AMC 10 · 2010 · #13

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

ratelinear-equations-one-varunit-conversion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

안젤리나는 평균 시속 $80$ km로 운전하다가 주유를 위해 $20$ 분간 멈췄다. 멈춘 뒤에는 평균 시속 $100$ km로 운전했다. 멈춘 시간을 포함한 총 이동 시간 $3$ 시간 동안 그녀는 모두 합쳐 $250$ km를 운전했다. 그녀가 멈추기 전에 운전한 시간을 $t$ (단위: 시간)라 할 때, $t$ 를 구하는 데 사용할 수 있는 식은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$80t+100\left(\frac{8}{3}-t\right)=250$

(B)

80t=250

(C)

100t=250

(D)

90t=250

(E)

$80\left(\frac{8}{3}-t\right)+100t=250$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 안젤리나는 시속 $80$ km로 달리다가 주유를 위해 $20$ 분 동안 멈췄고, 그 뒤 시속 $100$ km로 달렸습니다. 전체 이동 거리는 $250$ km이고, 멈춘 시간을 포함한 총 이동 시간은 $3$ 시간입니다. 멈추기 전에 달린 시간을 $t$ 시간이라 할 때, $t$ 를 구하는 데 쓸 수 있는 식은 무엇일까요?

주어진 것: 첫 번째 구간 속력은 시속 $80$ km; 주유를 위한 정차 시간은 $20$ 분 (이 동안은 달리지 않음); 두 번째 구간 속력은 시속 $100$ km; 달린 총 거리는 $250$ km; 정차 시간을 포함한 총 이동 시간은 $3$ 시간; 선택지: (A) $80t+100\left(\frac{8}{3}-t\right)=250$, (B) $80t=250$, (C) $100t=250$, (D) $90t=250$, (E) $80\left(\frac{8}{3}-t\right)+100t=250$

구하는 것: 멈추기 전에 달린 시간 $t$ 를 해로 갖는 식

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #4 변수 도입하기

이 문제는 숫자 하나를 구하는 것이 아니라 여행을 나타내는 식을 고르라고 합니다 — 바로 도구 #13(대수로 바꾸기)의 자리입니다. 각 문장을 기호로 옮긴 뒤 하나의 식으로 붙이면 됩니다. 그 전에 도구 #8(단위 살펴보기)이 꼭 필요합니다. 정차만 분 단위로 주어지고 나머지는 모두 시간 단위이기 때문에, 시간을 빼기 전에 $20$ 분을 먼저 $\frac{1}{3}$ 시간으로 바꿔야 하고, 각 거리는 속력(km/시간)에 시간(시간)을 곱한 값입니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 두 주행 시간에 이름을 붙입니다 — 멈추기 전은 $t$, 멈춘 뒤는 $\frac{8}{3}-t$ 인데, 두 주행 구간이 실제 주행 시간 $\frac{8}{3}$ 시간을 나눠 갖기 때문입니다. 각 구간 시간이 정수가 아니고 답이 값이 아니라 식이므로, 추측(도구 #6)은 이 문제에 도움이 되지 않습니다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

정차 시간을 시간 단위로

정차만 분 단위이고 나머지는 모두 km와 시간 단위입니다.
$20$ 분을 시간으로 바꾼 뒤, $3$ 시간에서 빼서 실제로 달린 시간을 구합니다.

$$20\text{ 분} = \frac{20}{60}\text{ 시간} = \frac{1}{3}\text{ 시간}, \quad 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\text{ 시간 주행}$$

💡 정차하는 동안 시계는 가지만 주행 거리계는 멈추므로, $3$ 시간 중 $\frac{8}{3}$ 시간만 거리를 만들 수 있습니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

두 주행 시간에 이름 붙이기

멈추기 전 달린 시간을 $t$ 라 합시다.
두 주행 구간이 합쳐서 $\frac{8}{3}$ 시간의 주행 시간을 채워야 하므로, 멈춘 뒤 달린 시간은 남은 만큼입니다.

$$\text{정차 전} = t, \qquad \text{정차 후} = \frac{8}{3} - t$$

💡 정해진 전체 중 한 조각을 $t$ 라 부르면, 나머지 조각은 전체에서 $t$ 를 뺀 값으로 정해집니다.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 3

