AMC 10 · 2010 · #14

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

mean-median-mode-rangesequences-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

이 목록에는 1부터 99까지의 자연수와 여분의 수 x가 들어 있어서 모두 100개의 수가 있다. 이 100개의 수의 평균이 x의 100배와 같다. x를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{49}{101}$

(B)

$\dfrac{50}{101}$

(C)

$\dfrac{1}{2}$

(D)

$\dfrac{51}{101}$

(E)

$\dfrac{50}{99}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

'평균'이라는 말 속에는 식이 숨어 있다. 문장을 대수로 바꾸면 (100개의 수의 합) / 100 = 100x 이다. 먼저 고정된 부분(1부터 99까지의 합)을 작은 문제로 처리한 뒤, 식을 x에 대해 푼다. 9999와 4950에 있는 패턴 덕분에 마지막 분수는 쉽게 약분된다.

1STEP 1

1부터 99까지 더하기

양 끝에서 1+99, 2+98처럼 짝지으면 각 짝이 100이고 가운데 50이 남으므로 합은 4950이다.

1 + 2 + … + 99 = (99 · 100)/2 = 4950

2STEP 2

평균을 식으로 쓰기

x까지 세면 수는 100개, 합은 4950 + x이므로 평균 $\frac{4950 + x}{100}$ 이 100x와 같다.

(4950 + x)/100 = 100x

3STEP 3

x에 대해 풀기

양변에 100을 곱해 분수를 없애고 x를 빼면 4950 + x = 10000x가 4950 = 9999x로 바뀐다.

4950 + x = 10000x → 4950 = 9999x → x = 4950/9999

4STEP 4

분수 약분하기

9999 = 99 곱하기 101, 4950 = 99 곱하기 50이므로 공통 인수 99를 약분하면 x = $\frac{50}{101}$ 이다.

x = 4950/9999 = (99 · 50)/(99 · 101) = 50/101

정답

50/101

x = 50/101은 1/2보다 조금 작으므로 100x는 50보다 조금 작다. 100개의 수는 1부터 99까지에 아주 작은 x를 더한 것이므로 평균도 50보다 조금 작아야 한다. 양쪽 모두 50보다 살짝 아래에 놓이므로 앞뒤가 맞고, 50/101은 보기 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

'평균'이라는 말은 사실 식이다: 다 더하고, 개수로 나눈 다음, 주어진 값과 같다고 놓으면 된다.

1부터 99까지 더하기
평균을 식으로 쓰기
x에 대해 풀기
분수 약분하기

1부터 99까지 더하기

평균을 식으로 쓰기

x에 대해 풀기

분수 약분하기

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