AMC 10 · 2009 · #9

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
isosceles-triangleangle-sum-trianglesupplementary-angles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: isosceles-triangle
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
두 선분 BD와 AE가 점 C에서 만난다. 따라서 B, C, D는 한 직선 위에, A, C, E는 다른 한 직선 위에 놓인다. 네 선분의 길이가 같아서 AB=BC=CD=CE이고, ∠ A는 ∠ B의 5/2배이다. ∠ D의 크기를 도(度) 단위로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
52.5
(B)
55
(C)
57.7
(D)
60
(E)
62.5

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

두 각이 ∠ A = 5/2∠ B라는 비례로 묶여 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 ∠ B = x라 놓으면 나머지 각을 모두 x의 식으로 나타낼 수 있다. 도구 #1(그림 그리기)로 그림을 읽으면 교점 C를 공유하는 두 이등변삼각형이 보이고 밑각들이 짝을 이룬다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 삼각형 내각의 합을 하나의 방정식으로 세워 푼다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 마지막 각의 값을 다섯 선택지와 맞춘다.

1STEP 1

각에 이름 붙이고 첫 이등변삼각형 이용

∠ B = x라 하자. AB=BC이므로 맞은편 각이 같아 ∠ A = ∠ BCA이고, ∠ A = 5/2 x이므로 ∠ BCA = 5/2 x이다.

∠ B = x, ∠ A = ∠ BCA = 5/2x
2STEP 2

삼각형 ABC의 각 구하기

삼각형 ABC의 세 각의 합은 180이다. 5/2 x + x + 5/2 x = 180에서 x = 30이므로 ∠ BCA = 75이다.

5/2x + x + 5/2x = 180 → 6x = 180 → x = 30, ∠ BCA = 75
3STEP 3

교점을 지나 각 옮기기

BD와 AE가 C에서 교차하므로 ∠ DCE와 ∠ BCA는 맞꼭지각이고, 따라서 ∠ DCE = 75이다.

∠ DCE = ∠ BCA = 75
4STEP 4

두 번째 이등변삼각형으로 ∠ D 구하기

삼각형 CDE는 CD=CE이므로 ∠ D = ∠ E이고, 75 + 2∠ D = 180에서 ∠ D = 52.5, 즉 (A)이다.

75 + 2∠ D = 180 → ∠ D = 105/2 = 52.5 → (A)
정답
52.5
모든 각을 확인하자. 삼각형 ABC: 75 + 30 + 75 = 180. 맞꼭지각으로 75가 삼각형 CDE로 넘어가고, 그 세 각은 75 + 52.5 + 52.5 = 180이다. 두 삼각형 모두 딱 맞아떨어진다. 꼭지각이 75°로 꽤 넓으므로 밑각 ∠ D는 180의 절반보다 조금 작아야 하는데, 52.5가 잘 들어맞는다. 정확히 선택지 (A)에 해당한다.
💡핵심 정리

각 하나에 이름을 붙이고 '같은 변은 같은 밑각' 사실과 삼각형 180° 규칙을 쓴 뒤, 맞꼭지각으로 각을 교점 너머로 옮겨 두 번째 삼각형을 푼다.

  • 각에 이름 붙이고 첫 이등변삼각형 이용
  • 삼각형 ABC의 각 구하기
  • 교점을 지나 각 옮기기
  • 두 번째 이등변삼각형으로 ∠ D 구하기

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