AMC 10 · 2009 · #23

학년 7 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityrateinterval-arithmetic physical-representation ↑ 선수 지식: geometric-probability

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

레이철과 로버트가 원형 트랙에서 달린다. 두 사람은 같은 출발선에서 동시에 출발한다. 레이철은 시계 반대 방향으로 90초마다 한 바퀴를 완주하고, 로버트는 시계 방향으로 80초마다 한 바퀴를 완주한다. 출발한 뒤 10분에서 11분 사이의 임의의 순간에 트랙 안쪽에 서 있는 사진사가 출발선을 중심으로 트랙의 4분의 1이 나오는 사진을 찍는다. 레이철과 로버트가 모두 사진에 나올 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {1}{16}$

(B)

$\frac 18$

(C)

$\frac {3}{16}$

(D)

$\frac 14$

(E)

$\frac {5}{16}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 뼈대이다. 트랙을 모델링해 '사진에 들어감' 을 '출발선에서 1/8 바퀴 이내' 로 바꾸고, 600 초부터 660 초까지의 타임라인에 각 주자의 촬영 구간을 칠한다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 각 주자의 한 바퀴 시간을 이용해 호(1/8 바퀴)를 초 단위로 바꾼다 — 바퀴의 일정 비율은 일정한 초에 대응하기 때문. 도구 #5(패턴 찾기)는 목표 분(分) 안에서 각 주자가 출발선에 있는 순간을 찾는다 — 레이철 은 90 초마다, 로버트 는 80 초마다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 '레이철 의 구간', '로버트 의 구간', '겹치는 구간' 으로 나눠, 마지막에 겹친 길이를 60으로 나누면 된다.

1STEP 1

사진을 거리로 모델링

위치를 바퀴로 재자. 1/4 바퀴 사진의 중심이 출발선이므로 양쪽으로 1/8 바퀴씩 뻗는다.

사진 반폭 = 1/4 × 1/2 = 1/8 바퀴 (한쪽당)

2STEP 2

호를 초로 바꾸기

일정한 속도면 1/8 바퀴에 한 바퀴 시간의 1/8이 든다. 레이철은 11.25초, 로버트는 10초.

레이철: 90/8 = 11.25 초; 로버트: 80/8 = 10 초

3STEP 3

출발선 위의 순간 찾기

출발선 위에 있는 시각은 바퀴 시간의 배수다. 600~660초에서 레이철은 630초, 로버트는 640초.

630 = 7 × 90 ∈ [600,660]; 640 = 8 × 80 ∈ [600,660]

4STEP 4

각 촬영 구간 칠하기

통과 시각에 반폭을 더하고 빼면 레이철은 [618.75, 641.25]초, 로버트는 [630, 650]초.

레이철: [618.75, 641.25]; 로버트: [630, 650]

5STEP 5

두 구간 겹치기

두 막대가 겹치는 [630, 641.25]에서만 둘 다 찍힌다. 길이는 11.25초.

[630, 650]∩[618.75, 641.25] = [630, 641.25], 길이 11.25 초

6STEP 6

나눠서 확률 구하기

순간이 60초 위에 균등하므로 확률은 11.25/60 = 3/16, 선택지 (C).

P = 11.25/60 = 3/16 → (C)

정답

3/16

모든 단계가 시계와 맞는다. 레이철은 실제로 630초(7 × 90), 로버트는 640초(8 × 80)에 출발선을 지나며 둘 다 목표 분 안에 있다. 각자의 구간 ± 11.25초와 ± 10초는 정확히 팔분의 일 바퀴 호이다. 겹치는 구간 [630, 641.25]의 길이는 11.25초이고, 11.25/60 = 0.1875 = 3/16으로 선택지에 딱 떨어진다. 겹친 구간(11.25초)이 각각의 구간(22.5초, 20초)보다 자연스럽게 작으므로, 두 사건이 동시에 일어날 확률이 각각보다 낮은 것도 합리적이다. 답 3/16은 선택지 (C).

💡핵심 정리

'사진 안'을 '출발선에서 팔분의 일 바퀴 이내'로 바꾸고, 그 호를 각 주자의 초로 환산해, 두 시간 구간을 타임라인에 칠한 뒤 겹치는 부분(60 초 중 11.25 초)이 곧 확률: (C) 3/16.

사진을 거리로 모델링
호를 초로 바꾸기
출발선 위의 순간 찾기
각 촬영 구간 칠하기
두 구간 겹치기
나눠서 확률 구하기