AMC 10 · 2009 · #5

학년 7 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

percentagefraction-arithmeticlinear-equations-one-var work-backwards ↑ 선수 지식: percentage

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

60보다 20% 작은 수는 어떤 수보다 그 수의 3분의 1만큼 큰 수와 같다. 이때 어떤 수는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 16$

(B)

$\ 30$

(C)

$\ 32$

(D)

$\ 36$

(E)

$\ 48$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 먼저 '60보다 20% 작은 수'가 얼마인지 구한다. 그 값이 어떤 숨은 수보다 '3분의 1만큼 큰 수'라고 한다. 그 숨은 수를 찾아라.

주어진 것: 시작하는 값은 60이다.; '60보다 20% 작은 수'는 바로 계산할 수 있는 하나의 값이다.; 그 값은 어떤 미지수보다 '3분의 1만큼 큰 수'와 같다.

구하는 것: 그 수보다 '3분의 1만큼 큰 값'이 60보다 20% 작은 수와 같아지는 미지수 n.

이해

문제 재정리: 먼저 '60보다 20% 작은 수'가 얼마인지 구한다. 그 값이 어떤 숨은 수보다 '3분의 1만큼 큰 수'라고 한다. 그 숨은 수를 찾아라.

주어진 것: 시작하는 값은 60이다.; '60보다 20% 작은 수'는 바로 계산할 수 있는 하나의 값이다.; 그 값은 어떤 미지수보다 '3분의 1만큼 큰 수'와 같다.

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

문장은 왼쪽에 완성된 값을 주고 오른쪽의 처음 수를 묻는다. 그러니 왼쪽 값을 먼저 계산한 뒤, '3분의 1만큼 큰 수' 단계를 되돌려서 원래 수로 거슬러 올라가는 것이 자연스럽다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 1

60보다 20% 작은 수 구하기

문장을 두 부분으로 나눈다.
왼쪽 부분은 단순 계산이다.
60의 20%는 12이고, '작은'은 그것을 60에서 빼라는 뜻이다.

$$60 - 0.20 \times 60 = 60 - 12 = 48$$

💡 '몇 퍼센트 작은'은 그만큼을 전체에서 덜어내는 것이지 더하는 것이 아니다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 2

'n보다 3분의 1만큼 큰 수' 세우기

숨은 수를 n이라 하자.
'n보다 3분의 1만큼 큰 수'는 n에서 시작해 n의 3분의 1을 더한 것이고, 이는 n의 3분의 4가 된다.
이것이 왼쪽에서 구한 48과 같아야 한다.

$$n + \frac{1}{3}n = \frac{4}{3}n = 48$$

💡 '3분의 1만큼 큰'은 그 수를 자기 자신의 3분의 4로 키우는 것이지 3분의 1로 만드는 것이 아니다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 3

곱셈을 되돌려 n 찾기

n의 3분의 4가 48이므로, 곱셈을 거꾸로 되돌린다.
48을 3분의 4로 나누는 것은 48에 4분의 3을 곱하는 것과 같다.
그러면 n = 36, 즉 보기 (D)이다.

$$n = 48 \div \frac{4}{3} = 48 \times \frac{3}{4} = 36$$

💡 키워진 값에서 원래 값을 찾으려면 곱했던 배수로 나누면 된다.

[1] #7 7.RP.A.3 문장을 두 부분으로 나눈다. 왼쪽 부분은 단순 계산이다. 60의 20%는 12이고, '작은'은 그것을 60에서 빼라는 뜻이다.

[2] #4 7.RP.A.3 숨은 수를 n이라 하자. 'n보다 3분의 1만큼 큰 수'는 n에서 시작해 n의 3분의 1을 더한 것이고, 이는 n의 3분의 4가 된다. 이것이

[3] #11 6.EE.B.7 n의 3분의 4가 48이므로, 곱셈을 거꾸로 되돌린다. 48을 3분의 4로 나누는 것은 48에 4분의 3을 곱하는 것과 같다. 그러면 n = 3

검토

합리성 확인: 정답을 앞으로 확인해 보자. 36보다 3분의 1만큼 큰 수는 36 + 12 = 48이고, 60보다 20% 작은 수도 48이다. 양쪽이 일치하므로 36이 맞다. 흔한 함정은 48의 3분의 1을 구해 16(보기 A)을 고르는 것인데, 이는 '만큼 큰'을 '의'로 잘못 읽은 것이다.

대안 접근: 식 하나로 바로 세울 수도 있다. (4/3)n = (4/5)(60). 오른쪽을 48로 정리하고 n = 48 × 3/4 = 36을 얻는다. 같은 답을 한 줄로 구한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems ('60보다 20% 작은 수'를 48로, 'n보다 3분의 1만큼 큰 수'를 n의 3분의 4로 읽어내기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ((4/3)n = 48을 풀어 미지수 n 구하기.)

⭐ '3분의 1만큼 크다'는 것은 3분의 4를 곱한 것이니, 되돌아가려면 3분의 4로 나누면 된다.