각 구간의 거리 쓰기

각 구간의 거리는 그 구간의 속력에 시간을 곱한 값입니다.
앞 단계의 시간과 짝지어, 첫 구간은 시속 $80$ km, 둘째 구간은 시속 $100$ km를 씁니다.

$$\text{첫 구간} = 80t, \qquad \text{둘째 구간} = 100\left(\frac{8}{3} - t\right)$$

💡 속력 곱하기 시간은 거리이므로, km/시간에 시간을 곱하면 각 구간에서 km로 약분됩니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 4

두 구간을 더해 $250$ 으로

두 주행 구간이 합쳐서 $250$ km 전체를 달립니다.
두 거리 식을 더해 그 합을 $250$ 과 같다고 놓으면 $t$ 에 대한 식이 나옵니다.
이는 선택지 (A)와 일치합니다.

$$80t + 100\left(\frac{8}{3} - t\right) = 250 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $250$ km 전체는 첫 구간과 둘째 구간의 합일 뿐이므로, 두 식은 더해서 $250$ 이 되어야 합니다.

[1] #8 6.RP.A.3 정차만 분 단위이고 나머지는 모두 km와 시간 단위입니다. $20$ 분을 시간으로 바꾼 뒤, $3$ 시간에서 빼서 실제로 달린 시간을 구합니다.

[2] #4 6.EE.A.2 멈추기 전 달린 시간을 $t$ 라 합시다. 두 주행 구간이 합쳐서 $\frac{8}{3}$ 시간의 주행 시간을 채워야 하므로, 멈춘 뒤 달린 시

[3] #13 6.RP.A.3 각 구간의 거리는 그 구간의 속력에 시간을 곱한 값입니다. 앞 단계의 시간과 짝지어, 첫 구간은 시속 $80$ km, 둘째 구간은 시속 $100

[4] #13 7.EE.B.4 두 주행 구간이 합쳐서 $250$ km 전체를 달립니다. 두 거리 식을 더해 그 합을 $250$ 과 같다고 놓으면 $t$ 에 대한 식이 나옵니다

검토

합리성 확인: 고른 식을 실제로 풀어 타당한지 봅니다: $80t + \frac{800}{3} - 100t = 250 \Rightarrow -20t = 250 - \frac{800}{3} = -\frac{50}{3} \Rightarrow t = \frac{5}{6}$ 시간. 즉 정차 전 $50$ 분, 정차 후 $\frac{8}{3} - \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$ 시간 $\approx 110$ 분 — 둘 다 양수이고 $3$ 시간 안에 들어가므로 식이 물리적으로 말이 됩니다. 선택지 (E)는 속력을 반대 구간에 붙였고, (B), (C), (D)는 정차와 두 속력 분할을 무시하므로 오직 (A)만 맞습니다.

대안 접근: 가능성 지우기(도구 #3): 실제 거리는 시속 $80$ km와 $100$ km를 $\frac{8}{3}$ 주행 시간에 섞은 것이므로, 식에는 반드시 $80$ 과 $100$, 그리고 $\frac{8}{3}$ 이 모두 들어가야 합니다. 이를 만족하는 것은 (A)와 (E)뿐인데, (E)는 정차 전 시간 $t$ 에 $100$ 을 붙여 이야기와 어긋나므로 (A)가 남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 비와 비율 사고로 실세계·수학 문제 풀기 ($20$ 분을 $\frac{1}{3}$ 시간으로 바꾸고, 속력 $\times$ 시간 $=$ 거리로 각 구간을 $80t$ 와 $100\left(\frac{8}{3}-t\right)$ 로 쓰는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (정차 전 시간을 $t$ 라 이름 붙이고, 정차 후 시간을 식 $\frac{8}{3}-t$ 로 쓰는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세우기 (두 거리 식을 합쳐 전체 여행을 나타내는 하나의 방정식 $80t+100\left(\frac{8}{3}-t\right)=250$ 을 세우는 데 사용.)

⭐ 정차 시간을 먼저 빼고, 남은 주행 시간을 정차 전과 후로 나눈 다음, 두 개의 속력 $\times$ 시간 거리를 더해서 $250$ 으로 놓으세요.