AMC 10 · 2010 · #22

학년 7 counting
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type
combinations-basicsystematic-enumeration easier-related-problem ↑ 선수 지식: combinations-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
원 위에 점 8개가 있고, 두 점을 잇는 현을 모든 쌍에 대해 긋는다. 그러면 원 안이 수많은 교차점으로 채워진다. 어떤 세 현도 원 안의 한 점에서 동시에 만나지는 않는다. 세 꼭짓점이 모두 원 안쪽에 있는 삼각형이 몇 개 생기는지 세어라. 즉 꼭짓점이 원 위의 점이 아니라 현끼리 만나는 교차점인 삼각형을 세는 것이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
28
(B)
56
(C)
70
(D)
84
(E)
140

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

삼각형을 정면으로 세는 것은 무리다 — 원 안쪽은 얽힌 현들의 덤불이다. 핵심은 무엇을 셀지 바꾸는 것(도구 #16)이다. 먼저 그림을 그려(도구 #1) 삼각형의 꼭짓점이 현의 교차점임을 보고, 삼각형을 부품으로 쪼갠다(도구 #7): 끝점을 공유하지 않는 세 현이며, 이는 8개 점 중 정확히 6개를 정한다. 다음으로 점이 6개뿐인 작은 경우를 풀어(도구 #9) 6개의 점이 언제나 삼각형을 정확히 하나 만든다는 것을 확인한다. 이 일대일 대응 덕분에 삼각형을 쫓는 대신 6개 점 묶음을 세면 되고, 이는 간단한 조합 세기(도구 #2)다. 대수도, 각 추적도 필요 없다 — 깔끔한 대응 하나뿐이다.

1STEP 1

꼭짓점이 어디 있는지 보기

꼭짓점은 원 위의 점이 아니라 두 현이 안에서 만나는 점이다. 삼각형은 서로 엇갈리는 세 현이다.

안쪽 꼭짓점 = 두 현의 교차점
2STEP 2

세 교차점에는 여섯 점이 필요하다

끝점을 공유한 현은 원 위에서 만나므로, 삼각형의 세 현은 8개 점 중 6개를 쓴다.

3개 현 × 2개 끝점 = 6개의 서로 다른 점
3STEP 3

여섯 점은 삼각형을 정확히 하나 만든다

여섯 점을 1부터 6까지 두면 서로 엇갈리는 현은 1-4, 2-5, 3-6뿐이라 삼각형은 정확히 하나다.

{1-4, 2-5, 3-6} → 정확히 삼각형 1개
4STEP 4

삼각형 대신 점 묶음을 세기

삼각형과 6점 묶음이 일대일로 짝지어지므로, 8개 점 중 6개를 고르는 방법을 세면 된다.

#삼각형 = #{8개 점 중 6개를 고르는 방법}
5STEP 5

8개 중 6개 고르기

6개를 남기는 것은 2개를 빼는 것과 같아 C(8, 6)=C(8, 2)=(8×7)/2=28, 선택지 (A)다.

C(8, 6)=C(8, 2)=(8 × 7)/2=28 → (A)
정답
28
28이 그럴듯한가? 점 8개로 안쪽 교차점은 모두 C(8, 4)=70개이고 삼각형 하나는 그중 3개를 쓰므로, 대략적인 상한만 봐도 28개는 타당하다. 반면 더 큰 선택지(56, 70, 84, 140)는 기하가 허용하는 것보다 훨씬 많은 '서로 엇갈리는 현 세 쌍'을 요구한다. 대응은 빈틈이 없다: 어떤 삼각형도 점을 6개보다 적게 쓸 수 없고(서로 닿지 않는 세 현을 더 적은 점으로 만들 수 없다) 6개보다 많이 쓸 수도 없으며(세 현의 끝점은 6개뿐), 6점 묶음마다 삼각형이 정확히 하나이므로 중복도 누락도 없다. C(8, 6)=28, 즉 선택지 (A)가 성립한다.
💡핵심 정리

안쪽 삼각형은 모두 원 위 점 여섯 개에서 태어나므로, 8개 중 6개를 고르는 방법만 세면 된다: C(8, 6)=28.

  • 꼭짓점이 어디 있는지 보기
  • 세 교차점에는 여섯 점이 필요하다
  • 여섯 점은 삼각형을 정확히 하나 만든다
  • 삼각형 대신 점 묶음을 세기
  • 8개 중 6개 고르기

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