AMC 10 · 2010 · #12

학년 6 algebra

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

optimizationpercentageset-partition extreme-principle ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

학년 초에, 웰 선생님 반의 모든 학생 중 $50\%$ 가 "수학을 좋아하나요?"라는 질문에 "예"라고 답했고, $50\%$ 가 "아니오"라고 답했다. 학년 말에는 $70\%$ 가 "예", $30\%$ 가 "아니오"라고 답했다. 전체적으로 학생의 $x\%$ 가 학년 초와 학년 말에 서로 다른 답을 했다. $x$ 의 가능한 최댓값과 최솟값의 차는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 학년 초에 한 반 학생의 절반은 수학을 좋아하냐는 질문에 "예"라고, 나머지 절반은 "아니오"라고 답했다. 학년 말에는 $70\%$가 "예", $30\%$가 "아니오"라고 답했다. 처음과 끝에 답이 달라진 학생의 비율을 $x\%$라 할 때, $x$가 가질 수 있는 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라.

주어진 것: 학년 초에 $50\%$가 "예", $50\%$가 "아니오"라고 답함; 학년 말에 $70\%$가 "예", $30\%$가 "아니오"라고 답함; $x\%$의 학생이 처음과 끝에 서로 다른 답을 함; 선택지: (A) $0$, (B) $20$, (C) $40$, (D) $60$, (E) $80$

구하는 것: $x$가 가질 수 있는 최댓값과 최솟값의 차

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #15 다르게 정리하기

어떤 양이 가질 수 있는 가장 크고 가장 작은 값을 묻는 것은 도구 #14(극단의 원리)의 전형적인 신호다. 경계가 되는 경우를 찾으면 된다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 모든 학생을 초$\to$말 네 무리 표로 정리하면 어느 누구도 중복해서 세지 않는다. 도구 #4(변수 도입하기)로 자유롭게 정할 수 있는 단 하나의 값 — "예"에서 "아니오"로 바꾼 학생 수 — 에 이름을 붙이면, 답이 걸린 식이 하나로 정리되고 그 양 끝이 정답을 준다.

실행 — 정답: D

#15 다르게 정리하기 6.RP.A.3 단계 1

학생을 네 무리로 나누기

각 학생이 처음과 끝에 무엇이라 답했는지 따라간다.
모든 학생은 정확히 네 무리 중 하나에 속한다: 계속 예(예$\to$예), 예에서 아니오로 바뀜(예$\to$아니오), 아니오에서 예로 바뀜(아니오$\to$예), 계속 아니오(아니오$\to$아니오).
답이 바뀐 학생은 두 개의 "바뀜" 무리이므로, $x\%$는 이 두 무리를 더한 것이다.

$$x = (\text{예}\to\text{아니오}) + (\text{아니오}\to\text{예})$$

💡 반 전체를 초$\to$말 무리로 쪼개면 "답이 바뀌었다"가 막연한 말이 아니라 정확히 셀 수 있는 집합이 된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

바뀜에 이름을 붙이고 서로 연결하기

예$\to$아니오로 바꾼 비율을 $s$라 하자.
예 쪽은 $50\%$에서 $70\%$로 늘어야 하므로 순증가가 $20$이다.
아니오$\to$예 한 명이 예를 하나 늘리고 예$\to$아니오 한 명이 하나 줄이므로, (아니오$\to$예)에서 (예$\to$아니오)를 뺀 값은 $20$이어야 한다.
따라서 아니오$\to$예 $= s + 20$으로 정해진다.

$$(\text{아니오}\to\text{예}) - s = 20 \;\Rightarrow\; \text{아니오}\to\text{예} = s + 20$$

💡 예 총합은 들어온 학생과 나간 학생의 차이만큼만 움직이므로, 그 차이는 $20$에 고정된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

바뀐 학생 수를 하나의 식으로 쓰기

두 개의 바뀜 무리를 더해 답이 바뀐 전체 비율을 구하고, 아니오$\to$예 $= s + 20$을 대입한다.

$$x = s + (s + 20) = 2s + 20$$

💡 변수 하나가 두 바뀜 무리를 모두 좌우하므로, 답 전체가 오직 $s$라는 수 하나에 달려 있다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.8 단계 4

$s$를 극단으로 밀어붙이기

이제 $s$에 극단의 원리를 적용한다.
$s$의 최솟값은 $0$이다 — 예$\to$아니오로 바꿀 사람이 반드시 있어야 하는 것은 아니다.
최댓값은 학년 말에서 제한된다.
말에 "아니오"라 한 사람은 $30\%$뿐이고, 이들은 예$\to$아니오 바꾼 사람과 아니오$\to$아니오 계속한 사람으로 이루어진다.
계속한 사람을 $0$으로 두면 그 $30\%$가 모두 바뀜이 될 수 있으므로 $s \le 30$이다.

