AMC 10 · 2010 · #7
학년 8 geometry-2d크리스털은 매일 달리기를 위한 코스를 표시해 두었다. 그녀는 먼저 정북 방향으로 1마일을 달린다. 그다음 북동 방향으로 1마일을 달리고, 이어서 남동 방향으로 1마일을 달린다. 마지막 구간에서는 직선으로 출발점까지 되돌아온다. 이 마지막 구간의 길이는 몇 마일인가?
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AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 크리스탈은 네 구간으로 이루어진 고리 모양 코스를 달립니다: 북쪽으로 $1$ 마일, 그다음 북동쪽으로 $1$ 마일, 그다음 남동쪽으로 $1$ 마일, 마지막으로 출발점까지 직선으로 돌아옵니다. 이 마지막 직선 구간의 길이를 구하세요.
주어진 것: 한 지점에서 출발해 정북 방향으로 $1$ 마일 달립니다.; 그다음 북동쪽으로 $1$ 마일 달립니다 (동쪽으로 $45^\circ$ 튼 방향).; 그다음 남동쪽으로 $1$ 마일 달립니다.; 네 번째 구간은 출발점으로 곧장 돌아오는 직선입니다.; 선택지: (A) $1$, (B) $\sqrt{2}$, (C) $\sqrt{3}$, (D) $2$, (E) $2\sqrt{2}$.
구하는 것: 마지막 직선 구간의 길이 — 세 구간을 달린 뒤 위치에서 출발점까지의 거리.
이해
문제 재정리: 크리스탈은 네 구간으로 이루어진 고리 모양 코스를 달립니다: 북쪽으로 $1$ 마일, 그다음 북동쪽으로 $1$ 마일, 그다음 남동쪽으로 $1$ 마일, 마지막으로 출발점까지 직선으로 돌아옵니다. 이 마지막 직선 구간의 길이를 구하세요.
주어진 것: 한 지점에서 출발해 정북 방향으로 $1$ 마일 달립니다.; 그다음 북동쪽으로 $1$ 마일 달립니다 (동쪽으로 $45^\circ$ 튼 방향).; 그다음 남동쪽으로 $1$ 마일 달립니다.; 네 번째 구간은 출발점으로 곧장 돌아오는 직선입니다.; 선택지: (A) $1$, (B) $\sqrt{2}$, (C) $\sqrt{3}$, (D) $2$, (E) $2\sqrt{2}$.
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기
이 문제는 온통 위치와 경로에 관한 것이므로 자연스러운 도구는 #1(그림 그리기)입니다. 모든 것을 좌표 격자에 올려놓고 동쪽을 $+x$, 북쪽을 $+y$ 로 둡니다. 비스듬한 마일은 곧바로 더하기 어려우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 $45^\circ$ 마일을 45-45-90 삼각형을 이용해 동쪽 조각과 북쪽 조각으로 나눕니다. 조각들을 더해 도착점을 찾은 뒤, 직각삼각형을 읽어 피타고라스 정리로 집까지의 직선 거리를 구합니다.
실행 — 정답: C
6.NS.C.8 단계 1 좌표 세우기
- 출발점을 원점에 둡니다.
- 동쪽을 양의 $x$ 방향, 북쪽을 양의 $y$ 방향으로 정합니다.
- 그러면 각 구간은 더하기만 하면 되는 $x$(동쪽)와 $y$(북쪽)의 변화가 됩니다.
💡 격자는 나침반 방향을 더할 수 있는 간단한 $x$, $y$ 이동으로 바꿔 줍니다.
6.NS.C.8 단계 2 북쪽 구간
- 첫 마일은 정북으로 가므로 $y$ 좌표만 변합니다.
- 이 구간을 마치면 그녀는 $(0,1)$ 에 있습니다.
💡 정북으로 움직이면 북쪽 좌표만 변합니다.
8.G.B.7 단계 3 대각선 구간 쪼개기
- 북동쪽과 남동쪽은 각각 동쪽과 $45^\circ$ 를 이룹니다.
- $45^\circ$ 방향의 $1$ 마일 걸음은 45-45-90 삼각형의 빗변이므로, 그 동쪽 조각과 북쪽 조각은 각각 길이 $\tfrac{1}{\sqrt{2}} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.
- 북동쪽은 동쪽과 북쪽으로, 남동쪽은 동쪽과 남쪽으로 갑니다.
💡 45° 삼각형은 이등변이므로, 비스듬한 걸음은 사실 크기가 같은 두 개의 곧은 걸음 — 하나는 동쪽, 하나는 위나 아래 — 입니다.
6.NS.C.8 단계 4 조각 더하기
- 세 이동 조각을 더합니다.
- 두 대각선의 북쪽 부분은 $+\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 와 $-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 로 서로 상쇄됩니다.
- 동쪽 부분은 더하면 $\sqrt{2}$ 가 됩니다.
- 북쪽 좌표는 첫 구간의 $1$ 그대로입니다.
- 그래서 세 구간 뒤 그녀는 $(\sqrt{2},\ 1)$ 에 있습니다.
