AMC 10 · 2010 · #11

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

interval-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: interval-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

부등식 $a \le 2x + 3 \le b$ 의 해가 이루는 구간의 길이가 $10$ 이다. $b - a$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 6$

(B)

$\ 10$

(C)

$\ 15$

(D)

$\ 20$

(E)

$\ 30$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 복합부등식 $a \le 2x + 3 \le b$ 를 만족하는 $x$ 들의 집합은 길이가 $10$ 인 구간이다. $b - a$ 를 구하여라.

주어진 것: 부등식은 $a \le 2x + 3 \le b$ 이다; 이를 만족하는 $x$ 값들의 구간 길이는 $10$ 이다; 선택지: (A) $6$, (B) $10$, (C) $15$, (D) $20$, (E) $30$

구하는 것: $b - a$ 의 값

이해

문제 재정리: 복합부등식 $a \le 2x + 3 \le b$ 를 만족하는 $x$ 들의 집합은 길이가 $10$ 인 구간이다. $b - a$ 를 구하여라.

주어진 것: 부등식은 $a \le 2x + 3 \le b$ 이다; 이를 만족하는 $x$ 값들의 구간 길이는 $10$ 이다; 선택지: (A) $6$, (B) $10$, (C) $15$, (D) $20$, (E) $30$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #11 거꾸로 풀기

도구 #4 (변수 도입하기): 부등식이 $x$ 를 두 경계 사이에 가두고 있으므로, 세 부분 모두에 똑같은 연산 — $3$ 을 빼고, $2$ 로 나누기 — 을 해서 $x$ 만 남긴다. 그러면 주어진 경계가 $x$ 에 대한 깔끔한 경계로 바뀐다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): (i) $x$-구간의 두 끝점을 구하고, (ii) 그 둘을 빼서 길이를 얻는 두 단계로 나눈다. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 길이 $10$ 은 이미 완성된 결과이므로, 길이를 $b - a$ 에 대한 식으로 쓰고 $\div 2$ 를 되돌려 $b - a$ 를 복원한다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 1

세 부분 모두에서 x 분리하기

복합부등식은 가운데에 한 연산을 하면 양쪽 끝에도 똑같이 해야 한다.
모든 부분에서 $3$ 을 뺀 뒤, 모든 부분을 $2$ 로 나눈다.
양수 $2$ 로 나누므로 부등호 방향은 그대로다.

$$a \le 2x+3 \le b \;\Rightarrow\; a-3 \le 2x \le b-3 \;\Rightarrow\; \dfrac{a-3}{2} \le x \le \dfrac{b-3}{2}$$

💡 가운데에서 $+3$ 과 $\times 2$ 를 벗겨내면 두 깔끔한 경계 사이에 $x$ 만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 2

구간 길이 재기

$x$-구간의 길이는 큰 끝점에서 작은 끝점을 뺀 값이다.
위 경계에서 아래 경계를 빼면 두 $-3$ 항이 상쇄되고 공통 분모 $2$ 는 남는다.

$$\text{길이} = \dfrac{b-3}{2} - \dfrac{a-3}{2} = \dfrac{(b-3)-(a-3)}{2} = \dfrac{b-a}{2}$$

💡 길이는 두 끝 사이의 거리일 뿐이고, 두 끝 모두 똑같이 $\div 2$ 로 줄었으므로 원래 간격 $b-a$ 가 절반이 된다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 3

길이를 10 으로 놓고 되돌리기

문제에서 이 길이가 $10$ 이라 했으므로 $\dfrac{b-a}{2} = 10$ 이다.
이것은 $p \cdot (\text{미지수}) = q$ 꼴이므로, 양변에 $2$ 를 곱해 $\div 2$ 를 되돌리면 $b-a$ 가 나온다.

$$\dfrac{b-a}{2} = 10 \;\Rightarrow\; b-a = 10 \times 2 = 20$$

💡 $b-a$ 를 $2$ 로 나눴더니 $10$ 이 되었으니, 원래 간격은 그 두 배인 $20$, 즉 선택지 (D) 이다.

[1] #4 7.EE.B.4 복합부등식은 가운데에 한 연산을 하면 양쪽 끝에도 똑같이 해야 한다. 모든 부분에서 $3$ 을 뺀 뒤, 모든 부분을 $2$ 로 나눈다. 양수 $

[2] #7 7.NS.A.1 $x$-구간의 길이는 큰 끝점에서 작은 끝점을 뺀 값이다. 위 경계에서 아래 경계를 빼면 두 $-3$ 항이 상쇄되고 공통 분모 $2$ 는 남는다

[3] #11 6.EE.B.7 문제에서 이 길이가 $10$ 이라 했으므로 $\dfrac{b-a}{2} = 10$ 이다. 이것은 $p \cdot (\text{미지수}) = q$

검토

합리성 확인: 구체적인 수로 확인하자: $x$-구간을 $0 \le x \le 10$ (길이 $10$) 으로 잡으면 $2x+3$ 은 $2(0)+3 = 3$ 부터 $2(10)+3 = 23$ 까지 움직이므로 $a = 3$, $b = 23$, $b - a = 20$ 이다. 결과가 일치하고, 어떤 구간을 잡든 상관없음을 보여준다 — 기울기 $2$ 가 항상 간격을 두 배로 만든다. 선택지 (B) $10$ 은 가운데가 그냥 $x$ 일 때만 답이 되며, $\times 2$ 때문에 간격이 $20$ 으로 커지므로 (D) 가 맞다.

대안 접근: $2x+3$ 을 모든 길이를 기울기 $2$ 만큼 늘리는 기계로 생각하자. $x$ 가 길이 $10$ 인 구간을 훑는 동안 $2x+3$ 값은 그 $2$ 배인 $20$ 만큼의 구간을 훑는다. 이 값들이 $a$ 부터 $b$ 까지이므로 계산 없이 $b - a = 20$ 이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (세 부분 모두에서 $3$ 을 빼고 $2$ 로 나눠 복합부등식을 $x$ 에 대해 푸는 데 사용.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (두 끝점을 빼서 구간 길이 $\frac{b-a}{2}$ 를 구하는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($\frac{b-a}{2} = 10$ 을 양변에 $2$ 를 곱해 $b-a$ 에 대해 푸는 데 사용.)

⭐ $x$ 에 대해 풀면 간격이 $x$ 앞의 수로 나뉘므로, 기울기 $2$ 는 경계 간격 $b-a$ 를 $x$-구간 길이의 두 배로 만든다.