AMC 10 · 2010 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlescircular-sectorequilateral-trianglearea-triangles symmetry-argument ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 1인 정사각형과 반지름이

\frac{\sqrt{3}}{3}

인 원이 중심을 공유하도록 그려져 있다. 원 안쪽이면서 정사각형 바깥쪽인 부분의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{\pi}{3}-1$

(B)

$\dfrac{2\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

(C)

$\dfrac{\pi}{18}$

(D)

$\dfrac{1}{4}$

(E)

$\dfrac{2\pi}{9}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

구하려는 부분은 곡선이 섞인 까다로운 모양이므로, 먼저 그것을 눈으로 보는 것이 첫걸음이다(도구 #1, 그림 그리기). 반지름을 정사각형의 절반 변 길이, 그리고 절반 대각선 길이와 비교하면 원이 정사각형 위에 어떻게 놓이는지 알 수 있다. 이 비교로부터 원이 네 변의 한가운데를 뚫고 바깥으로 튀어나오는 반면, 정사각형의 네 꼭짓점은 원 밖으로 나온다는 것이 드러난다. 대칭성 때문에 남는 부분은 똑같이 생긴 네 조각이므로, 문제는 '한 조각을 구하고 4를 곱하기'로 쪼개진다(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기). 각 조각은 활꼴(원의 일부)이고, 활꼴을 재는 깔끔한 방법은 부채꼴에서 그 안의 삼각형을 잘라내는 것이다(도구 #16, 관점 바꾸기). 우리에게 필요한 단 하나의 측정값 — 원이 변에서 얼마나 벌어져 있는가 — 은 직각삼각형과 피타고라스 정리에서 나온다. 그렇게 만들어진 삼각형이 정삼각형임을 알아채면(도구 #17) 60° 각을 공짜로 얻는다.

1STEP 1

원이 놓인 모습 파악

정사각형은 변까지 $0.5$ , 꼭짓점까지 $0.707$ 뻗는다. 반지름 $0.577$ 은 그 사이라서 원이 네 변을 모두 뚫고 나온다.

0.5 ＜ √(3)/3≈ 0.577 ＜ √(2)/2≈ 0.707

2STEP 2

네 개의 똑같은 조각으로 쪼개기

4중 대칭이므로 구하는 부분은 각 변 바깥의 똑같은 활꼴 네 개다. 하나만 재서 4를 곱하면 된다.

넓이 = 4 × (활꼴 하나)

3STEP 3

변에서 원이 벌어진 폭 구하기

중심, 변의 중점, 만나는 점이 직각삼각형을 이루므로 현의 절반은 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 이다.

h = √((1/√(3))² - (1/2)²) = √(1/3 - 1/4) = √(1/12) = 1/2√(3)

4STEP 4

정삼각형 알아채기

두 배 하면 현이 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 으로 반지름과 같아지니 정삼각형이고, 중심각은 $60^\circ$ 이다.

2h = 1/√(3) = r → △ 는 정삼각형 → 중심각 = 60°

5STEP 5

부채꼴 넓이

$60^\circ$ 는 원의 $\frac{1}{6}$ 이고 원 넓이가 $\frac{\pi}{3}$ 이니, 부채꼴은 $\frac{\pi}{18}$ 이다.

부채꼴 = 1/6 π r² = 1/6·π/3 = π/18

6STEP 6

삼각형을 잘라내고 4를 곱하기

활꼴 하나는 $\frac{\pi}{18}-\frac{\sqrt{3}}{12}$ 이고, 4를 곱하면 $\frac{2\pi}{9}-\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 보기 (B)이다.

4(π/18 - √(3)/12) = 4π/18 - 4√(3)/12 = 2π/9 - √(3)/3

정답

2π/9-√(3)/3

간단한 점검: 원의 넓이는 π/3 ≈ 1.047이고 정사각형의 넓이는 1이므로, 원은 정사각형보다 넓이가 약 0.047만큼만 더 크다. 원 안쪽이면서 정사각형 바깥쪽인 부분은 이 작은 여분보다도 작아야 하는데, 원 밖에 있는 정사각형의 꼭짓점들도 넓이를 차지하기 때문이다. 우리 답 2π/9 - √(3)/3 ≈ 0.698 - 0.577 = 0.121은 작고 양수이므로 네 개의 얇은 볼록 조각과 잘 맞는다. 보기 (E) 2π/9는 삼각형을 빼지 않은 네 부채꼴이고, (A) π/3-1 ≈ 0.047은 원 전체에서 정사각형 전체를 뺀 것으로 정사각형이 원 안에 완전히 들어간다고 잘못 가정한 값이다. 두 함정 모두 (B)가 옳은 계산임을 확인해 준다.

💡핵심 정리

원은 각 변의 한가운데를 넘어 볼록 튀어나오니, 똑같은 네 조각을 더하면 된다: 원의 1/6짜리 부채꼴에서 삼각형을 잘라내고 4를 곱하라.

원이 놓인 모습 파악
네 개의 똑같은 조각으로 쪼개기
변에서 원이 벌어진 폭 구하기
정삼각형 알아채기
부채꼴 넓이
삼각형을 잘라내고 4를 곱하기