AMC 10 · 2010 · #11

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

percentagelinear-equations-one-varinterval-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 쇼핑객이 표시 가격이 $\textdollar 100$ 보다 큰 물건을 사려고 하며, 세 가지 쿠폰 중 어느 하나를 사용할 수 있다. 쿠폰 A는 표시 가격에서 $15\%$ 를 할인해 주고, 쿠폰 B는 표시 가격에서 $\textdollar 30$ 을 할인해 주며, 쿠폰 C는 표시 가격이 $\textdollar 100$ 을 초과하는 금액에서 $25\%$ 를 할인해 준다. 쿠폰 A가 쿠폰 B나 C만큼 또는 그보다 더 많은 금액을 절약해 주는 표시 가격 중 가장 작은 값과 가장 큰 값을 각각 $x$ , $y$ 라 하자. $y - x$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

100

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 물건의 정가가 $\textdollar 100$보다 높다. 쿠폰 A는 정가의 $15\%$를 깎아 주고, 쿠폰 B는 $\textdollar 30$을 깎아 주며, 쿠폰 C는 정가에서 $\textdollar 100$을 넘는 부분의 $25\%$만 깎아 준다. 쿠폰 A가 쿠폰 B와 쿠폰 C 둘 다에 대해 최소한 같은 금액만큼 아껴 주는 정가 중에서 가장 작은 값을 $x$, 가장 큰 값을 $y$라 할 때 $y-x$를 구하여라.

주어진 것: 정가는 $\textdollar 100$보다 크다; 쿠폰 A는 정가의 $15\%$를 아껴 준다; 쿠폰 B는 정해진 $\textdollar 30$을 아껴 준다; 쿠폰 C는 $\textdollar 100$을 넘는 금액의 $25\%$를 아껴 준다; 선택지: (A) $50$, (B) $60$, (C) $75$, (D) $80$, (E) $100$

구하는 것: 쿠폰 A가 B와 C 둘 다보다 최소한 같은 만큼 아껴 주는 가장 작은 정가 $x$와 가장 큰 정가 $y$; 차 $y-x$

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #14 극단의 원리

정가가 주어지지 않았으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 정가를 $P$라 이름 붙이고 각 쿠폰의 할인액을 $P$에 대한 식으로 나타낸다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "A가 B만큼 아껴 준다", "A가 C만큼 아껴 준다"라는 말을 두 개의 부등식으로 옮긴다. 이 부등식을 풀면 허용되는 가격의 범위가 나오고, 도구 #14(극단의 원리)로 그 범위의 양 끝을 가장 작은 정가 $x$와 가장 큰 정가 $y$로 읽어 낸다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 1

정가를 변수로, 각 할인액 쓰기

정가를 $P$달러라 하고 $P>100$이다.
쿠폰 A는 $P$의 $15\%$인 $0.15P$를 아껴 준다.
쿠폰 B는 정해진 $\textdollar 30$을 아껴 준다.
쿠폰 C는 $\textdollar 100$을 넘는 부분의 $25\%$인 $0.25(P-100)$을 아껴 준다.
세 가지를 모두 달러 금액으로 써 두면 곧바로 비교할 수 있다.

$$A=0.15P,\quad B=30,\quad C=0.25(P-100)$$

💡 각 쿠폰의 규칙을 달러 식으로 바꾸면 같은 기준으로 비교할 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

A가 B보다 최소한 좋을 조건

쿠폰 A가 쿠폰 B만큼은 아껴 주어야 하므로 $0.15P\ge 30$이다.
양변을 $0.15$로 나누면 $P\ge 200$이다.
즉 A가 B와 같거나 더 나으려면 정가가 최소 $\textdollar 200$이어야 한다.

$$0.15P\ge 30 \;\Rightarrow\; P\ge \frac{30}{0.15}=200$$

💡 퍼센트 할인은 정가가 충분히 커져야 정해진 금액 할인을 앞지른다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

