AMC 10 · 2010 · #22

학년 7 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

combinations-basicsystematic-enumeration easier-related-problem ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원 위에 여덟 개의 점을 잡고, 모든 두 점의 쌍을 잇는 현을 그린다. 원 내부에서 세 현이 한 점에서 만나는 경우는 없다. 세 꼭짓점이 모두 원의 내부에 있는 삼각형은 몇 개 만들어지는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

140

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원 위에 점 8개가 있고, 두 점을 잇는 현을 모든 쌍에 대해 그으면 원 안이 수많은 교차점으로 채워진다. 어떤 세 현도 원 안의 한 점에서 동시에 만나지는 않는다. 세 꼭짓점이 모두 원 **안쪽**에 있는 삼각형, 즉 꼭짓점이 원 위의 점이 아니라 현끼리 만나는 교차점인 삼각형이 몇 개나 생기는지 세어라.

주어진 것: 원 위에 점 8개가 있고 모든 쌍이 현으로 연결된다 (현은 모두 $\binom{8}{2}=28$개 그어진다); 어떤 세 현도 원 안의 한 점에서 만나지 않으므로, 안쪽 교차점 하나는 정확히 현 한 쌍에서 생긴다; 우리가 원하는 것은 세 꼭짓점이 모두 안쪽 교차점인 삼각형뿐이며, 원 위의 8개 점은 꼭짓점이 아니다; 선택지: (A) 28, (B) 56, (C) 70, (D) 84, (E) 140

구하는 것: 세 꼭짓점이 모두 원 안쪽에 있는 삼각형의 개수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기

삼각형을 정면으로 세는 것은 무리다 — 원 안쪽은 얽힌 현들의 덤불이다. 핵심은 **무엇을 셀지 바꾸는 것**(도구 #16)이다. 먼저 그림을 그려(도구 #1) 삼각형의 꼭짓점이 현의 교차점임을 보고, 삼각형을 부품으로 쪼갠다(도구 #7): 끝점을 공유하지 않는 세 현이며, 이는 8개 점 중 정확히 6개를 정한다. 다음으로 점이 6개뿐인 작은 경우를 풀어(도구 #9) 6개의 점이 언제나 삼각형을 **정확히 하나** 만든다는 것을 확인한다. 이 일대일 대응 덕분에 삼각형을 쫓는 대신 6개 점 묶음을 세면 되고, 이는 간단한 조합 세기(도구 #2)다. 대수도, 각 추적도 필요 없다 — 깔끔한 대응 하나뿐이다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 1

꼭짓점이 어디 있는지 보기

원 위에 점 8개를 찍고 현 몇 개를 그려 보자.
'세 꼭짓점이 모두 안쪽에 있는' 삼각형은 원 위의 점을 꼭짓점으로 쓰지 **않는다**.
세 꼭짓점 각각은 두 현이 원 **안에서** 만나는 점이다.
그러니 여기서 삼각형이란 사실 서로 두 개씩 엇갈려 만나 가운데에 작은 삼각형을 가두는 세 현을 말한다.

$$\text{안쪽 꼭짓점} = \text{두 현의 교차점}$$

💡 삼각형의 꼭짓점은 현의 교차점이므로, 삼각형은 서로 두 개씩 엇갈리는 세 현일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

세 교차점에는 여섯 점이 필요하다

안쪽 교차점 하나는 두 현으로 만들어지고, 두 현은 원 위의 끝점을 $2+2=4$개 쓴다.
삼각형은 꼭짓점이 세 개이므로 — 서로 만나는 변마다 현 하나씩 — 세 현으로 이루어진다.
세 현이 모두 안에서 엇갈리려면 두 현이 끝점을 공유해서는 안 된다 (끝점을 공유하는 현은 원 **위**에서 만나지 안쪽에서 만나지 않는다).
끝점을 공유하지 않는 세 현은 서로 다른 점 $3\times 2 = 6$개를 쓰므로, 모든 안쪽 삼각형은 8개 점 중 정확히 6개를 쓴다.

$$3\text{개 현}\times 2\text{개 끝점} = 6\text{개의 서로 다른 점}$$

💡 삼각형은 끝점을 결코 공유하지 않는 세 현이므로, 언제나 원 위 점을 정확히 여섯 개 쓴다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.A.2 단계 3

여섯 점은 삼각형을 정확히 하나 만든다

점 8개 중 6개만 확대해서 보고, 원을 돌며 $1$부터 $6$까지 이름을 붙이자.
어떤 세 현이 서로 두 개씩 안에서 엇갈릴까?
마주 보는 점을 잇는 세 '긴' 현, 즉 $1\text{-}4$, $2\text{-}5$, $3\text{-}6$뿐이다.
이 셋은 서로 엇갈려 가운데에 삼각형 하나를 가둔다.
여섯 점을 다른 방식으로 짝지으면 안에서 절대 만나지 않는 현이 적어도 둘 생겨 삼각형이 만들어지지 않는다.
따라서 6개 점 묶음 하나는 안쪽 삼각형을 **정확히 하나** 만든다.

$$\{1\text{-}4,\ 2\text{-}5,\ 3\text{-}6\}\ \Rightarrow\ \text{정확히 삼각형 }1\text{개}$$

💡 여섯 점을 고르면 서로 엇갈리는 세 현을 그리는 방법은 하나뿐이므로, 여섯 점은 언제나 삼각형 하나를 뜻한다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 4