$$0 \le s \le 30$$

💡 어떤 무리를 $0$까지 짜내는 것 — 강제 바뀜이 없거나, 남은 계속이 없거나 — 이 바로 경계 경우를 못 박는다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.8 단계 5

양 극단을 비교하기

$s$의 두 경계값을 $x = 2s + 20$에 넣는다.
최솟값은 $s = 0$일 때, 최댓값은 $s = 30$일 때이다.
이 둘을 빼면 문제가 묻는 차가 나온다.

$$x_{\min} = 2(0)+20 = 20,\quad x_{\max} = 2(30)+20 = 80,\quad 80 - 20 = 60 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 가장 큰 바뀜 수와 가장 작은 바뀜 수 사이의 차가 곧 문제 전체이며, 그 값은 $60$, 즉 선택지 (D)이다.

[1] #15 6.RP.A.3 각 학생이 처음과 끝에 무엇이라 답했는지 따라간다. 모든 학생은 정확히 네 무리 중 하나에 속한다: 계속 예(예$\to$예), 예에서 아니오로

[2] #4 6.EE.B.6 예$\to$아니오로 바꾼 비율을 $s$라 하자. 예 쪽은 $50\%$에서 $70\%$로 늘어야 하므로 순증가가 $20$이다. 아니오$\to$예

[3] #4 6.EE.B.6 두 개의 바뀜 무리를 더해 답이 바뀐 전체 비율을 구하고, 아니오$\to$예 $= s + 20$을 대입한다.

[4] #14 6.EE.B.8 이제 $s$에 극단의 원리를 적용한다. $s$의 최솟값은 $0$이다 — 예$\to$아니오로 바꿀 사람이 반드시 있어야 하는 것은 아니다. 최댓값

[5] #14 6.EE.B.8 $s$의 두 경계값을 $x = 2s + 20$에 넣는다. 최솟값은 $s = 0$일 때, 최댓값은 $s = 30$일 때이다. 이 둘을 빼면 문제가

검토

합리성 확인: 두 극단 경우를 모든 합계에 대해 확인한다. 최소($s = 0$): 예$\to$아니오 $= 0$, 아니오$\to$예 $= 20$, 예$\to$예 $= 50$, 아니오$\to$아니오 $= 30$. 초 예 $= 50+0 = 50$, 말 예 $= 50+20 = 70$, 말 아니오 $= 0+30 = 30$, 바뀐 학생 $= 0+20 = 20$. 최대($s = 30$): 예$\to$아니오 $= 30$, 아니오$\to$예 $= 50$, 예$\to$예 $= 20$, 아니오$\to$아니오 $= 0$. 초 예 $= 20+30 = 50$, 말 예 $= 20+50 = 70$, 말 아니오 $= 30+0 = 30$, 바뀐 학생 $= 30+50 = 80$. 두 경우 모두 네 합계를 만족하며 $80 - 20 = 60$이므로 (D)가 확인된다.

대안 접근: 대수 없이 따져볼 수도 있다. 최소: 예 비율이 $20$포인트 올라야 하므로 적어도 $20\%$는 바뀌어야 한다. 나머지를 그대로 두면 정확히 $20\%$만 바뀐다. 최대: 가능한 한 많이 바꾼다 — 처음 아니오였던 $50\%$가 모두 예로 바뀌고, 처음 예였던 $50\%$ 중 $30\%$는 아니오로 바뀌고 $20\%$는 그대로 두어 말에 예 $70\%$, 아니오 $30\%$가 된다. 이때 바뀐 학생은 $50 + 30 = 80\%$이다. 차는 $80 - 20 = 60$으로 (D)와 일치하며, 직접 만들어 확인한 셈이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($50\%$/$70\%$/$30\%$ 값을 반 전체에 대한 부분으로 읽고 초$\to$말 네 무리로 정리하는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (예$\to$아니오 바뀜을 $s$로 놓고, 아니오$\to$예를 $s + 20$으로 쓰며, 바뀐 학생 수 $x = 2s + 20$을 세우는 데 사용.)
6.EE.B.8 Write an inequality of the form x > c or x < c and graph on a number line (자유로운 바뀜 수를 $0 \le s \le 30$으로 제한하여 $x$의 최솟값과 최댓값을 찾는 데 사용.)

⭐ 모두를 "누가 바꿨나" 무리로 정리하고, 예 쪽은 들어온 것에서 나간 것을 뺀 만큼만 움직인다는 점을 알아챈 뒤, 자유로운 바뀜 수를 최소와 최대로 밀어붙여 답을 양쪽에서 좁힌다.