AMC 10 · 2010 · #21

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

vieta-formulasprime-factorizationpolynomial-rootsoptimization extreme-principle ↑ 선수 지식: vieta-formulas

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다항식 $x^3-ax^2+bx-2010$ 이 세 개의 양의 정수근을 갖는다. $a$ 로 가능한 가장 작은 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

108

(E)

118

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼차식 $x^3-ax^2+bx-2010$ 의 세 근이 모두 양의 정수이다. 이런 조건을 만족하는 모든 삼차식 중에서 계수 $a$ 가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하라.

주어진 것: 다항식은 최고차항의 계수가 $1$ 인 $x^3-ax^2+bx-2010$ 이다; 세 근이 모두 양의 정수이다; 상수항은 $-2010$ 이다; 선택지: (A) $78$, (B) $88$, (C) $98$, (D) $108$, (E) $118$

구하는 것: $a$ 가 가질 수 있는 가장 작은 값

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

도구 #14 (극단의 원리): 문제가 가장 작은 $a$ 를 물으므로, $a$ 가 무엇에 달려 있는지 알아낸 뒤 그 값을 최소로 밀어붙인다. 도구 #4 (변수 도입하기): 세 근을 $p,q,r$ 로 이름 붙이면 다항식이 일차식들의 곱이 되어 계수를 바로 읽어낼 수 있다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): (i) $a$ 를 근과 연결하기, (ii) $2010$ 을 소인수분해하기, (iii) 인수들을 묶기, (iv) 최소화하기 로 나눈다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): $2010$ 을 세 개의 정수 인수로 나누는 방법은 몇 가지뿐이므로 모두 적어 그 합을 비교한다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

근에 이름을 붙여 인수분해하기

세 양의 정수 근을 $p$, $q$, $r$ 이라 하자.
최고차항의 계수가 $1$ 이고 근이 $p,q,r$ 인 삼차식은 곱 $(x-p)(x-q)(x-r)$ 로 쓸 수 있다.
이것은 $x^3-ax^2+bx-2010$ 과 같은 다항식이며, 근이 바로 보이도록 형태만 바꾼 것이다.

$$x^3-ax^2+bx-2010=(x-p)(x-q)(x-r)$$

💡 다항식의 근은 각 인수를 $0$ 으로 만드는 수이므로, $(x-\text{근})$ 조각들의 곱으로 쓰면 근이 한눈에 드러난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 2

계수를 맞춰 a 정하기

$(x-p)(x-q)(x-r)$ 을 전개해서 $x^3-ax^2+bx-2010$ 과 항끼리 맞춘다.
상수항은 $-pqr$ 이고, $x^2$ 항은 $-(p+q+r)x^2$ 이다.
항끼리 비교하면 세 근의 곱이 $2010$ 이고 $a$ 는 세 근의 합임을 알 수 있다.
따라서 $a$ 를 최소화하는 것은 곱이 $2010$ 으로 고정된 세 양의 정수의 합을 최소화하는 것과 같다.

$(x-p)(x-q)(x-r)=x^3-(p+q+r)x^2+(pq+qr+rp)x-pqr$ 이므로 $pqr=2010$, $a=p+q+r$

💡 인수분해된 형태를 전개해 같은 항끼리 비교하면 숨어 있던 계수 $a$ 가 근들의 합이라는 구체적인 값으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

2010을 소인수로 분해하기

곱이 $2010$ 인 세 정수 근을 만들려면 먼저 $2010$ 을 소인수로 쪼갠다.
차례로 나누면 $2010=2\cdot1005=2\cdot3\cdot335=2\cdot3\cdot5\cdot67$ 이다.
소인수는 네 개인데 근은 세 개만 필요하므로, 이 소수들 중 둘을 곱해 하나의 근으로 만들어야 한다.

$$2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$$

💡 모든 정수는 정해진 소수들의 묶음이므로, $2010$ 의 어떤 인수 집합도 결국 그 묶음 $\{2,3,5,67\}$ 을 몇 조로 나누는 방법일 뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

세 인수를 만드는 모든 방법 나열하기

세 근을 얻으려면 네 소수 중 둘을 골라 하나의 근으로 합치고, 남은 두 소수를 나머지 두 근으로 둔다.
어떤 쌍을 합칠지는 여섯 가지뿐이며, 각각에 대해 세 인수의 합을 구한다:

$$\{6,5,67\}\to78,\ \{10,3,67\}\to80,\ \{15,2,67\}\to84,\ \{134,3,5\}\to142,\ \{201,2,5\}\to208,\ \{335,2,3\}\to340$$

