AMC 10 · 2009 · #8

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

percentagefraction-multiplicationlinear-equations-one-var work-backwards ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어느 해에 휘발유 가격이 1월에 $20\%$ 오르고, 2월에 $20\%$ 내리고, 3월에 $25\%$ 오르고, 4월에 $x\%$ 내렸다. 4월 말의 휘발유 가격은 1월 초의 가격과 같았다. $x$ 를 가장 가까운 정수로 나타내면 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 12$

(B)

$\ 17$

(C)

$\ 20$

(D)

$\ 25$

(E)

$\ 35$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 휘발유 가격이 1월에 20% 오르고, 2월에 20% 내리고, 3월에 25% 오르고, 4월에 x% 내렸다. 4월 말 가격은 1월 초 가격과 정확히 같아졌다. x를 가장 가까운 정수로 구하여라.

주어진 것: 1월 변화: 20% 상승.; 2월 변화: 20% 하락.; 3월 변화: 25% 상승.; 4월 변화: x% 하락(미지수).; 4월 말 가격은 1월 초 가격과 같다.

구하는 것: 4월의 하락률 x, 가장 가까운 정수로.

이해

주어진 것: 1월 변화: 20% 상승.; 2월 변화: 20% 하락.; 3월 변화: 25% 상승.; 4월 변화: x% 하락(미지수).; 4월 말 가격은 1월 초 가격과 같다.

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

끝 가격이 시작 가격에 고정되어 있고, 4월의 하락만이 유일한 미지수다. 그러니 3월까지는 앞으로 계산하고, 고정된 끝 값에서 거꾸로 거슬러 올라가 4월이 만들어야 할 하락을 구한다. 시작 가격을 편리하게 100으로 잡으면 모든 퍼센트가 쉬운 곱셈이 된다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.RP.A.3 단계 1

시작 가격을 100으로 잡기

퍼센트 변화만 중요하므로 실제 시작 가격은 답을 바꾸지 않는다.
1월 초 가격을 100달러로 잡으면 각 퍼센트가 깔끔한 수가 된다.

$$P_0 = 100$$

💡 퍼센트로 나오는 답은 시작 금액과 무관하니, 계산이 가장 쉬운 금액을 고른다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 2

1월과 2월 적용하기

20% 상승은 1.20을 곱하고, 20% 하락은 0.80을 곱한다.
순서대로 한다.
이 둘을 거치고 나면 가격이 100으로 돌아오지 않는데, 20% 하락이 100이 아니라 더 커진 120에서 덜어지기 때문이다.

$$100 \times 1.20 = 120,\quad 120 \times 0.80 = 96$$

💡 20% 올랐다가 20% 내리면 손해인데, 내림이 올라간 가격의 더 큰 몫이기 때문이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 3

3월 적용하기

25% 상승은 1.25를 곱한다.
2월 말 가격 96에 적용해 3월 말 가격을 얻는다.

$$96 \times 1.25 = 120$$

💡 1.25를 곱하면 현재 가격의 4분의 1을 위에 더하는 것이다.

#11 거꾸로 풀기 7.RP.A.3 단계 4

거꾸로 풀어 4월의 하락 구하기

4월은 가격을 120에서 원래의 100으로 다시 내려야 한다.
잃는 금액은 120 - 100 = 20달러이고, 이 손실은 4월의 시작 가격 120을 기준으로 잰다.
따라서 x 퍼센트는 120 중 20이다.

$$x = \frac{120 - 100}{120} \times 100 = \frac{20}{120} \times 100 = 16.\overline{6}$$

💡 퍼센트 하락은 언제나 내려가기 직전의 가격을 기준으로 재며, 여기서는 100이 아니라 120이다.

#11 거꾸로 풀기 5.NBT.A.4 단계 5

가장 가까운 정수로 반올림하기

16.67은 17로 반올림된다.
그러므로 가장 가까운 정수로 x는 17, 즉 보기 (B)이다.

$$16.\overline{6} \approx 17$$

💡 소수 부분이 0.5보다 크면 다음 정수로 올림한다.

[1] #9 7.RP.A.3 퍼센트 변화만 중요하므로 실제 시작 가격은 답을 바꾸지 않는다. 1월 초 가격을 100달러로 잡으면 각 퍼센트가 깔끔한 수가 된다.

[2] #7 7.RP.A.3 20% 상승은 1.20을 곱하고, 20% 하락은 0.80을 곱한다. 순서대로 한다. 이 둘을 거치고 나면 가격이 100으로 돌아오지 않는데, 2

[3] #7 7.RP.A.3 25% 상승은 1.25를 곱한다. 2월 말 가격 96에 적용해 3월 말 가격을 얻는다.

[4] #11 7.RP.A.3 4월은 가격을 120에서 원래의 100으로 다시 내려야 한다. 잃는 금액은 120 - 100 = 20달러이고, 이 손실은 4월의 시작 가격 12

[5] #11 5.NBT.A.4 16.67은 17로 반올림된다. 그러므로 가장 가까운 정수로 x는 17, 즉 보기 (B)이다.

검토

합리성 확인: 앞으로 확인해 보자. 120을 17% 내리면 120 - 0.17 * 120 = 120 - 20.4 = 99.6으로, 목표인 100에 매우 가깝다. 이는 x가 17(보기 B) 근처임을 확인해 준다. 흔한 오답은 20(보기 C)인데, 20달러 하락을 4월의 실제 시작 가격 120이 아니라 원래의 100을 기준으로 쟀기 때문이다.

대안 접근: 시작 가격을 P로 두고 식 하나로 세운다. P * 1.20 * 0.80 * 1.25 * (1 - x/100) = P. 곱 1.20 * 0.80 * 1.25 = 1.20이므로 1.20 * (1 - x/100) = 1, 즉 1 - x/100 = 5/6, x = 100/6 = 16.67, 역시 17이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems (각 달의 퍼센트 변화를 올바른 기준에 적용하고, 4월의 하락률을 120 중 20으로 계산하기.)
5.NBT.A.4 Use place value understanding to round decimals to any place (16.67을 가장 가까운 정수 17로 반올림하기.)

⭐ 퍼센트 변화는 항상 지금 가격에 작용하므로, 오른 것을 되돌리는 데 필요한 퍼센트는 오른 퍼센트보다 작다.