AMC 10 · 2010 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

law-of-cosinesequilateral-trianglearea-trianglesvieta-formulasquadratic-equations identify-subproblems ↑ 선수 지식: law-of-cosines

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

등각육각형 ABCDEF (모든 내각이 120°)의 변이 AB=CD=EF=1과 BC=DE=FA=r로 번갈아 나타난다. 한 칸 건너뛴 꼭짓점을 이은 삼각형 ACE의 넓이가 육각형 넓이의 70%이다. 이를 만족하는 모든 r 값의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

(B)

$\frac{10}{3}$

(C)

(D)

$\frac{17}{4}$

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

넓이 방정식 안에는 두 개의 넓이 계산이 숨어 있으므로 일을 쪼갠다(도구 #7 작은 문제로 쪼개기). 먼저 △ ACE의 넓이를, 다음으로 육각형 전체의 넓이를 각각 r로 나타낸다. 그림을 그리면(도구 #1) 두 가지 구조적 선물이 보인다. 세 모서리 삼각형 ABC, CDE, EFA가 합동이라 △ ACE가 정삼각형이 되고, 육각형은 큰 정삼각형에서 세 모서리를 잘라낸 모양이다. 모든 것이 이미 변수 r로 표시되어 있으므로(도구 #4), [△ ACE] = 0.7 · [육각형]을 세우면 r에 대한 하나의 이차식으로 정리되고, 문제는 그 근들의 합만 물어본다.

1STEP 1

삼각형 ACE는 정삼각형

모서리 삼각형 ABC, CDE, EFA는 1과 r 사이 각이 120°라 SAS 합동이므로 AC=CE=EA, 삼각형 ACE는 정삼각형이다.

△ ABC ≅ △ CDE ≅ △ EFA (SAS) → AC = CE = EA

2STEP 2

변 AC 구하기

삼각형 ABC에서 A에서 수선을 내리면 30-60-90 조각과 피타고라스로 AC² = r² + r + 1이 나온다.

AC² = (√(3)/2)² + (r + 1/2)² = 3/4 + r² + r + 1/4 = r² + r + 1

3STEP 3

삼각형 ACE의 넓이

정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 에 한 변의 제곱을 곱한 값이므로, 삼각형 ACE의 인수는 r² + r + 1이다.

[△ ACE] = √(3)/4 (r² + r + 1)

4STEP 4

육각형의 넓이

짧은 변을 연장하면 육각형은 한 변이 r+2인 큰 정삼각형에서 단위 삼각형 셋을 뺀 것이고, 인수는 r² + 4r + 1이다.

[육각형] = √(3)/4(r+2)² - 3·√(3)/4(1)² = √(3)/4[(r+2)² - 3] = √(3)/4 (r² + 4r + 1)

5STEP 5

방정식 세우고 정리하기

70% 조건을 대입하면 공통 인수 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 가 소거되고 r² - 6r + 1 = 0으로 정리된다.

r² + r + 1 = 0.7 (r² + 4r + 1) → 0.3r² - 1.8r + 0.3 = 0 → r² - 6r + 1 = 0

6STEP 6

모든 유효한 r의 합

판별식 36 - 4가 양수이고 두 근이 모두 양수이므로, 비에트 정리로 두 r 값의 합은 6이다.

r = (6 ± √(32))/2 = 3 ± 2√(2); (3 + 2√(2)) + (3 - 2√(2)) = 6 → (E) 6

정답

한 근을 검산하자. r = 3 + 2√(2) ≈ 5.828이면 r² + r + 1 ≈ 33.97 + 5.83 + 1 = 40.80이고 r² + 4r + 1 ≈ 33.97 + 23.31 + 1 = 58.28이므로, 비율 40.80/58.28 ≈ 0.700으로 정확히 요구된 70%이다. 다른 근 r = 3 - 2√(2) ≈ 0.172도 서로 다르지만 여전히 양수인 육각형을 준다. 따라서 r의 값은 실제로 두 개 존재하며 둘 다 세어야 한다. 그 합은 6으로 (E)와 일치한다. 답이 깔끔한 정수라는 점도 '모든 가능한 값의 합'을 묻는 대회 문제와 잘 맞는다.

💡핵심 정리

두 넓이를 모두 r로 나타내자. 안쪽 삼각형은 한 변의 제곱이 r²+r+1인 정삼각형이고, 육각형은 큰 삼각형에서 세 단위 모서리를 뺀 것으로 넓이 인수가 r²+4r+1이다. 70% 규칙은 r² - 6r + 1 = 0이 되고, 두 근의 합은 (E) 6이다.

삼각형 ACE는 정삼각형
변 AC 구하기
삼각형 ACE의 넓이
육각형의 넓이
방정식 세우고 정리하기
모든 유효한 r의 합