💡 모든 묶음을 빠짐없이 적어 두면 더 작은 합이 숨어 있어도 놓치지 않는다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.5 단계 5

가장 작은 합 고르기

합은 가장 작은 두 소수 $2$ 와 $3$ 을 합쳐 근 $6$ 을 만들고 $5$ 와 $67$ 을 남길 때 가장 작다.
이렇게 하면 큰 소수 $67$ 이 더 커지지 않고, 세 인수가 소수가 허락하는 한 가장 고르게 된다.
합은 $6+5+67=78$ 이므로 가장 작은 $a$ 는 $78$ 이고, 이는 선택지 (A) 이다.

$$a_{\min}=6+5+67=78$$

💡 곱이 고정된 상태에서 인수들을 최대한 고르게 유지하면 그 합이 작아지므로, 가장 작은 두 소수를 합치는 것이 손해가 가장 적다.

[1] #4 6.EE.A.2 세 양의 정수 근을 $p$, $q$, $r$ 이라 하자. 최고차항의 계수가 $1$ 이고 근이 $p,q,r$ 인 삼차식은 곱 $(x-p)(x-q)

[2] #7 7.EE.A.1 $(x-p)(x-q)(x-r)$ 을 전개해서 $x^3-ax^2+bx-2010$ 과 항끼리 맞춘다. 상수항은 $-pqr$ 이고, $x^2$ 항은

[3] #7 4.OA.B.4 곱이 $2010$ 인 세 정수 근을 만들려면 먼저 $2010$ 을 소인수로 쪼갠다. 차례로 나누면 $2010=2\cdot1005=2\cdot3\

[4] #2 4.OA.B.4 세 근을 얻으려면 네 소수 중 둘을 골라 하나의 근으로 합치고, 남은 두 소수를 나머지 두 근으로 둔다. 어떤 쌍을 합칠지는 여섯 가지뿐이며,

[5] #14 6.EE.B.5 합은 가장 작은 두 소수 $2$ 와 $3$ 을 합쳐 근 $6$ 을 만들고 $5$ 와 $67$ 을 남길 때 가장 작다. 이렇게 하면 큰 소수 $6

검토

합리성 확인: 세 근 $6$, $5$, $67$ 을 곱하면 $6\cdot5\cdot67=2010$ 으로 상수항과 맞고, 셋 다 양의 정수이므로 이 삼차식은 실제로 존재한다. 다른 모든 묶음은 더 큰 합($80$, $84$ 등)을 주었으므로 $78$ 이 진짜 최솟값이다. 또한 이는 선택지 중 가장 작은 값이어서, 가장 작은 $a$ 를 묻는 문제에 딱 맞는다. $30$ 과 $67$ 을 짝지어 $30\cdot67=2010$, 합 $98$ 로 보이는 함정이 있지만, 가장 작은 두 소수를 합치는 것이 더 낫다는 점을 놓친 것이다.

대안 접근: 묶음을 나열하는 대신 극단의 원리로 바로 논증할 수도 있다. 소수 $67$ 은 정확히 하나의 근 안에 들어가야 하고, $67$ 을 품은 인수는 이미 최소 $67$ 이다. 총합을 낮추려면 $67$ 을 그 자체로 한 근으로 두고, 남은 곱 $2\cdot3\cdot5=30$ 을 나머지 두 근으로 최대한 고르게, 즉 $6$ 과 $5$ 로 나눈다. 그러면 다시 $67+6+5=78$ 이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (세 근을 $p,q,r$ 로 이름 붙이고 삼차식을 $(x-p)(x-q)(x-r)$ 로 쓰는 데 사용.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions (세 인수의 곱을 전개하고 계수를 맞춰 $pqr=2010$ 과 $a=p+q+r$ 을 얻는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$ 로 소인수분해하고 소수들을 세 인수로 묶는 방법을 나열하는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (후보 합들을 비교해 $a$ 가 가장 작아지는 값을 찾는 데 사용.)

⭐ 세 근을 곱하면 $2010$ 이고 $a$ 는 그 합이므로, $2010$ 의 소수 $2\cdot3\cdot5\cdot67$ 을 최대한 고른 세 인수로 나누면 $6$, $5$, $67$ 이 되어 $a=78$ 이다.