AMC 10 · 2010 · #15

학년 7 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

linear-diophantineoptimizationsystems-of-equations extreme-principle ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$50$ 문제로 이루어진 객관식 수학 대회에서, 학생은 정답에 $4$ 점, 빈칸으로 남긴 문제에 $0$ 점, 오답에 $-1$ 점을 받는다. 이 대회에서 제시의 총점은 $99$ 점이었다. 제시가 맞힐 수 있었던 문제의 최대 개수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수학 대회에는 객관식 문제가 $50$ 개 있습니다. 정답은 $+4$ 점, 빈칸(무응답)은 $0$ 점, 오답은 $-1$ 점입니다. ì ì의 총점은 $99$ 점이었습니다. ì ì가 맞힌 문제 수가 될 수 있는 최댓값을 구하는 것이 목표입니다.

주어진 것: 전체 문제 수: $50$; 채점: 정답 $= +4$, 빈칸 $= 0$, 오답 $= -1$; ì ì의 총점: $99$; 선택지: (A) 25, (B) 27, (C) 29, (D) 31, (E) 33

구하는 것: $50$ 문제에서 총점 $99$ 와 모순되지 않는 정답 개수의 최댓값

이해

주어진 것: 전체 문제 수: $50$; 채점: 정답 $= +4$, 빈칸 $= 0$, 오답 $= -1$; ì ì의 총점: $99$; 선택지: (A) 25, (B) 27, (C) 29, (D) 31, (E) 33

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #14 극단의 원리, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

정답, 오답, 빈칸이라는 세 종류의 개수는 두 가지 사실(합이 $50$, 점수가 $99$)로 서로 묶여 있는 미지수입니다. 이들을 문자로 이름 붙이는 #4 **변수 도입하기** 가 문장제를 두 개의 깔끔한 방정식으로 바꿔 줍니다. 문제가 '최댓값'을 묻는다는 것은 #14 **극단의 원리** 의 신호입니다: 남는 개수들이 음수가 되지 않는 선에서 정답 개수를 최대한 밀어붙입니다. 핵심 지렛대는 빈칸이 음수가 될 수 없다는 점이며, 이것이 정답과 오답이 쓸 수 있는 문제 수의 한도를 정합니다. 마지막에 얻은 값을 선택지와 대조하는 #3 **가능성 지우기** 로 마무리합니다. 고급 도구는 필요 없고, 일차부등식 하나를 세우고 푸는 것으로 충분합니다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

세 개수에 이름 붙이기

정답 개수를 $c$, 오답 개수를 $w$, 빈칸 개수를 $b$ 라고 합시다.
두 가지 사실이 이들을 확정합니다.
첫째, $50$ 문제는 모두 정답·오답·빈칸 중 하나이므로 세 개수의 합은 $50$ 입니다.
둘째, 점수는 정답당 $+4$, 오답당 $-1$ (빈칸은 $0$)에서 나오고 그 총점이 $99$ 입니다.

$$c + w + b = 50 \qquad 4c - w = 99$$

💡 미지수 각각에 문자를 붙이면 문제 속 두 문장이 실제로 다룰 수 있는 두 방정식으로 바뀝니다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.8 단계 2

빈칸은 음수가 될 수 없다

$c$ 를 최대한 크게 만들고 싶습니다.
세 개수 $c$, $w$, $b$ 는 모두 $0$ 이상입니다.
특히 빈칸 개수는 음수가 될 수 없으므로 $b \geq 0$ 입니다.
첫 방정식을 정리하면 $b = 50 - c - w$ 이고, $b \geq 0$ 은 정답과 오답이 합쳐서 $50$ 문제를 넘길 수 없음을 뜻합니다.

$$b = 50 - c - w \geq 0 \;\Rightarrow\; c + w \leq 50$$

💡 빈칸을 음수 개 남길 수는 없으므로 '정답 더하기 오답'이 $50$ 에 갇히고, 이 천장이 $c$ 를 제한합니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

오답을 정답으로 바꾸기

점수 방정식에서 $w$ 를 풉니다: $w = 4c - 99$.
이것을 천장 부등식 $c + w \leq 50$ 에 대입하여 부등식을 $c$ 하나만의 식으로 만듭니다.

$$w = 4c - 99 \;\Rightarrow\; c + (4c - 99) \leq 50 \;\Rightarrow\; 5c - 99 \leq 50 \;\Rightarrow\; 5c \leq 149$$

💡 $w$ 를 $c$ 로 된 식으로 바꾸면 미지수 둘이 하나로 합쳐져, 한도가 오직 $c$ 의 크기 문제로 정리됩니다.

