AMC 10 · 2010 · #16

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

angle-bisector-theoremratio-proportionpolygon-inequality bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: angle-bisector-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

퇴화하지 않은(nondegenerate) $\triangle ABC$ 의 세 변의 길이가 모두 정수이고, $\overline{BD}$ 는 각의 이등분선이며, $AD = 3$ , $DC=8$ 이다. 둘레의 길이로 가능한 가장 작은 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 ABC는 찌그러지지 않았고 세 변의 길이가 모두 정수이다. 각 B의 이등분선이 변 AC와 점 D에서 만나고, 그 변을 AD = 3, DC = 8로 나눈다. 삼각형 둘레의 가능한 가장 작은 값을 구하라.

주어진 것: 삼각형 ABC는 찌그러지지 않았고 세 변의 길이가 모두 정수이다.; BD는 각 B를 이등분하며 AC와 점 D에서 만난다.; AD = 3, DC = 8.; 선택지: (A) $30$, (B) $33$, (C) $35$, (D) $36$, (E) $37$

구하는 것: 가능한 가장 작은 둘레 $AB + BC + CA$.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기, #14 극단의 원리

도구 #4(변수 도입하기): 각의 이등분선 정리에 의해 $AB$와 $BC$는 $3:8$이라는 고정된 비가 되므로, 하나의 정수 배수 $k$로 두 변을 한꺼번에 나타내면 문제 전체가 변수 하나로 정리된다. 도구 #1(그림 그리기): 이등분선을 그려 두면 $AC$의 두 조각이 헷갈리지 않고 $CA = 11$이 고정되는 이유가 보인다. 도구 #3(가능성 지우기): 삼각부등식이 $k$에 대한 두 부등식이 되어 하나를 뺀 모든 값을 지워 버린다. 도구 #14(극단의 원리): 가장 작은 둘레를 물으므로 성립하는 $k$ 중 가장 작은 값을 찾는다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 1

두 조각으로 밑변 AC를 고정하기

B에서 나온 이등분선은 맞은편 변 AC에 닿으므로 D는 AC 위에 있고, 두 조각을 더하면 변 전체가 된다: $CA = AD + DC = 3 + 8 = 11$.
다른 변이 어떻게 되든 이 길이는 고정이다.
이등분선을 넣어 삼각형을 그려 두면 조각이 명확해진다.

$$CA = AD + DC = 3 + 8 = 11$$

💡 꼭짓점에서 그은 이등분선은 항상 맞은편 변에 닿으므로 두 조각은 그 변으로 그대로 합쳐진다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 2

각의 이등분선 정리로 비를 얻기

각의 이등분선 정리에 따르면 B에서 그은 이등분선은 맞은편 변을 B에서 만나는 두 변에 비례하도록 나눈다.
A쪽 조각(길이 3)은 변 AB와, C쪽 조각(길이 8)은 변 BC와 짝이 된다.
따라서 $AB : BC = AD : DC = 3 : 8$이다.

$$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{3}{8}$$

💡 이등분선은 그 꼭짓점에 붙은 두 변의 비와 같은 비율로 맞은편 변을 나눈다.

#4 변수 도입하기 6.NS.B.4 단계 3

정수 배수 하나로 두 변을 나타내기

변 $AB$와 $BC$는 $3 : 8$의 비이다.
3과 8은 공약수가 없으므로($\gcd(3,8) = 1$), 이 비를 유지하는 정수 변은 두 수를 같은 양의 정수 $k$로 늘린 것뿐이다.
그래서 $AB = 3k$, $BC = 8k$로 쓴다.

$$AB = 3k, \quad BC = 8k, \quad k \in \mathbb{Z}^{+}$$

💡 비가 이미 기약 상태이면, 그 비를 유지하는 정수 쌍은 두 수의 같은 배수뿐이다.

#3 가능성 지우기 7.EE.B.4 단계 4

삼각부등식으로 k를 한 값으로 못박기

실제 삼각형에서는 각 변이 나머지 두 변의 합보다 짧다.
$CA = 11$을 쓰면, $AB + BC > CA$에서 $3k + 8k > 11$, 즉 $11k > 11$이므로 $k > 1$.
$AB + CA > BC$에서 $3k + 11 > 8k$, 즉 $11 > 5k$이므로 $k < 2.2$.
나머지 부등식 $BC + CA > AB$는 항상 성립한다.
$1 < k < 2.2$인 정수는 $k = 2$뿐이다.

$$11k > 11 \Rightarrow k > 1; \quad 3k + 11 > 8k \Rightarrow k < 2.2; \quad \therefore k = 2$$

💡 두 부등식이 $k$를 양쪽에서 조여, 오직 하나의 정수만 남긴다.