A가 C보다 최소한 좋을 조건

쿠폰 A가 쿠폰 C만큼도 아껴 주어야 하므로 $0.15P\ge 0.25(P-100)$이다.
오른쪽을 펼치면 $0.15P\ge 0.25P-25$이다.
양변에서 $0.15P$를 빼고 $25$를 더하면 $25\ge 0.10P$, 즉 $P\le 250$이다.
A가 C와 같거나 더 나으려면 정가가 최대 $\textdollar 250$이어야 한다.

$$0.15P\ge 0.25(P-100)\;\Rightarrow\;25\ge 0.10P\;\Rightarrow\;P\le 250$$

💡 C는 $\textdollar 100$을 넘는 부분만 깎으므로 정가가 높이 올라가야 A를 앞지른다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 4

양 끝을 읽고 빼기

두 조건이 동시에 성립해야 하므로 $200\le P\le 250$이다.
이런 정가 중 가장 작은 것은 $x=200$, 가장 큰 것은 $y=250$이다.
차는 $y-x=250-200=50$이다.
답은 (A)이다.

$$200\le P\le 250\;\Rightarrow\;x=200,\;y=250,\;y-x=50\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 두 경계가 가격을 한 구간 안에 가두므로, 그 구간의 양 끝이 곧 묻는 가장 작은 값과 가장 큰 값이다.

[1] #4 7.RP.A.3 정가를 $P$달러라 하고 $P>100$이다. 쿠폰 A는 $P$의 $15\%$인 $0.15P$를 아껴 준다. 쿠폰 B는 정해진 $\textdoll

[2] #13 7.EE.B.4 쿠폰 A가 쿠폰 B만큼은 아껴 주어야 하므로 $0.15P\ge 30$이다. 양변을 $0.15$로 나누면 $P\ge 200$이다. 즉 A가 B와

[3] #13 7.EE.B.4 쿠폰 A가 쿠폰 C만큼도 아껴 주어야 하므로 $0.15P\ge 0.25(P-100)$이다. 오른쪽을 펼치면 $0.15P\ge 0.25P-25$이

[4] #14 4.OA.A.3 두 조건이 동시에 성립해야 하므로 $200\le P\le 250$이다. 이런 정가 중 가장 작은 것은 $x=200$, 가장 큰 것은 $y=250

검토

합리성 확인: 양 끝을 확인해 보자. $P=200$일 때 A는 $0.15\times 200=30$으로 B의 $\textdollar 30$과 같고, C는 $0.25\times 100=25<30$이므로 A가 이긴다 — 성립. $P=250$일 때 A는 $0.15\times 250=37.5$, C는 $0.25\times 150=37.5$로 같고, B는 $\textdollar 30$뿐이다 — 성립. 구간 바로 밖에서는 A가 진다: $P=199$이면 $A=29.85<30=B$, $P=251$이면 $A=37.65<37.75=C$. 따라서 $x=200$, $y=250$은 진짜 경계이고 $y-x=50$이다.

대안 접근: 세 할인액을 $P$에 대한 그래프로 그려 본다. 쿠폰 A는 원점을 지나며 기울기가 $0.15$인 직선, 쿠폰 B는 $30$에서 수평인 직선, 쿠폰 C는 $P=100$에서 시작해 기울기가 $0.25$인 직선이다. A는 B와 만나는 점($P=200$)부터 그 위에 있고, C와 만나는 점($P=250$)까지 C 위에 있다. A가 둘 다 위에 있는 구간은 $200$부터 $250$까지이므로 폭은 똑같이 $50$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multistep ratio and percent problems ($15\%$와 $25\%$ 할인을 달러 식 $0.15P$와 $0.25(P-100)$으로 바꾸는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ($0.15P\ge 30$과 $0.15P\ge 0.25(P-100)$을 세우고 풀어 $P\ge 200$과 $P\le 250$을 얻는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (양 끝의 차 $250-200=50$을 구하는 데 사용.)

⭐ 각 쿠폰을 달러 식으로 바꾸고 "A가 다른 쿠폰을 이긴다"를 두 부등식으로 쓰면, 나오는 가격 구간의 양 끝이 바로 가장 작은 값과 가장 큰 값이다.