AMC 10 · 2010 · #15

학년 7 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
linear-diophantineoptimizationsystems-of-equations extreme-principle ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
수학 대회에 객관식 문제가 50 개 있습니다. 정답은 +4 점, 빈칸은 0 점, 오답은 -1 점입니다. 제시의 총점은 99 점이었습니다. 제시가 맞힌 문제 수의 최댓값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
25
(B)
27
(C)
29
(D)
31
(E)
33

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

정답, 오답, 빈칸이라는 세 종류의 개수는 두 가지 사실(합이 50, 점수가 99)로 서로 묶여 있는 미지수입니다. 이들을 문자로 이름 붙이는 #4 변수 도입하기 가 문장제를 두 개의 깔끔한 방정식으로 바꿔 줍니다. 문제가 '최댓값'을 묻는다는 것은 #14 극단의 원리 의 신호입니다: 남는 개수들이 음수가 되지 않는 선에서 정답 개수를 최대한 밀어붙입니다. 핵심 지렛대는 빈칸이 음수가 될 수 없다는 점이며, 이것이 정답과 오답이 쓸 수 있는 문제 수의 한도를 정합니다. 마지막에 얻은 값을 선택지와 대조하는 #3 가능성 지우기 로 마무리합니다. 고급 도구는 필요 없고, 일차부등식 하나를 세우고 푸는 것으로 충분합니다.

1STEP 1

세 개수에 이름 붙이기

정답을 c, 오답을 w, 빈칸을 b라 하면 세 개수의 합은 50이고 점수는 4c - w = 99입니다.

c + w + b = 50 4c - w = 99
2STEP 2

빈칸은 음수가 될 수 없다

c를 최대한 크게 밀어붙입니다. 빈칸은 음수가 될 수 없으니 정답과 오답의 합은 50을 넘을 수 없습니다.

b = 50 - c - w ≥ 0 → c + w ≤ 50
3STEP 3

오답을 정답으로 바꾸기

점수식에서 w = 4c - 99. 이를 천장 부등식에 대입하면 5c ≤ 149로 c만 남습니다.

w = 4c - 99 → c + (4c - 99) ≤ 50 → 5c - 99 ≤ 50 → 5c ≤ 149
4STEP 4

가장 큰 정수 고르기

양변을 5로 나누면 c ≤ 29.8이고, 개수는 정수여야 하므로 최댓값은 29입니다.

c ≤ 149/5 = 29.8 → c_max = 29
5STEP 5

29가 정말 되는지 확인

c = 29면 w = 17, b = 4이고 4(29) - 17 = 99이니 천장에 실제로 도달합니다.

c = 29, w = 17, b = 4: 4(29) - 17 = 99 ✓
정답
29
부등식 5c ≤ 149에서 c ≤ 29.8이고, 그 한도 아래 가장 큰 정수는 29입니다 — 그리고 정답 29, 오답 17, 빈칸 4로 4(29) - 17 = 99를 정확히 실현합니다. c = 30으로 밀면 w = 4(30) - 99 = 21이라 c + w = 51 ＞ 50이 되어 50 문제 시험에서는 불가능합니다. 이로써 29가 도달 가능하면서 최댓값임이 확인되며, 선택지 (C)와 일치합니다.
💡핵심 정리

미지수 개수에 이름을 붙이고, '빈칸은 음수가 될 수 없다'로 부등식 하나를 세운 뒤, 거기에 맞는 가장 큰 정수가 바로 답이에요.

  • 세 개수에 이름 붙이기
  • 빈칸은 음수가 될 수 없다
  • 오답을 정답으로 바꾸기
  • 가장 큰 정수 고르기
  • 29가 정말 되는지 확인

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