AMC 10 · 2009 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

angle-sum-triangleisosceles-trianglesupplementary-angles physical-representation ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

쐐기돌 아치는 고대 건축 양식의 한 요소이다. 이것은 그림과 같이 합동인 이등변사다리꼴들을 평행하지 않은 변끼리 맞붙여서 만든다. 양 끝에 있는 두 사다리꼴의 아랫변은 수평이다. $9$ 개의 사다리꼴로 만든 아치에서, 사다리꼴의 더 큰 내각의 크기를 도 단위로 나타낸 것을 $x$ 라 하자. $x$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

102

(C)

104

(D)

106

(E)

108

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 쐐기돌 아치는 합동인 이등변사다리꼴 $9$개를 빗변(다리)끼리 이어 붙여 만든다. 이 조각들은 한쪽 땅에서 시작해 위로 휘어 올라갔다가 반대쪽 땅으로 내려온다. 양 끝 사다리꼴의 아랫변은 바닥에 평평하게 놓인다. 각 사다리꼴에는 크기가 같은 큰 내각 두 개와 크기가 같은 작은 내각 두 개가 있다. 큰 내각의 크기 $x$를 도(°) 단위로 구하여라.

주어진 것: 아치는 합동인 이등변사다리꼴 $9$개를 서로의 다리(평행하지 않은 변)끼리 이어 붙여 만든다.; 양 끝 사다리꼴의 아랫변이 수평이므로 아치는 양쪽 끝에서 평평한 바닥으로부터 솟아오른다.; 이등변사다리꼴에서 더 긴 평행변에 붙은 두 각은 서로 같고(작은 각 쌍), 더 짧은 평행변에 붙은 두 각도 서로 같다(큰 각 쌍).; 선택지: (A) $100$, (B) $102$, (C) $104$, (D) $106$, (E) $108$.

구하는 것: $x$, 사다리꼴의 큰 내각의 크기(도).

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #7 작은 문제로 쪼개기

그림 속에 깔끔한 삼각형이 숨어 있다. 모든 사다리꼴의 두 다리를 연장하면(도구 #1, 보조선 긋기), 대칭성 때문에 그 연장선들이 모두 바닥 선 한가운데의 한 점 $O$에서 만나고, 각 사다리꼴은 꼭짓점이 $O$에서 잘려 나간 얇은 삼각형이 된다. 도구 #17(공간 상상하기)로 보면 $9$개의 꼭짓점 삼각형이 바닥 위 반 바퀴를 빈틈없이 채우므로 각 꼭짓각은 $180^\circ$의 균등한 몫이다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 가지 쉬운 사실을 연결한다: 꼭짓각 $\to$ 이등변인 꼭짓점 삼각형의 밑각 $\to$ 동측내각 규칙으로 사다리꼴의 큰 각.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

다리를 연장해 한 점에서 만나게 하기

사다리꼴 하나를 골라 두 빗변(다리)을 바깥쪽으로 그어 만날 때까지 연장한다.
이것을 모든 사다리꼴에 대해 한다.
이웃한 두 사다리꼴은 공유하는 다리를 축으로 서로 거울상이므로, 바깥쪽 두 다리는 그 공유 다리의 연장선 위 같은 지점에서 만난다.
$9$개 조각 전체에 이를 반복하면 모든 다리의 연장선이 한 공통점 $O$를 지나고, $O$는 바닥 선 한가운데에 놓인다.
이제 각 사다리꼴은 꼭짓점이 $O$에 있는 삼각형의 윗부분 조각이다.

$$\text{모든 다리 연장} \;\Rightarrow\; \text{바닥 선 위의 공통 꼭짓점 } O$$

💡 빗변을 만날 때까지 이으면 각 사다리꼴이 재기 쉬운 삼각형으로 바뀐다.

#17 공간 상상하기 4.MD.C.7 단계 2

반 바퀴를 9개 꼭짓각이 나누기

아치는 바닥에서 평평하게 시작해 위로 올라갔다가 반대쪽에서 다시 평평하게 내려온다.
평평한 왼쪽 끝에서 평평한 오른쪽 끝까지 가는 것은 반 바퀴, 즉 $180^\circ$이다.
$O$에 모인 $9$개의 꼭짓각이 나란히 붙어 이 반 바퀴를 통째로 채운다.
사다리꼴들이 합동이므로 꼭짓각들은 모두 같고, 따라서 각각은 $180^\circ$를 $9$로 나눈 값이다.

$$9 \times (\text{꼭짓각}) = 180^\circ \;\Rightarrow\; \text{꼭짓각} = \dfrac{180^\circ}{9} = 20^\circ$$

💡 똑같은 아홉 조각이 직선이 만드는 반 바퀴를 메우므로 한 조각은 그 $9$분의 $1$이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

