AMC 10 · 2010 · #23

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

probability-basictelescoping-sumconditional-probability bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 줄로 놓인 $2010$ 개의 상자 각각에는 빨간 구슬이 하나씩 들어 있고, $1 \le k \le 2010$ 에 대하여 $k\text{th}$ 위치의 상자에는 흰 구슬도 $k$ 개 들어 있다. 이사벨라는 첫 번째 상자에서 시작하여 순서대로 각 상자에서 무작위로 구슬을 하나씩 뽑는다. 그녀는 빨간 구슬을 처음 뽑는 순간 멈춘다. $P(n)$ 을 이사벨라가 정확히 $n$ 개의 구슬을 뽑은 뒤 멈출 확률이라 하자. $P(n) < \frac{1}{2010}$ 이 되는 가장 작은 $n$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

201

(E)

1005

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 상자 2010개가 한 줄로 놓여 있다. $k$번째 상자에는 빨간 구슬 1개와 흰 구슬 $k$개가 들어 있다. 이자벨라는 1번 상자, 2번 상자 순서로 각 상자에서 구슬을 하나씩 무작위로 뽑고, 처음으로 빨간 구슬을 뽑는 순간 멈춘다. $P(n)$을 정확히 $n$번째 뽑기에서 멈출 확률이라 할 때, $P(n)<\frac{1}{2010}$이 되는 가장 작은 $n$을 구하여라.

주어진 것: $k$번째 상자에는 빨간 구슬 1개와 흰 구슬 $k$개가 있어 모두 $k+1$개다; 1번 상자부터 순서대로 각 상자에서 한 번씩 뽑는다; 빨간 구슬을 뽑는 즉시 멈춘다; $P(n)$은 정확히 $n$번 뽑고 멈출 확률이다; 선택지: (A) $45$, (B) $63$, (C) $64$, (D) $201$, (E) $1005$

구하는 것: $P(n)<\frac{1}{2010}$이 되는 가장 작은 $n$

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기

도구 #5 (패턴 찾기): $P(n)$을 분수들의 곱으로 쓰면 분자와 분모가 사슬처럼 차례로 지워지면서, 무서워 보이던 곱이 아주 작은 식 $\frac{1}{n(n+1)}$로 접힌다는 점이 문제의 핵심이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): $n$번 상자에서 멈추는 것은 상자마다 하나씩의 조건 — 흰, 흰, ..., 흰, 그다음 빨강 — 이므로 각 상자의 확률을 따로 구해 곱한다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): $P(n)=\frac{1}{n(n+1)}$이 되면 조건은 $n(n+1)>2010$이 되고, $\sqrt{2010}$ 근처의 $n$ 값을 넣어 처음으로 부등식이 성립하는 곳을 찾는 것이 가장 빠르다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.5 단계 1

한 상자의 두 확률

$k$번 상자에는 빨간 구슬 1개와 흰 구슬 $k$개가 있어 모두 $k+1$개다.
$k$번 상자에서 흰 구슬을 뽑을 확률은 $\frac{k}{k+1}$이고, 빨간 구슬을 뽑을 확률은 $\frac{1}{k+1}$이다.
이 둘을 더하면 마땅히 1이 된다.

$$P(\text{상자 }k\text{에서 흰색})=\frac{k}{k+1},\qquad P(\text{상자 }k\text{에서 빨강})=\frac{1}{k+1}$$

💡 상자에 흰 구슬이 많을수록 흰색이 더 잘 나오고 빨강이 덜 나오며, 이는 분수 그대로다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

n번 상자에서 멈추려면

정확히 $n$번 뽑고 멈추려면, 이자벨라는 상자 $1,2,\ldots,n-1$에서 모두 흰 구슬을 뽑아 계속 진행하고, 그다음 $n$번 상자에서 빨간 구슬을 뽑아 멈춰야 한다.
상자마다의 뽑기는 독립이므로 확률들을 서로 곱한다.

$$P(n)=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n+1}$$

💡 독립인 뽑기가 연달아 일어날 확률은 각 확률의 곱이며, 상자마다 인수가 하나씩이다.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.4 단계 3

곱이 사슬처럼 지워진다

흰 구슬 곱 $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n-1}{n}$을 보자.
각 분자는 바로 앞 분수의 분모와 지워진다.
위의 2는 아래의 2와, 3은 3과 지워지며 사슬을 따라 계속된다.
살아남는 것은 첫 분자 $1$과 마지막 분모 $n$뿐이어서 $\frac{1}{n}$이 남는다.

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$$

💡 각 분자가 다음 분모와 맞아떨어지는 분수 사슬에서는 가운데가 모두 지워지고 양 끝만 남는다.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.4 단계 4

P(n)의 깔끔한 식

이제 접힌 곱에 빨간 구슬 인수 $\frac{1}{n+1}$을 곱하면 $P(n)=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$이다.
지저분하던 곱이 하나의 깔끔한 분수가 되었다.

$$P(n)=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$$

💡 사슬 소거는 긴 곱을 다룰 수 있는 하나의 작은 분수로 바꿔 준다.

