AMC 10 · 2009 · #6
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
쌍둥이의 나이를 t, 키아나의 나이를 k라 두면, 두 형의 나이가 같으므로 곱은 t × t × k = 128이 되어 t가 두 번 등장합니다. 그래서 제곱이 128을 나누는 자연수 t만 나열한 뒤, '형이 더 많다'는 조건을 어기는 경우를 지우면 됩니다.
나이에 이름 붙이기
쌍둥이가 함께 가지는 나이를 t, 키아나의 나이를 k라 하면 t × t × k = 128입니다.
두 형에게 같은 글자 하나를 쓰면 두 나이가 사실 같은 수라는 점이 그대로 담깁니다.
4.OA.A.3Introduce A Variable조건에 맞는 쌍둥이 나이 나열하기
128은 2를 일곱 번 곱한 수라서 t는 1, 2, 4, 8뿐이고, k = 128 ÷ t²는 128, 32, 8, 2입니다.
쌍둥이 나이는 두 번 곱해지므로, 제곱이 128 안에 들어가는 나이만 가능합니다.
쌍둥이의 나이가 두 번 쓰이므로, 제곱이 그 곱 안에 들어가는 나이만이 가능하다.
▸ 왜?
그 곱의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 어떤 인수가 나올 수 있는지가 미리 정해진다.
▸ 왜?
약수는 곱해서 그 수가 되는 짝으로 오므로, 후보인 나이가 짧고 닫힌 목록이 된다.
형이 더 많은 경우만 남기기
형이 더 많아야 하므로 t가 k보다 커야 합니다. 네 경우 중 t = 8, k = 2만 남습니다.
'형이 더 많다'는 사실은 쌍둥이가 키아나보다 큰 경우만 남기고 나머지 조합을 걸러 냅니다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities세 나이 더하기
세 나이는 8, 8, 2이므로 합은 2t + k = 18이고, 답은 (D)입니다.
유효한 나이가 하나로 정해지면 그 값을 더하는 마지막 단계는 쉽습니다.
4.NBT.B.4Introduce A Variable두 사람의 나이가 같으면 그 나이가 곱에서 두 번 쓰이므로, 제곱이 그 수에 들어맞는 나이만 가능합니다.
- 나이에 이름 붙이기
- 조건에 맞는 쌍둥이 나이 나열하기
- 형이 더 많은 경우만 남기기
- 세 나이 더하기