AMC 10 · 2009 · #23
학년 7 probability레이철과 로버트가 원형 트랙에서 달린다. 레이철은 시계 반대 방향으로 달리며 90초마다 한 바퀴를 완주하고, 로버트는 시계 방향으로 달리며 80초마다 한 바퀴를 완주한다. 두 사람은 같은 출발선에서 동시에 출발한다. 두 사람이 달리기 시작한 뒤 10분에서 11분 사이의 임의의 어느 순간에, 트랙 안쪽에 서 있는 사진사가 출발선을 중심으로 트랙의 4분의 1이 나오도록 사진을 찍는다. 레이철과 로버트가 모두 사진에 나올 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 사람이 같은 출발선에서 동시에 원형 트랙을 돕니다. 레이철 은 반시계 방향으로 한 바퀴에 $90$ 초, 로버트 는 시계 방향으로 한 바퀴에 $80$ 초 걸립니다. $600$ 초와 $660$ 초 사이의 임의의 순간에, 출발선을 중심으로 트랙의 $\tfrac14$ 을 담은 사진을 찍습니다. 두 사람이 모두 사진에 들어갈 확률을 구합니다.
주어진 것: 레이철: 반시계 방향, 한 바퀴에 $90$ 초; 로버트: 시계 방향, 한 바퀴에 $80$ 초; 둘 다 시각 $0$ 에 출발선에서 함께 출발; 사진은 트랙의 $\tfrac14$ 을 담고 출발선이 중심이므로, 출발선 양쪽으로 각각 한 바퀴의 $\tfrac18$ 까지 담긴다; 촬영 시각은 $10$ 분($600$ 초)부터 $11$ 분($660$ 초)까지 균등하게 무작위; 선택지: (A) $\tfrac1{16}$, (B) $\tfrac18$, (C) $\tfrac{3}{16}$, (D) $\tfrac14$, (E) $\tfrac{5}{16}$
구하는 것: 선택한 순간에 레이철 과 로버트 가 모두 사진 속 호 안에 있을 확률
이해
문제 재정리: 두 사람이 같은 출발선에서 동시에 원형 트랙을 돕니다. 레이철 은 반시계 방향으로 한 바퀴에 $90$ 초, 로버트 는 시계 방향으로 한 바퀴에 $80$ 초 걸립니다. $600$ 초와 $660$ 초 사이의 임의의 순간에, 출발선을 중심으로 트랙의 $\tfrac14$ 을 담은 사진을 찍습니다. 두 사람이 모두 사진에 들어갈 확률을 구합니다.
주어진 것: 레이철: 반시계 방향, 한 바퀴에 $90$ 초; 로버트: 시계 방향, 한 바퀴에 $80$ 초; 둘 다 시각 $0$ 에 출발선에서 함께 출발; 사진은 트랙의 $\tfrac14$ 을 담고 출발선이 중심이므로, 출발선 양쪽으로 각각 한 바퀴의 $\tfrac18$ 까지 담긴다; 촬영 시각은 $10$ 분($600$ 초)부터 $11$ 분($660$ 초)까지 균등하게 무작위; 선택지: (A) $\tfrac1{16}$, (B) $\tfrac18$, (C) $\tfrac{3}{16}$, (D) $\tfrac14$, (E) $\tfrac{5}{16}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #8 단위 살펴보기, #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기
도구 #1(그림 그리기) 이 뼈대이다. 트랙을 모델링해 '사진에 들어감' 을 '출발선에서 $\tfrac18$ 바퀴 이내' 로 바꾸고, $600$ 초부터 $660$ 초까지의 타임라인에 각 주자의 촬영 구간을 칠한다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 각 주자의 한 바퀴 시간을 이용해 호($\tfrac18$ 바퀴) 를 초 단위로 바꾼다 — 바퀴의 일정 비율은 일정한 초에 대응하기 때문. 도구 #5(패턴 찾기) 는 목표 분(分) 안에서 각 주자가 출발선에 있는 순간을 찾는다 — 레이철 은 $90$ 초마다, 로버트 는 $80$ 초마다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 '레이철 의 구간', '로버트 의 구간', '겹치는 구간' 으로 나눠, 마지막에 겹친 길이를 $60$ 으로 나누면 된다.
실행 — 정답: C
5.NF.B.4 단계 1 사진을 거리로 모델링
- 위치를 한 바퀴의 분수로 재자.
