AMC 10 · 2009 · #6

학년 4 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-factorizationfactorslogical-deduction systematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

키아나에게는 자신보다 나이가 많은 쌍둥이 오빠가 두 명 있다. 세 사람의 나이를 모두 곱하면 128이다. 세 사람의 나이의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 10$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 16$

(D)

$\ 18$

(E)

$\ 24$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 키아나에게는 자신보다 나이가 많은 쌍둥이 형이 둘 있습니다. 쌍둥이이므로 두 형의 나이는 같고, 둘 다 키아나보다 많습니다. 세 사람의 나이를 곱하면 $128$입니다. 세 나이의 합을 구하세요.

주어진 것: 두 형은 쌍둥이여서 나이가 하나로 같습니다.; 두 형은 모두 키아나보다 나이가 많습니다.; 세 사람 나이의 곱은 $128$입니다.; 나이는 모두 자연수입니다.

구하는 것: 쌍둥이 형이 함께 가지는 나이.; 키아나의 나이.; 세 나이의 합.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

쌍둥이의 나이를 $t$, 키아나의 나이를 $k$라 두면, 두 형의 나이가 같으므로 곱은 $t \times t \times k = 128$이 되어 $t$가 두 번 등장합니다. 그래서 제곱이 $128$을 나누는 자연수 $t$만 나열한 뒤, '형이 더 많다'는 조건을 어기는 경우를 지우면 됩니다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 4.OA.A.3 단계 1

나이에 이름 붙이기

쌍둥이가 함께 가지는 나이를 $t$, 키아나의 나이를 $k$라 합시다.
두 형은 나이가 같으므로 세 나이의 곱은 $t \times t \times k$입니다.
이를 주어진 곱과 같게 두면 식 하나가 생깁니다.

$$t \times t \times k = 128$$

💡 두 형에게 같은 글자 하나를 쓰면 두 나이가 사실 같은 수라는 점이 그대로 담깁니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

조건에 맞는 쌍둥이 나이 나열하기

$128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$이므로, 쌍둥이 나이 $t$는 그 제곱이 $128$을 나누는 자연수여야 합니다.
$t = 1, 2, 4, 8$을 넣고 키아나의 나이 $k = 128 \div t^2$를 읽으면 $t=1 \Rightarrow k=128$, $t=2 \Rightarrow k=32$, $t=4 \Rightarrow k=8$, $t=8 \Rightarrow k=2$입니다.

$$1{\cdot}1{\cdot}128,\ 2{\cdot}2{\cdot}32,\ 4{\cdot}4{\cdot}8,\ 8{\cdot}8{\cdot}2$$

💡 쌍둥이 나이는 두 번 곱해지므로, 제곱이 $128$ 안에 들어가는 나이만 가능합니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 3

형이 더 많은 경우만 남기기

형들은 키아나보다 나이가 많아야 하므로 $t > k$가 필요합니다.
각 경우를 확인하면 $1 > 128$은 거짓, $2 > 32$는 거짓, $4 > 8$은 거짓, $8 > 2$는 참입니다.
쌍둥이 나이 $t = 8$, 키아나 나이 $k = 2$인 경우만 살아남습니다.

$$8 > 2 \quad\checkmark$$

💡 '형이 더 많다'는 사실은 쌍둥이가 키아나보다 큰 경우만 남기고 나머지 조합을 걸러 냅니다.

#4 변수 도입하기 4.NBT.B.4 단계 4

세 나이 더하기

세 나이는 $8$, $8$, $2$입니다.
합은 $2t + k = 8 + 8 + 2 = 18$입니다.
따라서 세 나이의 합은 $18$이고, 답은 (D)입니다.

$$8 + 8 + 2 = 18$$

💡 유효한 나이가 하나로 정해지면 그 값을 더하는 마지막 단계는 쉽습니다.

[1] #4 4.OA.A.3 쌍둥이가 함께 가지는 나이를 $t$, 키아나의 나이를 $k$라 합시다. 두 형은 나이가 같으므로 세 나이의 곱은 $t \times t \time

[2] #2 4.OA.B.4 $128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$이므로, 쌍둥이 나이 $t$는

[3] #3 4.NBT.A.2 형들은 키아나보다 나이가 많아야 하므로 $t > k$가 필요합니다. 각 경우를 확인하면 $1 > 128$은 거짓, $2 > 32$는 거짓, $4

[4] #4 4.NBT.B.4 세 나이는 $8$, $8$, $2$입니다. 합은 $2t + k = 8 + 8 + 2 = 18$입니다. 따라서 세 나이의 합은 $18$이고, 답은

검토

합리성 확인: 남은 경우를 직접 확인하면 $8 \times 8 \times 2 = 128$로 곱이 맞고, 두 형($8$)이 모두 키아나($2$)보다 많으므로 모든 조건이 성립합니다. 합 $8 + 8 + 2 = 18$은 보기 (D)입니다.

대안 접근: 나열 대신 $128 = 2^7$로 소인수분해할 수도 있습니다. 쌍둥이 나이는 제곱으로 쓰이므로 일곱 개의 $2$ 중 짝수 개를 가져야 합니다. 즉 $2^0, 2^2, 2^4, 2^6$이 되어 나이 $1, 2, 4, 8$입니다. 키아나($2^1 = 2$)가 더 어리게 만드는 경우는 $t = 8$뿐이고, 역시 $8+8+2 = 18$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (나이 이야기를 미지수 나이를 글자로 둔 식 $t \times t \times k = 128$로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (제곱이 $128$을 나누는 자연수 쌍둥이 나이를 나열하는 데 사용.)
4.NBT.A.2 Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols (각 쌍둥이 나이와 키아나의 나이를 비교해 형이 더 많은 경우만 남기는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (세 나이 $8 + 8 + 2$를 더해 최종 합을 구하는 데 사용.)

⭐ 두 사람의 나이가 같으면 그 나이가 곱에서 두 번 쓰이므로, 제곱이 그 수에 들어맞는 나이만 가능합니다.