#14 극단의 원리 7.EE.B.4 단계 4

가장 큰 정수 고르기

양변을 $5$ 로 나누면 $c \leq 149 / 5 = 29.8$ 입니다.
$c$ 는 문제 개수라 정수여야 하므로 취할 수 있는 최댓값은 $29$ 입니다.

$$c \leq \frac{149}{5} = 29.8 \;\Rightarrow\; c_{\max} = 29$$

💡 문제 개수는 정수여야 하므로 소수 한도 $29.8$ 은 아래로 내려 $29$ 가 됩니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 5

29가 정말 되는지 확인

$c = 29$ 를 검산합니다.
그러면 $w = 4(29) - 99 = 116 - 99 = 17$ 이고 $b = 50 - 29 - 17 = 4$ 입니다.
모든 개수가 $0$ 이상의 정수이며 점수는 $4(29) - 17 = 116 - 17 = 99$ 로 정확히 조건을 만족합니다.
따라서 정답 $29$ 개는 실현 가능하고, 부등식에 의해 그것이 최댓값입니다.
답은 $29$, 즉 $\textbf{(C)}$.
선택지 (D) $31$ 과 (E) $33$ 은 $c + w$ 를 $50$ 초과로 만들어 불가능하고, (A) $25$ 와 (B) $27$ 은 가능하지만 최댓값이 아닙니다.

$$c = 29,\; w = 17,\; b = 4:\quad 4(29) - 17 = 99 \;\checkmark$$

💡 정답 $29$, 오답 $17$, 빈칸 $4$ 로 실제 $99$ 를 만드는 조합을 찾으면 천장이 종이 위 한계가 아니라 실제로 도달 가능함이 증명됩니다.

[1] #4 6.EE.B.6 정답 개수를 $c$, 오답 개수를 $w$, 빈칸 개수를 $b$ 라고 합시다. 두 가지 사실이 이들을 확정합니다. 첫째, $50$ 문제는 모두 정

[2] #14 6.EE.B.8 $c$ 를 최대한 크게 만들고 싶습니다. 세 개수 $c$, $w$, $b$ 는 모두 $0$ 이상입니다. 특히 빈칸 개수는 음수가 될 수 없으므로

[3] #13 7.EE.B.4 점수 방정식에서 $w$ 를 풉니다: $w = 4c - 99$. 이것을 천장 부등식 $c + w \leq 50$ 에 대입하여 부등식을 $c$ 하나

[4] #14 7.EE.B.4 양변을 $5$ 로 나누면 $c \leq 149 / 5 = 29.8$ 입니다. $c$ 는 문제 개수라 정수여야 하므로 취할 수 있는 최댓값은 $2

[5] #3 6.EE.B.5 $c = 29$ 를 검산합니다. 그러면 $w = 4(29) - 99 = 116 - 99 = 17$ 이고 $b = 50 - 29 - 17 = 4$

검토

합리성 확인: 부등식 $5c \leq 149$ 에서 $c \leq 29.8$ 이고, 그 한도 아래 가장 큰 정수는 $29$ 입니다 — 그리고 정답 $29$, 오답 $17$, 빈칸 $4$ 로 $4(29) - 17 = 99$ 를 정확히 실현합니다. $c = 30$ 으로 밀면 $w = 4(30) - 99 = 21$ 이라 $c + w = 51 > 50$ 이 되어 $50$ 문제 시험에서는 불가능합니다. 이로써 $29$ 가 도달 가능하면서 최댓값임이 확인되며, 선택지 (C)와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 큰 선택지부터 대입합니다. (E) $33$ 정답이면 $w = 4(33) - 99 = 33$ 이라 $c + w = 66 > 50$ — 불가능. (D) $31$ 이면 $w = 4(31) - 99 = 25$ 라 $c + w = 56 > 50$ — 불가능. (C) $29$ 이면 $w = 17$, $c + w = 46 \leq 50$ 이라 빈칸 $4$ 개가 남아 가능합니다. (C)가 처음으로 맞는 선택지이므로 최댓값이며, 대수 풀이와 일치합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 문제 해결을 위해 변수로 수를 나타내고 식을 세운다 (정답·오답·빈칸 개수를 $c$, $w$, $b$ 로 이름 붙이고 지배 방정식 $c + w + b = 50$ 과 $4c - w = 99$ 를 세우는 데 사용.)
6.EE.B.8 x > c 또는 x < c 형태의 부등식을 세우고 수직선에 나타낸다 (빈칸이 음수가 될 수 없다는 사실($b \geq 0$)을 정답 개수를 제한하는 부등식 $c + w \leq 50$ 으로 바꾸는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세운다 ($w = 4c - 99$ 를 대입해 $5c \leq 149$ 를 얻고, 그 부등식을 풀어 $c$ 를 $29.8$ 로 한정하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 푸는 것을 값을 찾는 과정으로 이해한다 ($c = 29$ 가 음이 아닌 유효한 개수($w = 17$, $b = 4$)와 정확한 점수 $99$ 를 만든다는 것을 검산해 한도가 도달 가능함을 확인하는 데 사용.)

⭐ 미지수 개수에 이름을 붙이고, '빈칸은 음수가 될 수 없다'로 부등식 하나를 세운 뒤, 거기에 맞는 가장 큰 정수가 바로 답이에요.