AMC 10 · 2010 · #11

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

percentagelinear-equations-one-varinterval-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 쇼핑객이 정가가 100달러보다 비싼 물건 하나를 사면서 쿠폰 한 장만 쓸 수 있다. 쿠폰 A는 정가의 15%를 깎아 주고, 쿠폰 B는 30달러를 깎아 주며, 쿠폰 C는 정가에서 100달러를 넘는 금액의 25%만 깎아 준다. 쿠폰 A가 쿠폰 B만큼, 그리고 쿠폰 C만큼 또는 그보다 더 많은 금액을 아껴 주는 정가 중에서 가장 작은 값을 x, 가장 큰 값을 y라 하자. y - x의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

100

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

정가가 주어지지 않았으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 정가를 P라 이름 붙이고 각 쿠폰의 할인액을 P에 대한 식으로 나타낸다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "A가 B만큼 아껴 준다", "A가 C만큼 아껴 준다"라는 말을 두 개의 부등식으로 옮긴다. 이 부등식을 풀면 허용되는 가격의 범위가 나오고, 도구 #14(극단의 원리)로 그 범위의 양 끝을 가장 작은 정가 x와 가장 큰 정가 y로 읽어 낸다.

1STEP 1

정가를 변수로, 각 할인액 쓰기

정가를 P달러(P는 100보다 큼)라 하면 A는 0.15P, B는 30, C는 0.25(P-100)을 아껴 준다.

A=0.15P, B=30, C=0.25(P-100)

2STEP 2

A가 B보다 최소한 좋을 조건

A가 B만큼 아끼려면 0.15P ≥ 30이므로, 0.15로 나누면 정가는 최소 200달러이다.

0.15P ≥ 30 → P ≥ 30/0.15=200

3STEP 3

A가 C보다 최소한 좋을 조건

A가 C만큼도 아끼려면 0.15P ≥ 0.25P-25이므로 25 ≥ 0.10P, 즉 정가는 최대 250달러이다.

0.15P ≥ 0.25(P-100) → 25 ≥ 0.10P → P ≤ 250

4STEP 4

양 끝을 읽고 빼기

두 조건이 함께 성립하므로 200 ≤ P ≤ 250이고, x=200, y=250, y-x = 50, 답은 (A)이다.

200 ≤ P ≤ 250 → x=200, y=250, y-x=50 → (A)

정답

양 끝을 확인해 보자. P=200일 때 A는 0.15 × 200 = 30으로 B의 30달러와 같고, C는 0.25 × 100 = 25로 30보다 작으므로 A가 이긴다 — 성립. P=250일 때 A는 0.15 × 250 = 37.5, C는 0.25 × 150 = 37.5로 같고, B는 30달러뿐이다 — 성립. 구간 바로 밖에서는 A가 진다. P=199이면 A=29.85로 B의 30에 못 미치고, P=251이면 A=37.65로 C의 37.75에 못 미친다. 따라서 x=200, y=250은 진짜 경계이고 y-x=50이다.

💡핵심 정리

각 쿠폰을 달러 식으로 바꾸고 "A가 다른 쿠폰을 이긴다"를 두 부등식으로 쓰면, 나오는 가격 구간의 양 끝이 바로 가장 작은 값과 가장 큰 값이다.

정가를 변수로, 각 할인액 쓰기
A가 B보다 최소한 좋을 조건
A가 C보다 최소한 좋을 조건
양 끝을 읽고 빼기

정가를 변수로, 각 할인액 쓰기

A가 B보다 최소한 좋을 조건

A가 C보다 최소한 좋을 조건

양 끝을 읽고 빼기

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