AMC 10 · 2010 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

law-of-cosinesequilateral-trianglearea-trianglesvieta-formulasquadratic-equations identify-subproblems ↑ 선수 지식: law-of-cosines

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

등각육각형 $ABCDEF$ 의 변의 길이가 $AB=CD=EF=1$ 이고 $BC=DE=FA=r$ 이다. $\triangle ACE$ 의 넓이가 이 육각형 넓이의 $70\%$ 이다. $r$ 로 가능한 모든 값의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

(B)

$\frac{10}{3}$

(C)

(D)

$\frac{17}{4}$

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 등각육각형 $ABCDEF$ (모든 내각이 $120^\circ$)의 변이 $AB=CD=EF=1$과 $BC=DE=FA=r$로 번갈아 나타난다. 한 칸 건너뛴 꼭짓점을 이은 삼각형 $\triangle ACE$의 넓이가 육각형 넓이의 $70\%$이다. 이를 만족하는 모든 $r$ 값의 합을 구하여라.

주어진 것: 육각형은 등각이다: 각 내각이 $120^\circ$; 짧은 변 $AB=CD=EF=1$; 긴 변 $BC=DE=FA=r$; $[\triangle ACE] = 0.70 \cdot [\text{육각형 } ABCDEF]$; 선택지: (A) $\tfrac{4\sqrt{3}}{3}$, (B) $\tfrac{10}{3}$, (C) $4$, (D) $\tfrac{17}{4}$, (E) $6$

구하는 것: 조건을 만족하는 모든 $r$ 값; 그 값들의 합

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

넓이 방정식 안에는 두 개의 넓이 계산이 숨어 있으므로 일을 쪼갠다(도구 #7 작은 문제로 쪼개기). 먼저 $\triangle ACE$의 넓이를, 다음으로 육각형 전체의 넓이를 각각 $r$로 나타낸다. 그림을 그리면(도구 #1) 두 가지 구조적 선물이 보인다. 세 모서리 삼각형 $ABC, CDE, EFA$가 합동이라 $\triangle ACE$가 정삼각형이 되고, 육각형은 큰 정삼각형에서 세 모서리를 잘라낸 모양이다. 모든 것이 이미 변수 $r$로 표시되어 있으므로(도구 #4), $[\triangle ACE] = 0.7 \cdot [\text{육각형}]$을 세우면 $r$에 대한 하나의 이차식으로 정리되고, 문제는 그 근들의 합만 물어본다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 8.G.A.2 단계 1

삼각형 ACE는 정삼각형

세 모서리 삼각형 $ABC$, $CDE$, $EFA$를 보자.
각각 짧은 변 $1$, 긴 변 $r$, 그리고 낀 각이 육각형의 $120^\circ$이다.
SAS에 의해 이 셋은 합동이므로 세 번째 변 $AC$, $CE$, $EA$가 모두 같다.
세 변이 같으니 $\triangle ACE$는 정삼각형이다.

$$\triangle ABC \cong \triangle CDE \cong \triangle EFA \;(\text{SAS}) \;\Rightarrow\; AC = CE = EA$$

💡 똑같은 모서리 삼각형은 똑같은 긴 변을 돌려주므로, 안쪽 삼각형은 정삼각형일 수밖에 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

변 AC 구하기

모서리 삼각형 $ABC$에서 $AB=1$, $BC=r$, $\angle B = 120^\circ$이다.
$A$에서 직선 $BC$에 수선을 내리면 $\angle ABC = 120^\circ$이므로 수선의 발이 선분 밖에 떨어지고, $B$ 근처의 작은 직각삼각형은 빗변이 $AB=1$인 $30\text{-}60\text{-}90$ 삼각형이 된다.
두 변은 $\tfrac{1}{2}$(수평)과 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$(수직)이다.
발에서 $C$까지의 수평 거리는 $r + \tfrac{1}{2}$이므로 피타고라스 정리로 $AC^2$을 얻는다.

$$AC^2 = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(r + \tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{3}{4} + r^2 + r + \tfrac{1}{4} = r^2 + r + 1$$

💡 $120^\circ$ 모서리는 깔끔한 $30\text{-}60\text{-}90$ 삼각형으로 갈라지므로, 삼각비 없이 피타고라스만으로 길이가 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

삼각형 ACE의 넓이

한 변이 $s$인 정삼각형의 높이는 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}s$이므로(또 하나의 $30\text{-}60\text{-}90$ 분할), 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot s \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}s = \tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$이다.
여기서 $s^2 = AC^2 = r^2 + r + 1$이다.

$$[\triangle ACE] = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,(r^2 + r + 1)$$

💡 정삼각형은 $s^2$만 있으면 넓이가 나오는데, 그것은 이미 $r^2+r+1$로 구해 두었다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 4

육각형의 넓이

짧은 세 변($AB$, $CD$, $EF$)을 연장해 서로 만나게 하면, 등각육각형은 세 모서리를 잘라낸 하나의 큰 정삼각형이 된다.
잘린 각 모서리는 한 변이 $1$(짧은 변)인 정삼각형이고, 큰 삼각형의 한 변은 $r + 2$(긴 변 $r$의 양쪽에 단위 모서리 조각이 하나씩)이다.
큰 것에서 세 단위 삼각형을 빼면 된다.

$$[\text{육각형}] = \tfrac{\sqrt{3}}{4}(r+2)^2 - 3\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}(1)^2 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\big[(r+2)^2 - 3\big] = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,(r^2 + 4r + 1)$$

💡 반듯한 등각육각형은 결국 큰 정삼각형의 세 꼭짓점을 잘라낸 것일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 5