- 사진은 트랙의 $\tfrac14$ 을 담고 출발선이 중심이므로 양쪽으로 똑같이 뻗는다: 한쪽당 $\tfrac14 \times \tfrac12 = \tfrac18$ 바퀴.
- 주자가 사진에 들어가는 것은 방향과 무관하게 출발선에서 한 바퀴의 $\tfrac18$ 이내에 있을 때뿐이다.
💡 출발선을 사분의 일의 중심에 두면 그 절반, 즉 팔분의 일 바퀴가 양쪽으로 넘친다.
6.RP.A.3 단계 2 호를 초로 바꾸기
- 각 주자는 한 바퀴를 일정한 시간에 돌므로, $\tfrac18$ 바퀴는 한 바퀴 시간의 $\tfrac18$ 이 걸린다.
- 레이철: $\tfrac18 \times 90 = 11.25$ 초.
- 로버트: $\tfrac18 \times 80 = 10$ 초.
- 따라서 레이철 은 출발선을 지나기 전후 $11.25$ 초 동안, 로버트 는 전후 $10$ 초 동안 사진에 들어간다.
💡 일정한 속도의 주자는 같은 길이의 트랙에 같은 길이의 시간을 쓴다.
4.OA.B.4 단계 3 출발선 위의 순간 찾기
- 주자가 출발선에 있는 것은 경과 시간이 자신의 바퀴 수의 정수배일 때다.
- 레이철 은 $90$ 초의 배수에서 출발선에 있다: $\ldots, 540, 630, 720, \ldots$; $[600,660]$ 안에는 $630$ 초($7$ 번째 바퀴)만 들어간다.
- 로버트 는 $80$ 초의 배수에서 있다: $\ldots, 560, 640, 720, \ldots$; $[600,660]$ 안에는 $640$ 초($8$ 번째 바퀴)만 들어간다.
💡 정수 바퀴를 정확히 돌았을 때 다시 출발선으로 돌아온다.
5.NBT.B.7 단계 4 각 촬영 구간 칠하기
- 각 주자의 반폭을 그 통과 시각에 붙이자.
- 레이철 은 $630 - 11.25 = 618.75$ 초부터 $630 + 11.25 = 641.25$ 초까지 사진에 있다.
- 로버트 는 $640 - 10 = 630$ 초부터 $640 + 10 = 650$ 초까지 있다.
- $600$ 초부터 $660$ 초까지의 타임라인에 두 개의 칠한 막대로 그린다.
💡 각 구간은 그 통과 시각에 자기 반폭을 더하고 뺀 것일 뿐이다.
7.NS.A.1 단계 5 두 구간 겹치기
- 두 사람이 모두 사진에 드는 것은 막대가 겹치는 곳뿐이다: 더 늦은 시작 $\max(618.75, 630) = 630$ 초부터 더 이른 끝 $\min(641.25, 650) = 641.25$ 초까지.
- 겹치는 구간은 $630$ 초부터 $641.25$ 초까지, 길이는 $641.25 - 630 = 11.25$ 초.
💡 두 칠한 막대는 가장 늦은 시작과 가장 이른 끝 사이에서만 겹친다.
7.SP.C.7 단계 6 나눠서 확률 구하기
- 촬영 시각은 $60$ 초의 한 분(分) 위에 균등하므로, 확률은 유리한 길이를 전체 길이로 나눈 값이다: $\tfrac{11.25}{60} = \tfrac{3}{16}$.
- 레이철 과 로버트 가 모두 사진에 들 확률은 $\tfrac{3}{16}$, 선택지 (C).
💡 균등하게 무작위인 시각에서는 확률이 좋은 조각을 전체 조각으로 나눈 것일 뿐이다.
