AMC 10 · 2010 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremcoordinate-geometryangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

크리스탈은 네 구간으로 이루어진 고리 모양 코스를 달립니다: 북쪽으로 1 마일, 그다음 북동쪽으로 1 마일, 그다음 남동쪽으로 1 마일, 마지막으로 출발점까지 직선으로 돌아옵니다. 이 마지막 직선 구간의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ \sqrt{2}$

(C)

$\ \sqrt{3}$

(D)

$\ 2$

(E)

$\ 2\sqrt{2}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 온통 위치와 경로에 관한 것이므로 자연스러운 도구는 #1(그림 그리기)입니다. 모든 것을 좌표 격자에 올려놓고 동쪽을 +x, 북쪽을 +y 로 둡니다. 비스듬한 마일은 곧바로 더하기 어려우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 45° 마일을 45-45-90 삼각형을 이용해 동쪽 조각과 북쪽 조각으로 나눕니다. 조각들을 더해 도착점을 찾은 뒤, 직각삼각형을 읽어 피타고라스 정리로 집까지의 직선 거리를 구합니다.

1STEP 1

좌표 세우기

출발점을 원점에 두고 동쪽을 +x, 북쪽을 +y로 잡으면 각 구간이 더하기 쉬운 좌표 변화가 됩니다.

출발 = (0,0), 동쪽 = +x, 북쪽 = +y.

2STEP 2

북쪽 구간

첫 마일은 정북으로 가므로 y 좌표만 변해서 그녀는 (0,1)에 있습니다.

(0,0) + (0,1) = (0,1).

3STEP 3

대각선 구간 쪼개기

45° 방향 1 마일은 45-45-90 삼각형의 빗변이라 동쪽 조각과 세로 조각이 각각 √(2)/2입니다.

NE = (√(2)/2, √(2)/2), SE = (√(2)/2, -√(2)/2).

4STEP 4

조각 더하기

두 대각선의 세로 조각은 상쇄되고 동쪽 조각은 √(2)가 되어, 그녀는 (√(2), 1)에 있습니다.

x = √(2)/2 + √(2)/2 = √(2), y = 1 + √(2)/2 - √(2)/2 = 1.

5STEP 5

출발점까지의 거리

마지막 구간은 두 변이 √(2)와 1인 직각삼각형의 빗변이므로 √(3) 마일, 선택지 (C)입니다.

d = √((√(2))² + 1²) = √(2 + 1) = √(3).

정답

√(3)

크기를 확인합니다: √(3) ≈ 1.73 마일로 1과 2 사이에 있어, 1 마일 구간들로 만든 고리에 어울립니다 — 너무 작지도 크지도 않습니다. 경로를 다시 따라가면: 북쪽으로 (0,1); 북동쪽이 (√(2)/2, √(2)/2)를 더해 (√(2)/2, 1+√(2)/2); 남동쪽이 (√(2)/2, -√(2)/2)를 더해 (√(2), 1). 거리 √(2+1) = √(3). 이웃 값 배제: √(2)이려면 도착점의 거리 제곱이 2여야 하지만 (√(2))² + 1² = 3 ≠ 2; 값 2이려면 두 변의 제곱합이 4여야 합니다. 따라서 (C)로 확정됩니다.

💡핵심 정리

달린 경로를 격자에 올리고 비스듬한 마일마다 동쪽 조각과 북쪽 조각으로 나누면 — 두 대각선의 북쪽 조각이 상쇄되어 두 변이 √(2)와 1인 단순한 직각삼각형만 남고, 집까지 가는 길은 √(3) 마일입니다.

좌표 세우기
북쪽 구간
대각선 구간 쪼개기
조각 더하기
출발점까지의 거리

좌표 세우기

북쪽 구간

대각선 구간 쪼개기

조각 더하기

출발점까지의 거리

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