AMC 10 · 2010 · #23

학년 7 probability

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probability-basictelescoping-sumconditional-probability bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

상자 2010개가 한 줄로 놓여 있다. k번째 상자에는 빨간 구슬 1개와 흰 구슬 k개가 들어 있다. 이자벨라는 1번 상자, 2번 상자 순서로 각 상자에서 구슬을 하나씩 무작위로 뽑고, 처음으로 빨간 구슬을 뽑는 순간 멈춘다. P(n)을 정확히 n번째 뽑기에서 멈출 확률이라 할 때, P(n) ＜ 1/2010이 되는 가장 작은 n을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

201

(E)

1005

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #5 (패턴 찾기): P(n)을 분수들의 곱으로 쓰면 분자와 분모가 사슬처럼 차례로 지워지면서, 무서워 보이던 곱이 아주 작은 식 1/(n(n+1))로 접힌다는 점이 문제의 핵심이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): n번 상자에서 멈추는 것은 상자마다 하나씩의 조건 — 흰, 흰, ..., 흰, 그다음 빨강 — 이므로 각 상자의 확률을 따로 구해 곱한다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): P(n)=1/(n(n+1))이 되면 조건은 n(n+1) ＞ 2010이 되고, √(2010) 근처의 n 값을 넣어 처음으로 부등식이 성립하는 곳을 찾는 것이 가장 빠르다.

1STEP 1

한 상자의 두 확률

k번 상자는 빨강 1개와 흰색 k개로 모두 k+1개이니, 흰색은 k/(k+1), 빨강은 1/(k+1)이다.

P(상자 k에서 흰색)=k/(k+1), P(상자 k에서 빨강)=1/(k+1)

2STEP 2

n번 상자에서 멈추려면

정확히 n번에 멈추려면 상자 1,2,…,n-1에서 모두 흰색, n번 상자에서 빨강을 뽑아야 하므로 확률을 곱한다.

P(n)=(1/2·2/3·3/4…(n-1)/n)·1/(n+1)

3STEP 3

곱이 사슬처럼 지워진다

1/2·2/3·3/4…(n-1)/n에서 각 분자가 앞 분모와 지워져 첫 1과 끝 n만 남아 1/n이 된다.

1/2·2/3·3/4…(n-1)/n=1/n

4STEP 4

P(n)의 깔끔한 식

그 1/n에 빨강 인수 1/(n+1)을 곱하면 지저분하던 곱이 P(n)=1/(n(n+1))이라는 깔끔한 분수가 된다.

P(n)=1/n·1/(n+1)=1/(n(n+1))

5STEP 5

목표를 부등식으로 바꾸기

원하는 것은 1/(n(n+1)) ＜ 1/2010인데, 단위분수는 작을수록 분모가 크니 목표는 n(n+1) ＞ 2010이 된다.

1/(n(n+1)) ＜ 1/2010⇔ n(n+1) ＞ 2010

6STEP 6

성립하는 가장 작은 n 찾기

√(2010)≈44.8 근처를 보면 44·45=1980은 모자라고 45·46=2070은 넘으니 가장 작은 n은 45, 답은 (A)다.

44 · 45=1980 ≯ 2010, 45 · 46=2070 ＞ 2010 → n=45 (A)

정답

식 P(n)=1/(n(n+1))은 빠른 점검을 통과한다. P(1)=1/2인데 1번 상자는 절반이 빨강이므로 맞고, Σ_n 1/(n(n+1))=Σ_n(1/n-1/(n+1))이 1로 사슬처럼 수렴하니 온전한 확률분포답다. 경계 n(n+1) ＞ 2010은 √(2010)≈ 44.8 바로 근처에 있으므로, 45쯤의 답이 정확히 기대되는 값이다. 더 큰 선택지 63, 64, 201, 1005는 각각 n(n+1)이 2010을 훨씬 넘어야 해서 지나치게 크고, 44는 1980으로 아슬아슬하게 못 미친다. 그러므로 45가 맞다.

💡핵심 정리

멈출 확률을 분수의 곱으로 쓰고 가운데가 1/(n(n+1))로 지워지는 것을 지켜보면, 문제 전체가 'n(n+1)이 언제 2010을 넘는가?'로 바뀐다.

한 상자의 두 확률
n번 상자에서 멈추려면
곱이 사슬처럼 지워진다
P(n)의 깔끔한 식
목표를 부등식으로 바꾸기
성립하는 가장 작은 n 찾기