AMC 10 · 2010 · #14

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

mean-median-mode-rangesequences-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$1, 2, 3,\cdots, 98, 99,$ 와 $x$ , 이 수들의 평균이 $100x$ 이다. $x$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{49}{101}$

(B)

$\dfrac{50}{101}$

(C)

$\dfrac{1}{2}$

(D)

$\dfrac{51}{101}$

(E)

$\dfrac{50}{99}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이 목록에는 1부터 99까지의 자연수와 여분의 수 x가 들어 있어서 모두 100개의 수가 있다. 이 100개의 수의 평균이 x의 100배와 같다. x를 구하여라.

주어진 것: 수들은 1, 2, 3, ..., 98, 99, 그리고 x이다.; 그래서 수는 모두 100개이다.; 100개의 수의 평균은 100x이다.

구하는 것: x의 값.

이해

주어진 것: 수들은 1, 2, 3, ..., 98, 99, 그리고 x이다.; 그래서 수는 모두 100개이다.; 100개의 수의 평균은 100x이다.

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #5 패턴 찾기

'평균'이라는 말 속에는 식이 숨어 있다. 문장을 대수로 바꾸면 (100개의 수의 합) / 100 = 100x 이다. 먼저 고정된 부분(1부터 99까지의 합)을 작은 문제로 처리한 뒤, 식을 x에 대해 푼다. 9999와 4950에 있는 패턴 덕분에 마지막 분수는 쉽게 약분된다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

1부터 99까지 더하기

1부터 99까지는 고정된 수이므로 먼저 더한다.
양 끝에서부터 짝을 짓는다: 1+99, 2+98, 3+97, ...
각 짝은 100이 되고, 가운데 50 하나가 남는다.
즉 100짜리 짝이 49개에 50을 더한 것으로 4900 + 50 = 4950이다.
이는 n = 99일 때 공식 n(n+1)/2 와도 일치한다: 99 곱하기 100 나누기 2 = 4950.

$$1 + 2 + \cdots + 99 = \dfrac{99 \cdot 100}{2} = 4950$$

💡 양 끝을 짝지으면 긴 덧셈이 간단한 곱셈으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

평균을 식으로 쓰기

수는 100개이다: 고정된 99개와 x.
그 합은 4950 + x 이므로 평균은 (4950 + x) / 100 이다.
문제에서 이 평균이 100x와 같다고 했으므로 두 식을 같다고 놓는다.

$$\dfrac{4950 + x}{100} = 100x$$

💡 '평균이 100x'라는 말은 그저 받아 적기만 하면 되는 식이다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 3

x에 대해 풀기

양변에 100을 곱해 분수를 없앤다: 4950 + x = 10000x.
양변에서 x를 빼서 왼쪽의 x를 오른쪽으로 옮긴다: 4950 = 9999x.
그런 다음 양변을 9999로 나눈다.

$$4950 + x = 10000x \implies 4950 = 9999x \implies x = \dfrac{4950}{9999}$$

💡 분수를 없애고 x항을 한쪽으로 모으면 나눗셈 하나만 남는다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 4

분수 약분하기

두 수는 공통 인수 99를 가진다.
9999 = 100^2 - 1 = (100-1)(100+1) = 99 곱하기 101 이고, 4950 = 99 곱하기 50 임을 알아챈다.
분자와 분모를 99로 나누면 50/101이 된다.
따라서 x = 50/101 이고, 이는 보기 (B)이다.

$$x = \dfrac{4950}{9999} = \dfrac{99 \cdot 50}{99 \cdot 101} = \dfrac{50}{101}$$

💡 (제곱의 차를 통해) 공통 인수 99를 발견하면 분수가 단번에 정리된다.

[1] #7 6.EE.A.2 1부터 99까지는 고정된 수이므로 먼저 더한다. 양 끝에서부터 짝을 짓는다: 1+99, 2+98, 3+97, ... 각 짝은 100이 되고, 가

[2] #4 6.EE.B.6 수는 100개이다: 고정된 99개와 x. 그 합은 4950 + x 이므로 평균은 (4950 + x) / 100 이다. 문제에서 이 평균이 100

[3] #13 8.EE.C.7 양변에 100을 곱해 분수를 없앤다: 4950 + x = 10000x. 양변에서 x를 빼서 왼쪽의 x를 오른쪽으로 옮긴다: 4950 = 9999

[4] #5 6.NS.B.4 두 수는 공통 인수 99를 가진다. 9999 = 100^2 - 1 = (100-1)(100+1) = 99 곱하기 101 이고, 4950 = 99

검토

합리성 확인: x = 50/101 은 1/2 보다 조금 작으므로 100x는 50보다 조금 작다. 100개의 수는 1부터 99까지에 아주 작은 x를 더한 것이므로 평균도 50보다 조금 작아야 한다. 양쪽 모두 50보다 살짝 아래에 놓이므로 앞뒤가 맞고, 50/101 은 보기 (B)와 일치한다.

대안 접근: 공식 대신 묶어서 셀 수도 있다: 각각 100이 되는 짝 49개에 가운데 50을 더한다. 또는 각 보기를 (4950 + x)/100 = 100x 에 대입해 (B)만 성립할 때까지 지워 나갈 수도 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (합 공식 n(n+1)/2 에 n = 99를 넣어 4950을 구하는 데 사용.)
6.EE.B.6 문제 해결을 위해 변수로 수를 나타내고 식 세우기 (평균 (4950 + x)/100 을 쓰고 100x와 같다고 놓는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (분수를 없애고 x항을 모아 4950 + x = 10000x 를 푸는 데 사용.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (4950/9999 를 공통 인수 99로 나누어 50/101로 약분하는 데 사용.)

⭐ '평균'이라는 말은 사실 식이다: 다 더하고, 개수로 나눈 다음, 주어진 값과 같다고 놓으면 된다.