#14 극단의 원리 7.EE.B.3 단계 5

세 변을 더해 가장 작은 둘레 구하기

$k = 2$이면 변은 $AB = 6$, $BC = 16$, $CA = 11$이다.
$k = 2$가 유일하게 살아남는 값이므로 이것은 가장 작은 동시에 유일한 삼각형이다.
둘레는 $6 + 16 + 11 = 33$이므로 답은 (B)이다.

$$P = 3k + 8k + 11 = 11k + 11 = 11(2) + 11 = 33 \Rightarrow \textbf{(B)}\ 33$$

💡 성립하는 가장 작은 $k$가 정해지면, 세 변을 더한 값이 바로 가장 작은 둘레가 된다.

[1] #1 7.G.A.2 B에서 나온 이등분선은 맞은편 변 AC에 닿으므로 D는 AC 위에 있고, 두 조각을 더하면 변 전체가 된다: $CA = AD + DC = 3 +

[2] #4 7.RP.A.2 각의 이등분선 정리에 따르면 B에서 그은 이등분선은 맞은편 변을 B에서 만나는 두 변에 비례하도록 나눈다. A쪽 조각(길이 3)은 변 AB와,

[3] #4 6.NS.B.4 변 $AB$와 $BC$는 $3 : 8$의 비이다. 3과 8은 공약수가 없으므로($\gcd(3,8) = 1$), 이 비를 유지하는 정수 변은 두

[4] #3 7.EE.B.4 실제 삼각형에서는 각 변이 나머지 두 변의 합보다 짧다. $CA = 11$을 쓰면, $AB + BC > CA$에서 $3k + 8k > 11$,

[5] #14 7.EE.B.3 $k = 2$이면 변은 $AB = 6$, $BC = 16$, $CA = 11$이다. $k = 2$가 유일하게 살아남는 값이므로 이것은 가장 작은

검토

합리성 확인: 변 $6$, $16$, $11$을 확인하면 $6 + 11 = 17 > 16$, $6 + 16 = 22 > 11$, $11 + 16 = 27 > 6$이므로 삼각형은 실제로 찌그러지지 않는다. 비 $AB : BC = 6 : 16 = 3 : 8$은 분할 $3 : 8$과 일치하고, 둘레 $33$은 선택지 (B)이다. $k = 1$이면 변이 $3, 8, 11$이고 $3 + 8 = 11$이 되어 납작한 퇴화 삼각형이므로 올바르게 배제된다. $k = 3$이면 $9, 24, 11$이고 $9 + 11 = 20 < 24$라 불가능하다. 따라서 $33$이 유일하게 성립하는 둘레이다.

대안 접근: 부등식으로 범위를 좁히는 대신 둘레 자체의 대수를 쓴다. $AB = 3k$, $BC = 8k$이면 둘레는 $3k + 8k + 11 = 11k + 11 = 11(k + 1)$이므로 항상 $11$의 배수이다. 다섯 선택지 중 $11$의 배수는 $33$뿐이므로, 부등식을 풀지 않아도 답은 (B)임을 알 수 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.A.2 주어진 조건으로 삼각형 등 도형 그리기 (D를 변 AC 위에 두고 두 조각을 더해 $CA = 3 + 8 = 11$로 고정하기.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계를 인식하고 표현하기 (각의 이등분선 정리를 고정된 변의 비 $AB : BC = 3 : 8$로 바꾸기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\gcd(3,8) = 1$을 이용해 정수 변을 $AB = 3k$, $BC = 8k$로 쓰는 것을 정당화하기.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식 세우기 (삼각부등식 경계 $k > 1$과 $k < 2.2$를 세우고 정수 $k = 2$를 구하기.)
7.EE.B.3 유리수를 포함한 여러 단계의 실생활 문제 풀기 ($k = 2$를 $11k + 11$에 대입해 가장 작은 둘레 $33$을 계산하기.)

⭐ 각의 이등분선은 그 꼭짓점의 두 변과 같은 비로 맞은편 변을 나누므로, 변을 같은 배수로 이름 붙인 뒤 삼각부등식으로 맞는 값 하나만 남기면 된다.