💡 두 대각선은 위아래로 반대 방향으로 기울어져 있어 위·아래 부분이 상쇄되고, 동쪽으로 미는 힘만 남습니다.
8.G.B.8 단계 5 출발점까지의 거리
- 마지막 구간은 $(\sqrt{2},\ 1)$ 에서 $(0,0)$ 으로 돌아가는 직선 거리입니다.
- 이 선분은 다리가 $\sqrt{2}$ 와 $1$ 인 직각삼각형의 빗변입니다.
- 피타고라스 정리로 거리는 $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ 이고, 이는 선택지 (C) 입니다.
💡 집으로 가는 직선 경로는 두 다리를 격자에서 바로 읽어낼 수 있는 직각삼각형의 빗변입니다.
6.NS.C.8 출발점을 원점에 둡니다. 동쪽을 양의 $x$ 방향, 북쪽을 양의 $y$ 방향으로 정합니다. 그러면 각 구간은 더하기만 하면 되는 $x$(동쪽)와 6.NS.C.8 첫 마일은 정북으로 가므로 $y$ 좌표만 변합니다. 이 구간을 마치면 그녀는 $(0,1)$ 에 있습니다. 8.G.B.7 북동쪽과 남동쪽은 각각 동쪽과 $45^\circ$ 를 이룹니다. $45^\circ$ 방향의 $1$ 마일 걸음은 45-45-90 삼각형의 빗변이므 6.NS.C.8 세 이동 조각을 더합니다. 두 대각선의 북쪽 부분은 $+\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 와 $-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 로 서 8.G.B.8 마지막 구간은 $(\sqrt{2},\ 1)$ 에서 $(0,0)$ 으로 돌아가는 직선 거리입니다. 이 선분은 다리가 $\sqrt{2}$ 와 $1$ 검토
합리성 확인: 크기를 확인합니다: $\sqrt{3} \approx 1.73$ 마일로 $1$ 과 $2$ 사이에 있어, $1$ 마일 구간들로 만든 고리에 어울립니다 — 너무 작지도 크지도 않습니다. 경로를 다시 따라가면: 북쪽으로 $(0,1)$; 북동쪽이 $\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 를 더해 $\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\ 1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$; 남동쪽이 $\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 를 더해 $(\sqrt{2},\ 1)$. 거리 $\sqrt{2+1} = \sqrt{3}$. 이웃 값 배제: $\sqrt{2}$ 이려면 도착점의 거리 제곱이 $2$ 여야 하지만 $(\sqrt{2})^2 + 1^2 = 3 \ne 2$; 값 $2$ 이려면 다리의 제곱합이 $4$ 여야 합니다. 따라서 (C) 로 확정됩니다.
대안 접근: 도구 #17(공간 상상하기): 북동쪽과 남동쪽 구간은 함께 동쪽으로 열린 이등변 직각삼각형을 이룹니다 — $1$ 마일짜리 두 변이 $90^\circ$ 로 만납니다. 그 합쳐진 효과는 동쪽으로 $\sqrt{2}$ 마일 한 번 뛰고 수직 변화는 $0$ 인 것과 같습니다. 이것을 $1$ 마일 북쪽 구간에 얹으면 곧바로 다리가 $1$ 과 $\sqrt{2}$, 빗변이 $\sqrt{3}$ 인 직각삼각형이 보입니다 — 좌표가 필요 없습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.C.8모든 사분면에서 점을 좌표평면에 나타내어 실생활 문제 해결하기 (출발점을 원점에 두고 각 구간을 $x$(동쪽)와 $y$(북쪽) 좌표의 변화로 추적하기.)8.G.B.7피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 길이 구하기 (45-45-90 삼각형을 이용해 각 $45^\circ$ 마일을 길이 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 의 동쪽·북쪽 다리로 쪼개기.)8.G.B.8피타고라스 정리로 좌표평면 위 두 점 사이 거리 구하기 ($(\sqrt{2}, 1)$ 에서 원점 $(0,0)$ 까지의 마지막 직선 거리 계산하기.)8.NS.A.2무리수를 유리수로 근사해 크기 비교하기 ($\sqrt{3} \approx 1.73$ 이 $1$ 마일과 $\sqrt{2}$ 마일 길이 사이에 합리적으로 놓이는지 확인하기.)
⭐ 달린 경로를 격자에 올리고 비스듬한 마일마다 동쪽 조각과 북쪽 조각으로 나누면 — 두 대각선의 북쪽 조각이 상쇄되어 다리가 $\sqrt{2}$ 와 $1$ 인 단순한 직각삼각형만 남고, 집까지 가는 길은 $\sqrt{3}$ 마일입니다.
⭐ 달린 경로를 격자에 올리고 비스듬한 마일마다 동쪽 조각과 북쪽 조각으로 나누면 — 두 대각선의 북쪽 조각이 상쇄되어 다리가 $\sqrt{2}$ 와 $1$ 인 단순한 직각삼각형만 남고, 집까지 가는 길은 $\sqrt{3}$ 마일입니다.
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