AMC 10 · 2010 · #21
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AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #14 (극단의 원리): 문제가 가장 작은 a 를 물으므로, a 가 무엇에 달려 있는지 알아낸 뒤 그 값을 최소로 밀어붙인다. 도구 #4 (변수 도입하기): 세 근을 p,q,r 로 이름 붙이면 다항식이 일차식들의 곱이 되어 계수를 바로 읽어낼 수 있다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): (i) a 를 근과 연결하기, (ii) 2010을 소인수분해하기, (iii) 인수들을 묶기, (iv) 최소화하기 로 나눈다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 2010을 세 개의 정수 인수로 나누는 방법은 몇 가지뿐이므로 모두 적어 그 합을 비교한다.
근에 이름을 붙여 인수분해하기
세 양의 정수 근을 p, q, r이라 하면, 같은 삼차식을 곱 (x-p)(x-q)(x-r)로 다시 쓸 수 있다.
다항식의 근은 각 인수를 0으로 만드는 수이므로, (x-근) 조각들의 곱으로 쓰면 근이 한눈에 드러난다.
6.EE.A.2Introduce A Variable계수를 맞춰 a 정하기
전개해 항끼리 맞추면 상수항은 -pqr, x² 항은 -(p+q+r)이므로 pqr=2010, a=p+q+r이다.
인수분해된 형태를 전개해 같은 항끼리 비교하면 숨어 있던 계수 a 가 근들의 합이라는 구체적인 값으로 바뀐다.
인수분해된 꼴을 펼쳐 같은 항끼리 견주면, 숨어 있던 계수가 근의 합으로 드러난다.
▸ 왜?
모든 값에서 같은 두 식은 항마다 일치해야 한다.
▸ 왜?
그 일치가 바로 계수를 근의 합과 곱으로 바꾸어 놓는다.
2010을 소인수로 분해하기
차례로 나누면 2010=2·3·5·67인데, 소수는 넷이고 근은 셋이라 둘을 합쳐야 한다.
모든 정수는 정해진 소수들의 묶음이므로, 2010의 어떤 인수 집합도 결국 그 묶음 {2,3,5,67}을 몇 조로 나누는 방법일 뿐이다.
4.OA.B.4Identify Subproblems세 인수를 만드는 모든 방법 나열하기
합칠 쌍이 여섯 가지이니 세 근 조합도 여섯 개, 그 합은 78, 80, 84, 142, 208, 340이다.
모든 묶음을 빠짐없이 적어 두면 더 작은 합이 숨어 있어도 놓치지 않는다.
4.OA.B.4Make A Systematic List가장 작은 합 고르기
가장 작은 두 소수 2와 3을 합쳐 근 6, 5, 67을 두면 합이 가장 작아, a는 78, 곧 선택지 (A)이다.
곱이 고정된 상태에서 인수들을 최대한 고르게 유지하면 그 합이 작아지므로, 가장 작은 두 소수를 합치는 것이 손해가 가장 적다.
6.EE.B.5Extreme Principle세 근을 곱하면 2010이고 a는 그 합이므로, 2010의 소수 2·3·5·67을 최대한 고른 세 인수로 나누면 6, 5, 67이 되어 a=78이다.
- 근에 이름을 붙여 인수분해하기
- 계수를 맞춰 a 정하기
- 2010을 소인수로 분해하기
- 세 인수를 만드는 모든 방법 나열하기
- 가장 작은 합 고르기