AMC 10 · 2010 · #13

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

absolute-valuelinear-equations-one-var casework ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$x = \left|2x-|60-2x|\right|$ 의 모든 해의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

120

(E)

124

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $x = \left|\,2x - |60 - 2x|\,\right|$ 를 만족하는 모든 실수 $x$ 를 찾은 뒤, 그 값들을 모두 더하시오.

주어진 것: 방정식 $x = \left|\,2x - |60 - 2x|\,\right|$; 절댓값 안에 또 다른 절댓값이 들어 있는 형태; 선택지: (A) $32$, (B) $60$, (C) $92$, (D) $120$, (E) $124$

구하는 것: 방정식을 참으로 만드는 모든 $x$ 값; 그 값들의 합

이해

문제 재정리: $x = \left|\,2x - |60 - 2x|\,\right|$ 를 만족하는 모든 실수 $x$ 를 찾은 뒤, 그 값들을 모두 더하시오.

주어진 것: 방정식 $x = \left|\,2x - |60 - 2x|\,\right|$; 절댓값 안에 또 다른 절댓값이 들어 있는 형태; 선택지: (A) $32$, (B) $60$, (C) $92$, (D) $120$, (E) $124$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

절댓값은 사실 두 가지 규칙이 숨어 있는 것과 같다. $A \ge 0$ 이면 $|A| = A$, $A < 0$ 이면 $|A| = -A$ 이다. 절댓값 안에 또 절댓값이 있으므로, Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 부호 구간마다 하나씩 깔끔한 일차방정식으로 나눈다. 그런 다음 Tool #3(가능성 지우기)으로 자기가 만들어진 구간 밖으로 벗어난 후보를 버리면, 진짜 해만 남아서 더할 수 있다.

실행 — 정답: C

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 1

값은 음수가 될 수 없다

우변 전체가 바깥쪽 절댓값 안에 들어 있고, 절댓값은 절대 음수가 되지 않는다.
그래서 어떤 해든 $x \ge 0$ 을 만족해야 한다.
이 사실은 나중에 불가능한 후보를 걸러내는 데 쓰인다.

$$x = \left|\,2x - |60 - 2x|\,\right| \ge 0$$

💡 $0$ 으로부터의 거리는 결코 음수가 아니므로 $x$ 도 음수일 수 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 2

안쪽 절댓값으로 나누기

먼저 안쪽 조각 $|60 - 2x|$ 부터 본다.
이 값은 $60 - 2x = 0$, 즉 $x = 30$ 에서 규칙이 바뀐다.
$x \le 30$ 이면 안쪽이 음수가 아니므로 $|60 - 2x| = 60 - 2x$ 이고, $2x - |60 - 2x| = 2x - (60 - 2x) = 4x - 60$ 이 되어 방정식은 $x = |4x - 60|$ 로 바뀐다.

$$x \le 30:\quad x = \left|\,2x - (60 - 2x)\,\right| = |4x - 60|$$

💡 절댓값을 한 겹씩 벗기면 무서워 보이던 중첩식이 평범한 식으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 3

첫 번째 경우 풀기

이제 $|4x - 60|$ 을 $x = 15$ 에서 나눈다.
$x \ge 15$ 이면 $|4x - 60| = 4x - 60$ 이므로 $x = 4x - 60$ 에서 $3x = 60$, $x = 20$ 이고, $15 \le 20 \le 30$ 이라 유효하다.
$x < 15$ 이면 $|4x - 60| = 60 - 4x$ 이므로 $x = 60 - 4x$ 에서 $5x = 60$, $x = 12$ 이고, $12 < 15$ 이라 이것도 유효하다.

$$x = 4x - 60 \Rightarrow x = 20;\qquad x = 60 - 4x \Rightarrow x = 12$$

💡 부호를 하나 정할 때마다 한 줄로 풀리는 평범한 일차방정식이 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 4

