AMC 10 · 2010 · #1

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

order-of-operationsmulti-digit-arithmeticmental-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$100(100-3)-(100\cdot100-3)$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-20,000

(B)

-10,000

(C)

-297

(D)

-6

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $100(100-3)-(100\cdot100-3)$ 의 값을 구한다. 같은 숫자들로 만든 두 곱셈 결과가 있고, 첫 번째에서 두 번째를 뺀다.

주어진 것: 첫째 항: $100(100-3)$, 괄호 안을 먼저 계산한 뒤 100을 곱한다.; 둘째 항: $100\cdot100-3$, 먼저 곱한 뒤 3을 뺀다.; 두 항을 뺄셈으로 묶는다.

구하는 것: 식 전체의 최종 숫자 값.

이해

문제 재정리: $100(100-3)-(100\cdot100-3)$ 의 값을 구한다. 같은 숫자들로 만든 두 곱셈 결과가 있고, 첫 번째에서 두 번째를 뺀다.

주어진 것: 첫째 항: $100(100-3)$, 괄호 안을 먼저 계산한 뒤 100을 곱한다.; 둘째 항: $100\cdot100-3$, 먼저 곱한 뒤 3을 뺀다.; 두 항을 뺄셈으로 묶는다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기

이 식은 두 곱셈 결과의 차이다. 각 곱을 따로 계산하면 복잡한 한 줄이 쉬운 두 조각으로 나뉘고, 마지막에 한 번만 빼면 끝난다. 100을 변수로 두면 두 큰 곱이 왜 거의 상쇄되는지도 드러난다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 1

첫째 항 계산

괄호를 먼저 처리한다: $100-3=97$.
그다음 곱한다: $100\cdot97=9700$.

$$100(100-3)=100\cdot97=9700$$

💡 괄호는 곱하기 전에 무엇을 만들지 알려준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 2

둘째 항 계산

여기서는 뺄셈에 괄호가 없으므로 곱셈이 먼저다: $100\cdot100=10000$, 그다음 $10000-3=9997$.

$$100\cdot100-3=10000-3=9997$$

💡 괄호가 없으면 빼기 전에 곱한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 3

두 항의 차 구하기

이제 첫째 항에서 둘째 항을 뺀다: $9700-9997$.
9997이 9700보다 크므로 결과는 음수다: $9700-9997=-297$.
이는 보기 (C)와 일치한다.

$$9700-9997=-297$$

💡 가진 것보다 더 많이 빼면 0 아래로 내려간다.

[1] #7 5.OA.A.1 괄호를 먼저 처리한다: $100-3=97$. 그다음 곱한다: $100\cdot97=9700$.

[2] #7 5.NBT.B.5 여기서는 뺄셈에 괄호가 없으므로 곱셈이 먼저다: $100\cdot100=10000$, 그다음 $10000-3=9997$.

[3] #7 7.NS.A.1 이제 첫째 항에서 둘째 항을 뺀다: $9700-9997$. 9997이 9700보다 크므로 결과는 음수다: $9700-9997=-297$. 이는

검토

합리성 확인: 두 곱 9700과 9997은 아주 가까우므로 그 차이는 수만 단위가 아니라 작아야 한다. 그래서 (A)와 (B)는 바로 제외되고, $-297$은 거의 같은 두 수의 차가 있어야 할 자리에 정확히 놓인다.

대안 접근: $n=100$으로 두자. 그러면 $n(n-3)-(n\cdot n-3)=n^2-3n-n^2+3=-3n+3$. $n=100$을 넣으면 $-300+3=-297$이 되어 큰 곱셈 없이 (C)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.OA.A.1 괄호를 사용한 수식을 읽고 그 값을 계산하기 (첫째 항에서 곱하기 전에 괄호 안을 먼저 계산하기로 정함.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수를 능숙하게 곱하기 ($100\cdot97$과 $100\cdot100$ 계산.)
7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수까지 확장하기 (더 큰 수에서 더 작은 수 방향으로 빼서 음수 결과 $-297$을 얻기.)

⭐ 무섭게 생긴 식은 작은 곱셈들로 먼저 쪼개면, 마지막 뺄셈은 쉬워진다.