삼각형 대신 점 묶음을 세기

3단계는 삼각형과 6점 묶음이 완벽하게 짝을 이룬다고 말한다: 모든 안쪽 삼각형은 자신의 꼭짓점을 낳은 6개의 원 위 점을 되가리키고, 6개 점을 고를 때마다 삼각형이 정확히 하나 되돌아온다.
그러니 현의 덤불 속에서 삼각형을 쫓는 대신 **8개 점 중 6개를 고르는** 방법이 몇 가지인지만 세면 된다.
그 수가 곧 삼각형의 개수다.

$$\#\text{삼각형} = \#\{\text{8개 점 중 6개를 고르는 방법}\}$$

💡 삼각형 하나가 여섯 점 묶음 하나와 정확히 대응하므로, 묶음을 세면 삼각형이 세어진다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 5

8개 중 6개 고르기

남길 6개 점을 고르는 것은 빼낼 2개 점을 고르는 것과 같으므로, 그 수는 $\binom{8}{6}=\binom{8}{2}$이다.
빼낼 첫 점을 고르는 방법이 $8$가지, 둘째가 $7$가지이고, 순서는 상관없어 각 쌍이 두 번씩 세어지므로 $\tfrac{8\times 7}{2}=28$이다.
따라서 안쪽 삼각형은 $28$개이며, 이는 선택지 **(A)**이다.

$$\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=\dfrac{8\times 7}{2}=28\ \Rightarrow\ \textbf{(A)}$$

💡 남길 6개를 고르는 것은 뺄 2개를 고르는 것과 같고, 그런 쌍은 $8\times 7/2 = 28$개다.

[1] #1 7.G.A.2 원 위에 점 8개를 찍고 현 몇 개를 그려 보자. '세 꼭짓점이 모두 안쪽에 있는' 삼각형은 원 위의 점을 꼭짓점으로 쓰지 **않는다**. 세

[2] #7 7.SP.C.8 안쪽 교차점 하나는 두 현으로 만들어지고, 두 현은 원 위의 끝점을 $2+2=4$개 쓴다. 삼각형은 꼭짓점이 세 개이므로 — 서로 만나는 변마다

[3] #9 7.G.A.2 점 8개 중 6개만 확대해서 보고, 원을 돌며 $1$부터 $6$까지 이름을 붙이자. 어떤 세 현이 서로 두 개씩 안에서 엇갈릴까? 마주 보는 점

[4] #16 7.SP.C.8 3단계는 삼각형과 6점 묶음이 완벽하게 짝을 이룬다고 말한다: 모든 안쪽 삼각형은 자신의 꼭짓점을 낳은 6개의 원 위 점을 되가리키고, 6개 점

[5] #2 3.OA.A.1 남길 6개 점을 고르는 것은 빼낼 2개 점을 고르는 것과 같으므로, 그 수는 $\binom{8}{6}=\binom{8}{2}$이다. 빼낼 첫 점

검토

합리성 확인: $28$이 그럴듯한가? 점 8개로 안쪽 교차점은 모두 $\binom{8}{4}=70$개이고 삼각형 하나는 그중 3개를 쓰므로, 대략적인 상한만 봐도 $28$개는 타당하다. 반면 더 큰 선택지(56, 70, 84, 140)는 기하가 허용하는 것보다 훨씬 많은 '서로 엇갈리는 현 세 쌍'을 요구한다. 대응은 빈틈이 없다: 어떤 삼각형도 점을 6개보다 적게 쓸 수 없고(서로 닿지 않는 세 현을 더 적은 점으로 만들 수 없다) 6개보다 많이 쓸 수도 없으며(세 현의 끝점은 6개뿐), 6점 묶음마다 삼각형이 정확히 하나이므로 중복도 누락도 없다. $\binom{8}{6}=28$, 즉 선택지 (A)가 성립한다.

대안 접근: 관점을 바꾸는 대신 교차점을 통해 직접 세어도 된다. 안쪽 교차점 하나는 원 위 점 4개로 정해지고, 삼각형은 그런 교차점 3개다. 한 삼각형의 세 꼭짓점이 자신의 점들을 어떻게 나눠 쓰는지 추적하면 — 겹쳐서 삼각형 전체가 점 6개만 쓰고 각 점이 세 현 중 둘에 쓰인다 — 같은 '삼각형 ↔ 여섯 점' 대응이 강제되어 총합은 다시 $\binom{8}{6}=28$이다. 관점을 바꾸는 대신 교차점을 장부처럼 정리해 같은 답에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.A.2 Draw geometric shapes with given conditions including triangles (원, 현, 안쪽 작은 삼각형을 그리고, 어떤 6개 점에서도 서로 엇갈리는 세 현(1-4, 2-5, 3-6) 한 조합만이 삼각형을 만든다는 것을 확인하는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (서로 닿지 않는 세 현이 끝점을 정확히 6개 쓴다는 것을 따지고, 안쪽 삼각형과 6점 묶음 사이의 일대일 대응으로 세기를 정리하는 데 사용.)
3.OA.A.1 Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups (8개 점 중 6개를 고르는 방법의 수를 $\binom{8}{2}=\tfrac{8\times 7}{2}=28$로 계산하는 데 사용.)

⭐ 안쪽 삼각형은 모두 원 위 점 여섯 개에서 태어나므로, 8개 중 6개를 고르는 방법만 세면 된다: $\binom{8}{6}=28$.