5.NF.B.4 위치를 한 바퀴의 분수로 재자. 사진은 트랙의 $\tfrac14$ 을 담고 출발선이 중심이므로 양쪽으로 똑같이 뻗는다: 한쪽당 $\tfrac14 6.RP.A.3 각 주자는 한 바퀴를 일정한 시간에 돌므로, $\tfrac18$ 바퀴는 한 바퀴 시간의 $\tfrac18$ 이 걸린다. 레이철: $\tfrac1 4.OA.B.4 주자가 출발선에 있는 것은 경과 시간이 자신의 바퀴 수의 정수배일 때다. 레이철 은 $90$ 초의 배수에서 출발선에 있다: $\ldots, 54 5.NBT.B.7 각 주자의 반폭을 그 통과 시각에 붙이자. 레이철 은 $630 - 11.25 = 618.75$ 초부터 $630 + 11.25 = 641.25$ 7.NS.A.1 두 사람이 모두 사진에 드는 것은 막대가 겹치는 곳뿐이다: 더 늦은 시작 $\max(618.75, 630) = 630$ 초부터 더 이른 끝 $\ 7.SP.C.7 촬영 시각은 $60$ 초의 한 분(分) 위에 균등하므로, 확률은 유리한 길이를 전체 길이로 나눈 값이다: $\tfrac{11.25}{60} = 검토
합리성 확인: 모든 단계가 시계와 맞는다. 레이철 은 실제로 $630$ 초($7 \times 90$), 로버트 는 $640$ 초($8 \times 80$) 에 출발선을 지나며 둘 다 목표 분 안에 있다. 각자의 구간 $\pm 11.25$ 초와 $\pm 10$ 초는 정확히 팔분의 일 바퀴 호이다. 겹치는 구간 $[630, 641.25]$ 의 길이는 $11.25$ 초이고, $11.25/60 = 0.1875 = 3/16$ 로 선택지에 딱 떨어진다. 겹친 구간($11.25$ 초) 이 각각의 구간($22.5$ 초, $20$ 초) 보다 자연스럽게 작으므로, 두 사건이 동시에 일어날 확률이 각각보다 낮은 것도 합리적이다. 답 $\tfrac{3}{16}$ 은 선택지 (C).
대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기): $t$ 를 $600$ 초 이후의 초로 두고 $0 \le t \le 60$. 레이철 의 조건은 $|t - 30| \le 11.25$ (통과 시각 $t = 30$) 이므로 $18.75 \le t \le 41.25$; 로버트 의 조건은 $|t - 40| \le 10$ 이므로 $30 \le t \le 50$. 두 부등식을 교집합하면 $30 \le t \le 41.25$, 길이 $11.25$, 이를 $60$ 으로 나눈다. 타임라인 그림 대신 절댓값 부등식으로 같은 $\tfrac{3}{16}$ 에 도달.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.B.4자연수의 약수쌍 찾기와 배수 인식하기 (각 주자가 출발선에 있는 순간 찾기 — $[600,660]$ 안에 드는 $90$ 의 배수(레이철) 와 $80$ 의 배수(로버트).)5.NF.B.4분수와 분수 또는 자연수의 곱셈 (사분의 일 트랙 사진을 출발선 양쪽으로 $\tfrac14 \times \tfrac12 = \tfrac18$ 바퀴씩 나누기.)5.NBT.B.7소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (백분위까지) (촬영 구간 $630 \pm 11.25$ 와 $640 \pm 10$ 을 만들어 끝점 $618.75$, $641.25$, $630$, $650$ 구하기.)6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실생활 문제 해결하기 (각 주자의 한 바퀴 시간으로 $\tfrac18$ 바퀴를 초로 바꾸기: $\tfrac{90}{8} = 11.25$ 초, $\tfrac{80}{8} = 10$ 초.)7.NS.A.1수직선에서 유리수의 덧셈과 뺄셈 (타임라인에서 두 시간 구간을 교집합하고 겹친 길이 $641.25 - 630 = 11.25$ 초 재기.)7.SP.C.7균등 확률 모델을 세우고 확률 구하기 (균등하게 무작위인 촬영 시각을 확률 $= \tfrac{11.25}{60} = \tfrac{3}{16}$ 로 바꾸기.)
⭐ '사진 안'을 '출발선에서 팔분의 일 바퀴 이내'로 바꾸고, 그 호를 각 주자의 초로 환산해, 두 시간 구간을 타임라인에 칠한 뒤 겹치는 부분($60$ 초 중 $11.25$ 초)이 곧 확률: (C) $\tfrac{3}{16}$.
⭐ '사진 안'을 '출발선에서 팔분의 일 바퀴 이내'로 바꾸고, 그 호를 각 주자의 초로 환산해, 두 시간 구간을 타임라인에 칠한 뒤 겹치는 부분($60$ 초 중 $11.25$ 초)이 곧 확률: (C) $\tfrac{3}{16}$.
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