AMC 10 · 2010 · #10

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

ratelinear-equations-one-varunit-conversion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

셸비는 비가 오지 않을 때는 시속 $30$ 마일로, 비가 올 때는 시속 $20$ 마일로 스쿠터를 운전한다. 오늘 그녀는 아침에는 맑은 날씨에, 저녁에는 빗속에서 운전하여 $40$ 분 동안 총 $16$ 마일을 갔다. 그녀가 빗속에서 운전한 시간은 몇 분인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: ì¸ë¹의 스쿠터는 맑은 날에 시속 $30$마일, 비 오는 날에 시속 $20$마일로 달린다. 그는 맑은 구간을 달린 뒤 비 오는 구간을 달려서, 총 $40$분 동안 $16$마일을 갔다. 그중 비 오는 구간을 달린 시간이 몇 분인지 구하여라.

주어진 것: 맑은 날 속력은 시속 $30$마일; 비 오는 날 속력은 시속 $20$마일; 전체 거리는 $16$마일; 전체 시간은 $40$분; 선택지: (A) $18$, (B) $21$, (C) $24$, (D) $27$, (E) $30$ 분

구하는 것: ì¸ë¹가 비를 맞으며 달린 시간(분)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

두 개의 미지 시간 구간이 하나의 전체 시간과 하나의 전체 거리를 나눠 갖고 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)가 딱 맞는다. 비 오는 시간을 변수로 놓고, 맑은 시간은 '남은 시간'으로 쓴 뒤, 거리 조건을 하나의 방정식으로 바꾼다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 계산을 흐트러지지 않게 지켜 준다. 속력은 시간당인데 답은 분으로 물으므로, 처음과 끝에서 단위를 반드시 변환해야 한다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

단위 맞추기

속력이 시간당으로 주어졌으므로, 전체 시간을 속력에 곱하려면 먼저 시간 단위(시)로 바꿔야 한다.
$40$분을 $60$으로 나누어 시로 바꾼다.

$$40 \text{ 분} = \dfrac{40}{60} \text{ 시} = \dfrac{2}{3} \text{ 시}$$

💡 거리 $=$ 속력 $\times$ 시간은 시간 단위가 속력의 단위와 맞을 때만 성립하므로, 분을 먼저 시로 바꾼다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 2

미지수 정하고 식 세우기

비를 맞으며 달린 시간을 $r$(시)이라 하자.
맑은 시간은 $\tfrac{2}{3}$시에서 남은 부분이므로 $\tfrac{2}{3} - r$이다.
각 거리는 속력 곱하기 시간이고, 두 거리의 합이 $16$마일이다.

$$30\left(\dfrac{2}{3} - r\right) + 20r = 16$$

💡 비 오는 시간을 정하면 맑은 시간은 자동으로 남은 시간이 되므로, 변수 하나면 충분하다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 3

비 오는 시간 구하기

$30$을 분배하고, $r$ 항을 합친 뒤 $r$을 남긴다.

$$20 - 30r + 20r = 16 \;\Rightarrow\; 20 - 10r = 16 \;\Rightarrow\; 10r = 4 \;\Rightarrow\; r = \dfrac{2}{5} \text{ 시}$$

💡 연산을 하나씩 벗겨 내면 방정식이 $r$의 값만 남을 때까지 줄어든다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

다시 분으로 바꾸기

문제는 분을 물으므로, $\tfrac{2}{5}$시를 $60$을 곱해 다시 분으로 바꾼다.

$$\dfrac{2}{5} \text{ 시} \times 60 = 24 \text{ 분} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 문제가 실제로 물은 단위로 돌아온다 — 답은 $24$분, 선택지 (C)이다.

[1] #8 6.RP.A.3 속력이 시간당으로 주어졌으므로, 전체 시간을 속력에 곱하려면 먼저 시간 단위(시)로 바꿔야 한다. $40$분을 $60$으로 나누어 시로 바꾼다.

[2] #4 7.EE.B.4 비를 맞으며 달린 시간을 $r$(시)이라 하자. 맑은 시간은 $\tfrac{2}{3}$시에서 남은 부분이므로 $\tfrac{2}{3} - r$이

[3] #4 7.EE.B.4 $30$을 분배하고, $r$ 항을 합친 뒤 $r$을 남긴다.

[4] #8 6.RP.A.3 문제는 분을 물으므로, $\tfrac{2}{5}$시를 $60$을 곱해 다시 분으로 바꾼다.

검토

합리성 확인: 두 합계를 모두 확인한다. 비 오는 시간 $= \tfrac{2}{5}$시이므로 맑은 시간 $= \tfrac{2}{3} - \tfrac{2}{5} = \tfrac{10}{15} - \tfrac{6}{15} = \tfrac{4}{15}$시이다. 거리: 맑음 $= 30 \times \tfrac{4}{15} = 8$마일, 비 $= 20 \times \tfrac{2}{5} = 8$마일, 합 $8 + 8 = 16$마일. 분 단위 시간: 맑음 $= \tfrac{4}{15}\times 60 = 16$분, 비 $= 24$분, 합 $40$분. 거리와 시간이 모두 정확히 맞고, $24$분은 선택지 (C)이다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 선택지에 적용한다. (C) 비 $24$분 $= 0.4$시를 넣으면 맑음 $16$분 $\approx 0.2\overline{6}$시가 남는다. 거리 $= 30(0.2\overline{6}) + 20(0.4) = 8 + 8 = 16$마일 — 첫 합리적 추측에서 정확히 맞아, 방정식을 풀지 않고도 (C)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($40$분을 $\tfrac{2}{3}$시로 바꿔 시간 단위를 시속 속력에 맞추고, 답 $\tfrac{2}{5}$시를 다시 $24$분으로 바꾸는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (비 오는 시간을 $r$로 놓고 맑은 시간을 $\tfrac{2}{3} - r$로 쓴 뒤, 거리 방정식 $30(\tfrac{2}{3} - r) + 20r = 16$을 세우고 $r = \tfrac{2}{5}$시로 푸는 데 사용.)

⭐ 비 오는 시간을 변수 하나로 놓고 맑은 시간을 남은 시간으로 두어 거리를 더하면, 이 속력 문제가 7학년 방정식 하나로 줄어든다.