두 번째 경우 풀기

$x > 30$ 이면 안쪽이 음수이므로 $|60 - 2x| = 2x - 60$ 이다.
그러면 $2x - |60 - 2x| = 2x - (2x - 60) = 60$ 이 되어 방정식은 $x = |60| = 60$ 이다.
$60 > 30$ 이라 자기 범위에 맞으므로 $x = 60$ 은 유효하다.

$$x > 30:\quad x = \left|\,2x - (2x - 60)\,\right| = |60| = 60$$

💡 이 범위에서는 두 $2x$ 항이 서로 지워져 스스로 답이 되는 상수만 남는다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 5

해를 모아서 더하기

모든 후보 ($12$, $20$, $60$) 는 음수가 아니고 자기가 나온 범위 안에 들어 있으므로 셋 다 실제 해이다.
그 합은 $12 + 20 + 60 = 92$ 이고, 이는 선택지 (C) 이다.

$$12 + 20 + 60 = 92 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 원래 방정식을 만족하는 값만 남긴 뒤 모두 더하면 최종 답이 된다.

[1] #3 6.NS.C.7 우변 전체가 바깥쪽 절댓값 안에 들어 있고, 절댓값은 절대 음수가 되지 않는다. 그래서 어떤 해든 $x \ge 0$ 을 만족해야 한다. 이 사실

[2] #7 6.NS.C.7 먼저 안쪽 조각 $|60 - 2x|$ 부터 본다. 이 값은 $60 - 2x = 0$, 즉 $x = 30$ 에서 규칙이 바뀐다. $x \le 30

[3] #7 8.EE.C.7 이제 $|4x - 60|$ 을 $x = 15$ 에서 나눈다. $x \ge 15$ 이면 $|4x - 60| = 4x - 60$ 이므로 $x = 4

[4] #7 8.EE.C.7 $x > 30$ 이면 안쪽이 음수이므로 $|60 - 2x| = 2x - 60$ 이다. 그러면 $2x - |60 - 2x| = 2x - (2x -

[5] #3 6.EE.B.5 모든 후보 ($12$, $20$, $60$) 는 음수가 아니고 자기가 나온 범위 안에 들어 있으므로 셋 다 실제 해이다. 그 합은 $12 + 2

검토

합리성 확인: 각 해를 원래 방정식에 넣어 확인한다. $x = 12$: $|60 - 24| = 36$, 그다음 $|24 - 36| = 12$. 맞다. $x = 20$: $|60 - 40| = 20$, 그다음 $|40 - 20| = 20$. 맞다. $x = 60$: $|60 - 120| = 60$, 그다음 $|120 - 60| = 60$. 맞다. 셋 다 성립하고 $12 + 20 + 60 = 92$ 로 선택지 (C) 와 일치한다.

대안 접근: Tool #13(대수로 바꾸기): $x = |2x - |60 - 2x||$ 을 $2x - |60 - 2x| = \pm x$ 로 쓰면 $|60 - 2x| = 2x \mp x$, 즉 $|60 - 2x| = x$ 또는 $|60 - 2x| = 3x$ 가 된다. 마지막 절댓값을 벗기면 네 개의 일차방정식 $60 - 2x = \pm x$ 와 $60 - 2x = \pm 3x$ 가 나오고, 이를 풀어 음수(무연근) 하나를 버리면 다시 $12$, $20$, $60$ 이 나와 합이 $92$ 이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (각 절댓값을 $0$ 으로부터의 거리 규칙으로 읽고, 우변이 $\ge 0$ 임을 파악하며, $x = 30$ 을 기준으로 양쪽에서 $|60 - 2x|$ 를 올바르게 다시 쓰는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (각 부호 경우가 만들어 내는 일차방정식 $x = 4x - 60$, $x = 60 - 4x$, $x = 60$ 을 푸는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (각 후보가 실제로 자기가 만들어진 범위 안에 들어오는지 확인하여 $12$, $20$, $60$ 을 남기고 더하는 데 사용.)

⭐ 중첩된 절댓값은 한 겹씩 벗겨라. 부호를 정할 때마다 간단한 일차방정식이 되고, 자기 범위 안에 들어오는 답만 남기면 된다.