AMC 10 · 2009 · #9

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

isosceles-triangleangle-sum-trianglesupplementary-angles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: isosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 선분 $BD$ 와 $AE$ 가 점 $C$ 에서 만나고, $AB=BC=CD=CE$ 이며, $\angle A = \frac 52 \angle B$ 이다. $\angle D$ 의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

52.5

(B)

(C)

57.7

(D)

(E)

62.5

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 선분 $BD$와 $AE$가 점 $C$에서 만난다. 따라서 $B$, $C$, $D$는 한 직선 위에, $A$, $C$, $E$는 다른 한 직선 위에 놓인다. 네 선분의 길이가 같아서 $AB=BC=CD=CE$이고, $\angle A$는 $\angle B$의 $\tfrac{5}{2}$배이다. $\angle D$의 크기를 도(度) 단위로 구하여라.

주어진 것: $BD$와 $AE$는 점 $C$에서 만나는 직선 선분이므로 $B,C,D$가 일직선, $A,C,E$가 일직선 위에 있다; $AB=BC$이므로 삼각형 $ABC$는 이등변삼각형이다; $CD=CE$이므로 삼각형 $CDE$는 이등변삼각형이다; $\angle A = \tfrac{5}{2}\,\angle B$ (두 각 모두 삼각형 $ABC$의 각이다); 선택지: (A) $52.5$, (B) $55$, (C) $57.7$, (D) $60$, (E) $62.5$

구하는 것: $\angle D$의 크기 (오른쪽 아래 삼각형의 $\angle CDE$)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

두 각이 $\angle A = \tfrac52\angle B$라는 비례로 묶여 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 $\angle B = x$라 놓으면 나머지 각을 모두 $x$의 식으로 나타낼 수 있다. 도구 #1(그림 그리기)로 그림을 읽으면 교점 $C$를 공유하는 두 이등변삼각형이 보이고 밑각들이 짝을 이룬다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 삼각형 내각의 합을 하나의 방정식으로 세워 푼다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 마지막 각의 값을 다섯 선택지와 맞춘다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 1

각에 이름 붙이고 첫 이등변삼각형 이용

$\angle B = x$도라 하자.
삼각형 $ABC$에서 같은 변은 $AB=BC$이므로 밑변 $CA$의 두 밑각, 즉 $A$와 $C$에서의 각이 같다: $\angle BAC = \angle BCA$.
곧 $\angle A = \angle BCA$이다.
또 문제에서 $\angle A = \tfrac52\angle B = \tfrac52 x$이므로 $\angle BCA = \tfrac52 x$이기도 하다.

$$\angle B = x,\quad \angle A = \angle BCA = \tfrac{5}{2}x$$

💡 같은 변의 맞은편에는 같은 각이 놓이므로, 이등변삼각형의 두 밑각은 서로 같다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 2

삼각형 $ABC$의 각 구하기

삼각형 $ABC$의 세 각의 합은 $180$이다: $\angle A + \angle B + \angle BCA = 180$.
대입하면 $\tfrac52 x + x + \tfrac52 x = 180$이 되어 $6x = 180$, 즉 $x = 30$이다.
따라서 $\angle B = 30$이고 $\angle A = \angle BCA = \tfrac52(30) = 75$이다.

$$\tfrac{5}{2}x + x + \tfrac{5}{2}x = 180 \;\Rightarrow\; 6x = 180 \;\Rightarrow\; x = 30,\quad \angle BCA = 75$$

💡 내각의 합에서 나온 한 방정식이 미지수 $x$를 하나로 확정한다.

#1 그림 그리기 7.G.B.5 단계 3

교점을 지나 각 옮기기

선분 $BD$와 $AE$가 $C$에서 만나므로 $B,C,D$는 한 직선, $A,C,E$는 다른 한 직선을 이룬다.
$\angle BCA$와 $\angle DCE$는 교점의 반대편에 있어 맞꼭지각이 되고, 맞꼭지각은 항상 같다.
따라서 $\angle DCE = \angle BCA = 75$이다.

$$\angle DCE = \angle BCA = 75$$

💡 두 직선이 만나면 정면으로 마주 보는 각끼리는 서로 같다.