#5 패턴 찾기 6.EE.B.5 단계 5

목표를 부등식으로 바꾸기

우리가 원하는 것은 $P(n)<\frac{1}{2010}$, 즉 $\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2010}$이다.
양수에서는 분수가 작을수록 분모가 크므로, 이는 $n(n+1)>2010$과 같다.

$$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2010}\iff n(n+1)>2010$$

💡 단위분수들 중에서는 분모가 큰 쪽이 더 작은 수다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 6

성립하는 가장 작은 n 찾기

이제 $n$ 값을 넣어 본다.
$n(n+1)$은 $n$이 커질수록 커지므로 $\sqrt{2010}\approx 44.8$ 근처를 살핀다.
$n=44$이면 $44\cdot 45=1980$으로 $2010$을 넘지 못한다.
$n=45$이면 $45\cdot 46=2070$으로 $2010$을 넘는다.
따라서 $n=44$는 실패하고 $n=45$가 성립하며, $45$가 그런 가장 작은 $n$이다.
답은 (A)다.

$$44\cdot 45=1980\not>2010,\qquad 45\cdot 46=2070>2010\;\Rightarrow\; n=45\;\textbf{(A)}$$

💡 곱이 커지기만 하므로, 기준선을 처음 넘는 $n$이 곧 가장 작은 답이다.

[1] #7 7.SP.C.5 $k$번 상자에는 빨간 구슬 1개와 흰 구슬 $k$개가 있어 모두 $k+1$개다. $k$번 상자에서 흰 구슬을 뽑을 확률은 $\frac{k}{k

[2] #7 7.SP.C.8 정확히 $n$번 뽑고 멈추려면, 이자벨라는 상자 $1,2,\ldots,n-1$에서 모두 흰 구슬을 뽑아 계속 진행하고, 그다음 $n$번 상자에서

[3] #5 5.NF.B.4 흰 구슬 곱 $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n-1}{n}$을 보자. 각 분

[4] #5 5.NF.B.4 이제 접힌 곱에 빨간 구슬 인수 $\frac{1}{n+1}$을 곱하면 $P(n)=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac

[5] #5 6.EE.B.5 우리가 원하는 것은 $P(n)<\frac{1}{2010}$, 즉 $\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2010}$이다. 양수에서는 분

[6] #6 6.EE.B.5 이제 $n$ 값을 넣어 본다. $n(n+1)$은 $n$이 커질수록 커지므로 $\sqrt{2010}\approx 44.8$ 근처를 살핀다. $n=

검토

합리성 확인: 식 $P(n)=\frac{1}{n(n+1)}$은 빠른 점검을 통과한다. $P(1)=\frac{1}{2}$인데 1번 상자는 절반이 빨강이므로 맞고, $\sum_n \frac{1}{n(n+1)}=\sum_n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$이 1로 사슬처럼 수렴하니 온전한 확률분포답다. 경계 $n(n+1)>2010$은 $\sqrt{2010}\approx 44.8$ 바로 근처에 있으므로, 45쯤의 답이 정확히 기대되는 값이다. 더 큰 선택지 63, 64, 201, 1005는 각각 $n(n+1)$이 2010을 훨씬 넘어야 해서 지나치게 크고, 44는 1980으로 아슬아슬하게 못 미친다. 그러므로 45가 맞다.

대안 접근: 일반식을 세우지 않고 경계만 직접 따져 볼 수도 있다. $n(n+1)>2010$이 필요한데 $45^2=2025$이므로 $2010\approx 45^2$이다. $n(n+1)$은 $n^2$을 사이에 두므로 $\sqrt{2010}$ 양옆의 두 정수를 넣어 본다: $44\cdot45=1980$(너무 작음), $45\cdot46=2070$(충분히 큼). 이렇게 하면 사슬 곱을 펼치지 않고도, 답이 $\sqrt{2010}$ 옆에 있다는 추정만으로 $n=45$를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.5 Understand that the probability of a chance event is between 0 and 1 (각 상자를 확률 모델로 읽는 데 사용 — 흰색은 k/(k+1), 빨강은 1/(k+1)의 확률이고 둘의 합은 1이다.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation ('흰, 흰, ..., 흰, 빨강'의 연속 사건을 상자별 확률의 곱으로 세어 P(n)을 복합 사건의 확률로 구하는 데 사용.)
5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (분수 사슬을 곱하고 지워 곱을 1/(n(n+1))로 접는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (목표를 n(n+1)>2010으로 바꾸고 n 값을 넣어 성립하는 가장 작은 값을 찾는 데 사용.)

⭐ 멈출 확률을 분수의 곱으로 쓰고 가운데가 $\frac{1}{n(n+1)}$로 지워지는 것을 지켜보면, 문제 전체가 '$n(n+1)$이 언제 2010을 넘는가?'로 바뀐다.