AMC 10 · 2010 · #9
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AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
핵심은 자릿수가 늘어나는 지점이다. 32만 더했는데 세 자리 수가 네 자리가 되려면 x는 세 자리 수의 맨 위쪽에 있어야 한다. 이 경계를 못 박으면 후보가 큰 회문수 몇 개로 줄고, 그다음에는 각각에 32를 더해 거꾸로 읽어도 같은지 직접 확인하면 된다.
x를 맨 위쪽으로 몰기
네 자리가 되려면 x+32가 1000 이상이어야 하므로 x는 968 이상 999 이하이다.
작은 +32로 네 자리를 넘으려면 x가 이미 1000에 거의 가까워야 한다.
4.NBT.A.2Extreme Principle그 구간의 회문수 나열
첫 자리와 끝 자리가 같아야 하므로 968과 999 사이의 회문수는 969, 979, 989, 999뿐이다.
이 구간에서는 첫 자리와 끝 자리가 같은 수만 회문수이다.
이 범위에서는 첫 자리와 마지막 자리가 같은 수만이 회문이다.
▸ 왜?
수는 정해진 자리에 놓인 숫자들이므로, 뒤집으면 바깥 두 자리가 맞바뀐다.
▸ 왜?
각 숫자는 짝지어진 숫자 위에 놓여야 하므로, 바깥 짝이 정확히 같아야 한다.
32를 더해 각각 확인
32를 더하면 1001, 1011, 1021, 1031이고, 회문수 1001이 되는 것은 969뿐이다.
남은 몇 개만 넣어 보면 대칭인 네 자리 수가 되는 것은 하나뿐이다.
4.NBT.B.4Guess And Checkx의 각 자리 숫자 더하기
x=969이므로 각 자리 숫자의 합은 9+6+9=24이고, 보기 (E)이다.
묻는 것은 자릿수의 합이니, 찾은 수의 세 숫자를 더하기만 하면 된다.
4.NBT.B.4Guess And Check작은 덧셈이 수를 더 많은 자릿수로 밀어 올린다면, 시작한 수는 바로 그 경계에 딱 붙어 있으니 거기부터 찾아라.
- x를 맨 위쪽으로 몰기
- 그 구간의 회문수 나열
- 32를 더해 각각 확인
- x의 각 자리 숫자 더하기