리는 숫자는 1뿐이므로, 표시는 어떤 자릿수도 1이 아닐 때만 올바르다.

표시가 올바름 ⇔ 어떤 자릿수도 1 이 아님

2STEP 2

올바른 시 세기

시 1, 10, 11, 12에는 1이 들어 있으므로 2부터 9까지만 올바르다. 12개 중 8개, 비율은 $\frac{2}{3}$ 이다.

올바른 시 = {2,3,4,5,6,7,8,9} → 8/12 = 2/3

3STEP 3

올바른 분 세기

십의 자리는 0,2,3,4,5로 5가지, 일의 자리는 0,2,…,9로 9가지. 60분 중 45분이 올바르니 비율은 $\frac{3}{4}$ 이다.

5 × 9 = 45 개의 올바른 분 → 45/60 = 3/4

4STEP 4

두 작은 문제 합치기

시와 분이 모두 올발라야 하고 어느 시간대에나 같은 $\frac{3}{4}$ 가 들어 있으므로 $\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=$ $\frac{1}{2}$ , 답은 (A)이다.

2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2

정답

1/2

개수로 확인해 보자: 가능한 시각은 12 × 60 = 720개이고, 그중 1이 없는 것은 8 × 45 = 360개이다. 이는 정확히

\frac{360}{720}=

\frac{1}{2}

로, 분수를 곱해 얻은 값과 일치한다. 절반이라는 결과도 그럴듯하다: 1은 꽤 흔한 숫자여서 전체 표시의 약 절반을 망친다는 것이 자연스럽다.

💡핵심 정리

두 부분으로 된 표시를 부분별로 나눠 각 부분에서 맞을 비율을 구하고, 그 분수들을 곱하면 전체가 맞을 비율이 나온다.

올바름을 1이 없음으로 바꿔 보기
올바른 시 세기
올바른 분 세기
두 작은 문제 합치기

올바름을 1이 없음으로 바꿔 보기

올바른 시 세기

올바른 분 세기

두 작은 문제 합치기

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