AMC 10 · 2010 · #11

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

interval-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: interval-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

복합부등식 a ≤ 2x + 3 ≤ b를 만족하는 x들의 집합은 길이가 10인 구간이다. b - a를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 6$

(B)

$\ 10$

(C)

$\ 15$

(D)

$\ 20$

(E)

$\ 30$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기): 부등식이 x 를 두 경계 사이에 가두고 있으므로, 세 부분 모두에 똑같은 연산 — 3을 빼고, 2로 나누기 — 을 해서 x 만 남긴다. 그러면 주어진 경계가 x 에 대한 깔끔한 경계로 바뀐다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): (i) x-구간의 두 끝점을 구하고, (ii) 그 둘을 빼서 길이를 얻는 두 단계로 나눈다. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 길이 10은 이미 완성된 결과이므로, 길이를 b - a 에 대한 식으로 쓰고 ÷ 2를 되돌려 b - a 를 복원한다.

1STEP 1

세 부분 모두에서 x 분리하기

세 부분에서 3을 빼고 모두 2로 나누면(양수라 부등호는 그대로) $\frac{a-3}{2} \le x \le \frac{b-3}{2}$ 이다.

a ≤ 2x+3 ≤ b → a-3 ≤ 2x ≤ b-3 → (a-3)/2 ≤ x ≤ (b-3)/2

2STEP 2

구간 길이 재기

길이는 위 끝점에서 아래 끝점을 뺀 값이고, -3끼리 상쇄되어 $\frac{b-a}{2}$ 만 남는다.

길이 = (b-3)/2 - (a-3)/2 = (b-3)-(a-3)/2 = (b-a)/2

3STEP 3

길이를 10으로 놓고 되돌리기

이 길이가 10이라 했으므로 $\frac{b-a}{2} = 10$ 이고, 양변에 2를 곱하면 b - a = 20, 즉 선택지 (D)이다.

(b-a)/2 = 10 → b-a = 10 × 2 = 20

정답

구체적인 수로 확인하자: x-구간을 0 ≤ x ≤ 10 (길이 10)으로 잡으면 2x+3은 2(0)+3 = 3부터 2(10)+3 = 23까지 움직이므로 a = 3, b = 23, b - a = 20이다. 결과가 일치하고, 어떤 구간을 잡든 상관없음을 보여준다 — 기울기 2가 항상 간격을 두 배로 만든다. 선택지 (B) 10은 가운데가 그냥 x일 때만 답이 되며, × 2 때문에 간격이 20으로 커지므로 (D)가 맞다.

💡핵심 정리

x 에 대해 풀면 간격이 x 앞의 수로 나뉘므로, 기울기 2는 경계 간격 b-a 를 x-구간 길이의 두 배로 만든다.

세 부분 모두에서 x 분리하기
구간 길이 재기
길이를 10으로 놓고 되돌리기

세 부분 모두에서 x 분리하기

구간 길이 재기

길이를 10으로 놓고 되돌리기

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