방정식 세우고 정리하기

$70\%$ 조건을 대입한다.
양변의 공통인수 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$가 소거되어 $r$에 대한 간단한 방정식만 남는다.
$0.7$을 분배하고, 모든 항을 한쪽으로 옮긴 뒤 $0.3$으로 나눈다.

$$r^2 + r + 1 = 0.7\,(r^2 + 4r + 1) \;\Rightarrow\; 0.3r^2 - 1.8r + 0.3 = 0 \;\Rightarrow\; r^2 - 6r + 1 = 0$$

💡 지저분한 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ 인수가 양변에 똑같이 있으므로, 도형 문제가 깔끔한 이차식 하나로 줄어든다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 6

모든 유효한 r의 합

$r^2 - 6r + 1 = 0$을 푼다.
판별식이 $36 - 4 = 32 > 0$이므로 두 실근이 있고, 합 $6$과 곱 $1$이 모두 양수이므로 두 근 모두 양수이며 유효하다.
두 근은 $3 \pm 2\sqrt{2}$이고, 그 합은 $6$이다(즉 $r^2 - 6r + 1$의 근의 합은 $-\tfrac{-6}{1} = 6$).

$$r = \dfrac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}; \quad (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}\ 6$$

💡 각 근을 따로 구할 필요조차 없다. $r^2-6r+1$의 근의 합은 가운데 계수의 부호를 뒤집은 값일 뿐이다.

[1] #1 8.G.A.2 세 모서리 삼각형 $ABC$, $CDE$, $EFA$를 보자. 각각 짧은 변 $1$, 긴 변 $r$, 그리고 낀 각이 육각형의 $120^\cir

[2] #7 8.G.B.7 모서리 삼각형 $ABC$에서 $AB=1$, $BC=r$, $\angle B = 120^\circ$이다. $A$에서 직선 $BC$에 수선을 내리면

[3] #7 6.G.A.1 한 변이 $s$인 정삼각형의 높이는 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}s$이므로(또 하나의 $30\text{-}60\text{-}90$ 분할)

[4] #7 7.G.B.6 짧은 세 변($AB$, $CD$, $EF$)을 연장해 서로 만나게 하면, 등각육각형은 세 모서리를 잘라낸 하나의 큰 정삼각형이 된다. 잘린 각

[5] #4 8.EE.C.7 $70\%$ 조건을 대입한다. 양변의 공통인수 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$가 소거되어 $r$에 대한 간단한 방정식만 남는다. $0.7

[6] #4 8.EE.C.7 $r^2 - 6r + 1 = 0$을 푼다. 판별식이 $36 - 4 = 32 > 0$이므로 두 실근이 있고, 합 $6$과 곱 $1$이 모두 양수이

검토

합리성 확인: 한 근을 검산하자. $r = 3 + 2\sqrt{2} \approx 5.828$이면 $r^2 + r + 1 \approx 33.97 + 5.83 + 1 = 40.80$이고 $r^2 + 4r + 1 \approx 33.97 + 23.31 + 1 = 58.28$이므로, 비율 $40.80/58.28 \approx 0.700$으로 정확히 요구된 $70\%$이다. 다른 근 $r = 3 - 2\sqrt{2} \approx 0.172$도 서로 다르지만 여전히 양수인 육각형을 준다. 따라서 $r$의 값은 실제로 두 개 존재하며 둘 다 세어야 한다. 그 합은 $6$으로 (E)와 일치한다. 답이 깔끔한 정수라는 점도 '모든 가능한 값의 합'을 묻는 대회 문제와 잘 맞는다.

대안 접근: 큰 삼각형 그림 대신, 육각형을 $\triangle ACE$에 세 모서리 삼각형을 더한 것으로 만들 수도 있다. 각 모서리 삼각형 $ABC$의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot AB \cdot BC \cdot \sin 120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{4}r$이므로 셋을 합하면 $\tfrac{3\sqrt{3}}{4}r$이다. 그러면 $[\text{육각형}] = [\triangle ACE] + \tfrac{3\sqrt{3}}{4}r = \tfrac{\sqrt{3}}{4}(r^2 + r + 1) + \tfrac{3\sqrt{3}}{4}r = \tfrac{\sqrt{3}}{4}(r^2 + 4r + 1)$로 같은 육각형 넓이가 나오고, 같은 이차식 $r^2 - 6r + 1 = 0$과 같은 합 $6$을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.2 Understand that a two-dimensional figure is congruent to another using transformations (세 모서리 삼각형이 합동(SAS)임을 보여 $\triangle ACE$가 정삼각형이 되도록 하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles ($120^\circ$ 모서리의 $30\text{-}60\text{-}90$ 분할로부터 $AC^2 = r^2 + r + 1$을 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing ($\triangle ACE$의 정삼각형 넓이 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$을 계산하는 데 사용.)
7.G.B.6 Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (육각형 넓이를 큰 정삼각형에서 세 단위 모서리 삼각형을 뺀 것으로 구하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($70\%$ 넓이 조건을 $r^2 - 6r + 1 = 0$으로 줄이고 그 근의 합을 읽어내는 데 사용.)

⭐ 두 넓이를 모두 $r$로 나타내자. 안쪽 삼각형은 한 변의 제곱이 $r^2+r+1$인 정삼각형이고, 육각형은 큰 삼각형에서 세 단위 모서리를 뺀 것으로 넓이 인수가 $r^2+4r+1$이다. $70\%$ 규칙은 $r^2 - 6r + 1 = 0$이 되고, 두 근의 합은 $\textbf{(E)}\ 6$이다.