AMC 10 · 2009 · #25
학년 7 probabilitygeometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제의 핵심은 감는 줄무늬가 실제로 무엇인지 3차원으로 보는 데 있다. 그것은 마주 보는 한 쌍을 건너뛰고 정육면체를 감싸는 4개 면의 띠다. 도구 #17(공간 상상하기)은 그 심상을 떠올리고, 왜 두 띠가 동시에 닫힐 수 없는지 알아채는 열쇠다. 도구 #1(그림 그리기)은 '이 면의 줄무늬는 이 방향이어야 한다'가 구체적으로 남도록 정육면체 스케치를 붙잡아 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 (i) 고른 띠 하나가 닫힐 확률, 그다음 (ii) 세 띠를 합치기로 나눈다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 표본공간의 크기(2⁶ = 64)를 못 박고, 유리한 경우의 수(64 중 12)라는 깔끔한 교차 확인도 준다.
똑같은 확률의 결과 모두 세기
6개 면이 각각 독립적으로 2가지 방향 중 하나를 가지므로 전체 패턴은 2⁶ = 64가지이고 모두 똑같은 확률이다.
독립적인 두 갈래 선택 여섯 번이 곱해져 똑같은 확률의 정육면체 64개짜리 표본공간이 된다.
7.SP.C.8Make A Systematic List감는 줄무늬를 띠로 그리기
감는 고리는 4개 면을 띠처럼 지나고 마주 보는 한 쌍은 건너뛴다. 그런 쌍이 셋이므로 띠도 정확히 3개다.
정육면체를 감는 띠는 늘 마주 보는 한 쌍을 건너뛰고, 그런 쌍은 세 개뿐이다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships고른 띠 하나가 닫힐 확률
띠 하나를 고정하면 그 4개 면이 모두 띠를 따르는 방향이어야 하므로 닫힐 확률은 (1/2)⁴ = 1/16이다.
네 면이 각자 '나란한' 한쪽에 맞아야 하고, 1/2을 네 번 곱하면 1/16이다.
7.SP.C.8Identify Subproblems띠들은 겹칠 수 없다
어느 두 띠도 방향이 서로 충돌하는 면을 공유하므로 최대 하나만 닫힌다. 세 사건은 서로 배반이다.
공유하는 면은 한 방향만 가리킬 수 있으니, 한 정육면체에서 띠는 최대 하나만 닫힌다.
공유된 면은 한 방향만 가리킬 수 있으므로, 한 정육면체에서 닫히는 띠는 많아야 하나다.
▸ 왜?
어떤 면이 한 띠에 매이면, 그 면을 지나는 다른 띠는 선택의 여지 없이 배제된다.
▸ 왜?
따라서 세 띠는 함께 일어나지 않으므로, 확률이 그냥 더해진다.
배반인 세 띠를 더하기
배반이므로 그냥 더하면 3 × 1/16 = 3/16이고, 직접 센 64 중 12와도 맞는다. 답은 (B)다.
배반 사건은 그냥 더하면 되고, 깔끔한 12/64 개수가 3/16을 확인해 준다.
6.RP.A.3Identify Subproblems정육면체를 한 바퀴 감는 줄무늬는 위아래 한 쌍을 건너뛰는 4개 면의 띠일 뿐이다. 그런 띠는 3개이고 각각 (1/2)⁴ = 1/16의 확률로 닫히며, 두 띠는 절대 동시에 닫힐 수 없으니 더하면 된다: 3 × 1/16 = 3/16, 보기 (B).
- 똑같은 확률의 결과 모두 세기
- 감는 줄무늬를 띠로 그리기
- 고른 띠 하나가 닫힐 확률
- 띠들은 겹칠 수 없다
- 배반인 세 띠를 더하기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