#3 가능성 지우기 8.G.A.5 단계 4

두 번째 이등변삼각형으로 $\angle D$ 구하기

삼각형 $CDE$에서 같은 변은 $CD=CE$이므로 밑각 $D$와 $E$가 같다: $\angle CDE = \angle CED$.
내각의 합에서 $\angle DCE + \angle CDE + \angle CED = 180$, 즉 $75 + 2\angle D = 180$이므로 $2\angle D = 105$, $\angle D = 52.5$이다.
이는 선택지 (A)이며, $52.5$와 같은 다른 선택지는 없으므로 답은 (A)이다.

$$75 + 2\angle D = 180 \;\Rightarrow\; \angle D = \tfrac{105}{2} = 52.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 번째 삼각형도 이등변이므로 꼭지각을 알면 나머지를 두 밑각이 똑같이 나눠 갖는다.

[1] #4 8.G.A.5 $\angle B = x$도라 하자. 삼각형 $ABC$에서 같은 변은 $AB=BC$이므로 밑변 $CA$의 두 밑각, 즉 $A$와 $C$에서의 각

[2] #13 8.EE.C.7 삼각형 $ABC$의 세 각의 합은 $180$이다: $\angle A + \angle B + \angle BCA = 180$. 대입하면 $\tfr

[3] #1 7.G.B.5 선분 $BD$와 $AE$가 $C$에서 만나므로 $B,C,D$는 한 직선, $A,C,E$는 다른 한 직선을 이룬다. $\angle BCA$와 $\

[4] #3 8.G.A.5 삼각형 $CDE$에서 같은 변은 $CD=CE$이므로 밑각 $D$와 $E$가 같다: $\angle CDE = \angle CED$. 내각의 합에서

검토

합리성 확인: 모든 각을 확인하자. 삼각형 $ABC$: $75 + 30 + 75 = 180$. 맞꼭지각으로 $75$가 삼각형 $CDE$로 넘어가고, 그 세 각은 $75 + 52.5 + 52.5 = 180$이다. 두 삼각형 모두 딱 맞아떨어진다. 꼭지각이 $75^\circ$로 꽤 넓으므로 밑각 $\angle D$는 $180$의 절반보다 조금 작아야 하는데, $52.5$가 잘 들어맞는다. 정확히 선택지 (A)에 해당한다.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 고정된 값으로 추론할 수도 있다. $\angle A = \angle BCA$이고 $\angle A = \tfrac52\angle B$이므로 내각의 합 $2\angle A + \angle B = 180$은 $5\angle B + \angle B = 180$이 되어 $\angle B = 30$, $\angle BCA = 75$이다. 맞꼭지각으로 $\angle DCE = 75$, 이등변삼각형 $CDE$에서 $\angle D = (180-75)/2 = 52.5$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 삼각형 내각의 합 등의 사실을 비형식적 논증으로 확립하기 (삼각형 $ABC$와 $CDE$에서 내각의 합 사실과 이등변삼각형의 밑각 사실을 적용.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 ($\tfrac52 x + x + \tfrac52 x = 180$을 풀어 $x = 30$과 삼각형 $ABC$의 각을 구함.)
7.G.B.5 맞꼭지각 등의 성질로 도형의 미지각 구하기 ($BD$와 $AE$가 만나며 생기는 맞꼭지각으로 $\angle DCE = \angle BCA = 75$를 결론.)

⭐ 각 하나에 이름을 붙이고 '같은 변은 같은 밑각' 사실과 삼각형 $180^\circ$ 규칙을 쓴 뒤, 맞꼭지각으로 각을 교점 너머로 옮겨 두 번째 삼각형을 푼다.