AMC 10 · 2010 · #13

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
absolute-valuelinear-equations-one-var casework ↑ 선수 지식: absolute-value
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
실수 x가 x=∣2x−∣60−2x∣∣x = \left|2x - |60 - 2x|\right|를 만족한다. 이 식은 절댓값 안에 또 다른 절댓값이 들어 있는 꼴이다. 이러한 x를 모두 더한 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
32
(B)
60
(C)
92
(D)
120
(E)
124

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

절댓값은 사실 두 가지 규칙이 숨어 있는 것과 같다. A ≥ 0이면 |A| = A, A ＜ 0이면 |A| = -A 이다. 절댓값 안에 또 절댓값이 있으므로, Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 부호 구간마다 하나씩 깔끔한 일차방정식으로 나눈다. 그런 다음 Tool #3(가능성 지우기)으로 자기가 만들어진 구간 밖으로 벗어난 후보를 버리면, 진짜 해만 남아서 더할 수 있다.

1STEP 1

값은 음수가 될 수 없다

바깥 절댓값은 절대 음수가 될 수 없으므로, 모든 해는 x ≥ 0을 만족해야 한다.

x = | 2x - |60 - 2x| | ≥ 0
2STEP 2

안쪽 절댓값으로 나누기

안쪽 |60 - 2x|는 x = 30에서 갈린다. x ≤ 30이면 60 - 2x이므로 식은 x = |4x - 60|이 된다.

x ≤ 30: x = | 2x - (60 - 2x) | = |4x - 60|
3STEP 3

첫 번째 경우 풀기

|4x - 60|을 x = 15에서 나눈다. x ≥ 15이면 20, 15 미만이면 12. 둘 다 자기 범위에 맞는다.

x = 4x - 60 → x = 20; x = 60 - 4x → x = 12
4STEP 4

두 번째 경우 풀기

x가 30보다 크면 안쪽은 2x - 60이라 2x끼리 지워지고, 식은 x = |60| = 60이 된다.

x ＞ 30: x = | 2x - (2x - 60) | = |60| = 60
5STEP 5

해를 모아서 더하기

후보 12, 20, 60은 모두 자기가 나온 범위 안에 있고, 그 합은 92, 즉 선택지 (C)이다.

12 + 20 + 60 = 92 → (C)
정답
92
각 해를 원래 방정식에 넣어 확인한다. x = 12: |60 - 24| = 36, 그다음 |24 - 36| = 12. 맞다. x = 20: |60 - 40| = 20, 그다음 |40 - 20| = 20. 맞다. x = 60: |60 - 120| = 60, 그다음 |120 - 60| = 60. 맞다. 셋 다 성립하고 12 + 20 + 60 = 92로 선택지 (C)와 일치한다.
💡핵심 정리

중첩된 절댓값은 한 겹씩 벗겨라. 부호를 정할 때마다 간단한 일차방정식이 되고, 자기 범위 안에 들어오는 답만 남기면 된다.

  • 값은 음수가 될 수 없다
  • 안쪽 절댓값으로 나누기
  • 첫 번째 경우 풀기
  • 두 번째 경우 풀기
  • 해를 모아서 더하기

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