사다리꼴의 작은 각 구하기

$O$에 있는 꼭짓점 삼각형 하나를 보자.
두 긴 변은 연장한 다리이고 길이가 같으므로 이 삼각형은 이등변이다.
세 각의 합은 $180^\circ$이다.
꼭짓각이 $20^\circ$이므로 크기가 같은 두 밑각이 남은 $160^\circ$를 나눠 각각 $80^\circ$가 된다.
사다리꼴의 아랫변은 이 삼각형의 밑변 위에 놓이므로, 사다리꼴이 더 긴 평행변에서 이루는 각은 삼각형의 밑각과 같다.
즉 사다리꼴의 작은 내각은 $80^\circ$이다.

$$\dfrac{180^\circ - 20^\circ}{2} = \dfrac{160^\circ}{2} = 80^\circ$$

💡 삼각형의 세 각 합은 $180^\circ$이므로 꼭짓각이 정해지면 같은 두 밑각도 저절로 정해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 4

작은 각을 큰 각으로 바꾸기

사다리꼴 안에서 한 다리는 두 평행변과 만난다.
작은 각($80^\circ$)과 큰 각 $x$는 같은 다리 위에 각 평행변마다 하나씩 놓이므로, 두 평행변 사이의 동측내각이며 그 합은 $180^\circ$이다.
따라서 $x = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$이다.
그러므로 큰 내각은 $100^\circ$이고, 이는 선택지 (A)이다.

$$x = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 한 다리를 따라 사다리꼴의 두 각이 평행변 사이의 직선을 메우므로 그 합은 반드시 $180^\circ$이다.

[1] #1 4.G.A.1 사다리꼴 하나를 골라 두 빗변(다리)을 바깥쪽으로 그어 만날 때까지 연장한다. 이것을 모든 사다리꼴에 대해 한다. 이웃한 두 사다리꼴은 공유하는

[2] #17 4.MD.C.7 아치는 바닥에서 평평하게 시작해 위로 올라갔다가 반대쪽에서 다시 평평하게 내려온다. 평평한 왼쪽 끝에서 평평한 오른쪽 끝까지 가는 것은 반 바퀴

[3] #7 8.G.A.5 $O$에 있는 꼭짓점 삼각형 하나를 보자. 두 긴 변은 연장한 다리이고 길이가 같으므로 이 삼각형은 이등변이다. 세 각의 합은 $180^\cir

[4] #7 7.G.B.5 사다리꼴 안에서 한 다리는 두 평행변과 만난다. 작은 각($80^\circ$)과 큰 각 $x$는 같은 다리 위에 각 평행변마다 하나씩 놓이므로,

검토

합리성 확인: 간단한 점검: 이등변사다리꼴의 작은 각과 큰 각은 각 다리를 따라 합이 $180^\circ$여야 하는데 $80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$로 맞다. 조각들이 아주 조금만 기울어져 있으므로 큰 각은 직각보다 약간 커야 하는데, $100^\circ$는 $90^\circ$를 조금 넘겨 완만하게 휘는 아치와 맞아떨어진다. 만약 큰 각이 $108^\circ$라면 작은 각은 $72^\circ$가 되고 꼭짓각은 $180^\circ - 2(72^\circ) = 36^\circ$가 되어 반원에 $180^\circ / 36^\circ = 5$개만 들어가므로 $9$개가 안 된다. $9$개 사다리꼴에 맞는 것은 선택지 (A)뿐이다.

대안 접근: 꼭짓점 삼각형 대신 다각형을 만들 수도 있다. 아치를 바닥 선에 대해 대칭시켜 완전한 고리로 만들거나, 아치를 바닥으로 닫아 큰 다각형을 만든 뒤 다각형 내각의 합을 이용한다. 모든 사다리꼴 각과 바닥 각의 합을 그 내각 합과 같게 놓으면 같은 식이 나오고, 다시 작은 각 $80^\circ$와 큰 각 $x = 100^\circ$를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 점, 직선, 선분, 반직선, 각을 그리고 도형에서 식별하기 (보조선 긋기: 각 사다리꼴의 다리를 공통점 $O$에서 만날 때까지 연장하기.)
4.MD.C.7 각의 크기가 덧셈적임을 이해하고 덧셈·뺄셈 문제 풀기 ($O$에 모인 $9$개의 같은 꼭짓각이 $180^\circ$ 반 바퀴를 이룬다고 보아 각 꼭짓각 $= 180^\circ/9 = 20^\circ$를 구하기.)
8.G.A.5 비형식적 논증으로 각의 합과 외각에 관한 사실 세우기 (이등변인 꼭짓점 삼각형에 삼각형 내각 합을 써서 같은 두 밑각 $(180^\circ-20^\circ)/2 = 80^\circ$ 구하기.)
7.G.B.5 보각과 이웃각에 관한 사실로 미지의 각 구하기 (한 다리를 따라 놓인 동측내각($80^\circ + x = 180^\circ$)을 이용해 큰 각 $x = 100^\circ$ 구하기.)

⭐ 기울어진 변들을 한 중심점에서 만날 때까지 이어 $180^\circ$ 반 바퀴를 아홉 조각이 나눠 가지면, 나머지는 삼각형과 직선의 각 계산일 뿐이다.