AMC 10 · 2009 · #24
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
그림 속에 깔끔한 삼각형이 숨어 있다. 모든 사다리꼴의 두 다리를 연장하면(도구 #1, 보조선 긋기), 대칭성 때문에 그 연장선들이 모두 바닥 선 한가운데의 한 점 O에서 만나고, 각 사다리꼴은 꼭짓점이 O에서 잘려 나간 얇은 삼각형이 된다. 도구 #17(공간 상상하기)로 보면 9개의 꼭짓점 삼각형이 바닥 위 반 바퀴를 빈틈없이 채우므로 각 꼭짓각은 180°의 균등한 몫이다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 가지 쉬운 사실을 연결한다: 꼭짓각 → 이등변인 꼭짓점 삼각형의 밑각 → 동측내각 규칙으로 사다리꼴의 큰 각.
다리를 연장해 한 점에서 만나게 하기
모든 사다리꼴의 다리를 바깥으로 연장하면, 거울 대칭 덕분에 연장선이 바닥 한가운데 한 점 O에서 모두 만난다.
빗변을 만날 때까지 이으면 각 사다리꼴이 재기 쉬운 삼각형으로 바뀐다.
4.G.A.1Draw A Diagram반 바퀴를 9개 꼭짓각이 나누기
아치는 평평한 바닥에서 바닥까지 반 바퀴, 즉 180°를 돌고, O에 모인 같은 꼭짓각 9개가 이를 똑같이 나눠 각각 20°이다.
똑같은 아홉 조각이 직선이 만드는 반 바퀴를 메우므로 한 조각은 그 9분의 1이다.
4.MD.C.7Visualize Spatial Relationships사다리꼴의 작은 각 구하기
O의 꼭짓점 삼각형은 이등변이라 남은 160°를 두 밑각이 나눠 갖고, 사다리꼴의 작은 각은 80°이다.
삼각형의 세 각 합은 180°이므로 꼭짓각이 정해지면 같은 두 밑각도 저절로 정해진다.
8.G.A.5Identify Subproblems작은 각을 큰 각으로 바꾸기
한 다리 위의 작은 각과 큰 각은 동측내각이라 합이 180°, 따라서 x = 180° - 80° = 100°이고 선택지 (A)이다.
한 다리를 따라 사다리꼴의 두 각이 평행변 사이의 직선을 메우므로 그 합은 반드시 180°이다.
한 다리를 따라 두 각이 평행한 두 변 사이의 직선을 채우므로, 그 합은 평각이다.
▸ 왜?
평행한 두 직선을 가로지르는 직선은 양쪽과 대응하는 각을 이루며, 그것이 그 다리의 양 끝을 짝짓는다.
▸ 왜?
직선의 한쪽을 채우는 각의 합은 언제나 평각이다.
기울어진 변들을 한 중심점에서 만날 때까지 이어 180° 반 바퀴를 아홉 조각이 나눠 가지면, 나머지는 삼각형과 직선의 각 계산일 뿐이다.
- 다리를 연장해 한 점에서 만나게 하기
- 반 바퀴를 9개 꼭짓각이 나누기
- 사다리꼴의 작은 각 구하기
- 작은 각을 큰 각으로 바꾸기