AMC 10 · 2010 · #16
학년 8 geometry-2d한 변의 길이가 1인 정사각형과 반지름이 33인 원이 같은 중심을 공유한다. 원의 내부이면서 정사각형의 외부인 부분의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 변의 길이가 $1$인 정사각형과 반지름이 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$인 원이 중심을 공유하도록 그려져 있다. 원 안쪽이면서 정사각형 바깥쪽인 부분의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 정사각형의 한 변의 길이 $= 1$, 따라서 중심에서 변까지의 거리는 $\dfrac{1}{2}$; 원의 반지름 $r = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$; 정사각형과 원은 같은 중심을 가진다
구하는 것: 원 안쪽이면서 정사각형 바깥쪽인 부분의 넓이
이해
문제 재정리: 한 변의 길이가 $1$인 정사각형과 반지름이 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$인 원이 중심을 공유하도록 그려져 있다. 원 안쪽이면서 정사각형 바깥쪽인 부분의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 정사각형의 한 변의 길이 $= 1$, 따라서 중심에서 변까지의 거리는 $\dfrac{1}{2}$; 원의 반지름 $r = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$; 정사각형과 원은 같은 중심을 가진다
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #16 관점 바꾸기, #17 공간 상상하기
구하려는 부분은 곡선이 섞인 까다로운 모양이므로, 먼저 그것을 눈으로 보는 것이 첫걸음이다(도구 #1, 그림 그리기). 반지름을 정사각형의 절반 변 길이, 그리고 절반 대각선 길이와 비교하면 원이 정사각형 위에 어떻게 놓이는지 알 수 있다. 이 비교로부터 원이 네 변의 한가운데를 뚫고 바깥으로 튀어나오는 반면, 정사각형의 네 꼭짓점은 원 밖으로 나온다는 것이 드러난다. 대칭성 때문에 남는 부분은 똑같이 생긴 네 조각이므로, 문제는 '한 조각을 구하고 4를 곱하기'로 쪼개진다(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기). 각 조각은 활꼴(원의 일부)이고, 활꼴을 재는 깔끔한 방법은 부채꼴에서 그 안의 삼각형을 잘라내는 것이다(도구 #16, 관점 바꾸기). 우리에게 필요한 단 하나의 측정값 — 원이 변에서 얼마나 벌어져 있는가 — 은 직각삼각형과 피타고라스 정리에서 나온다. 그렇게 만들어진 삼각형이 정삼각형임을 알아채면(도구 #17) $60^\circ$ 각을 공짜로 얻는다.
실행 — 정답: B
8.NS.A.2 단계 1 원이 놓인 모습 파악
- 공유하는 중심을 원점에 둔다.
- 정사각형은 각 변까지 $\dfrac{1}{2} = 0.5$만큼, 각 꼭짓점까지 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$만큼 뻗는다.
- 원의 반지름은 $r = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$이다.
- $0.5 < 0.577 < 0.707$이므로 원은 모든 변의 한가운데를 넘어서지만 꼭짓점까지는 닿지 못한다.
- 따라서 원은 네 변을 뚫고 튀어나오고, 정사각형의 네 꼭짓점은 원 밖으로 나온다.
💡 반지름을 절반 변 길이와 절반 대각선 길이에 비교하면 원이 정사각형 밖으로 넘치는 곳과 안으로 들어가는 곳이 정확히 보인다.
7.G.B.6 단계 2 네 개의 똑같은 조각으로 쪼개기
- 그림은 4중 대칭을 가진다: 위쪽 변에서 일어나는 일이 아래쪽, 왼쪽, 오른쪽에서 똑같이 일어난다.
- 원 안쪽이면서 정사각형 바깥쪽인 부분은 네 변을 넘어 튀어나온 네 개의 볼록한 조각이다.
- 각 조각은 직선인 현으로 잘려 나온 원의 조각, 즉 활꼴이다.
- 그러므로 전체 넓이는 활꼴 하나의 넓이의 $4$배이고, 우리는 하나만 재면 된다.
💡 네 조각이 똑같은 복제품이므로, 하나를 풀고 4를 곱하는 편이 울퉁불퉁한 전체를 한 번에 재는 것보다 낫다.
8.G.B.7 단계 3 변에서 원이 벌어진 폭 구하기
- 정사각형의 오른쪽 변, 즉 수직선 $x = \dfrac{1}{2}$을 보자.
- 중심에서 원이 이 선과 만나는 점까지 반지름을 그으면 직각삼각형이 생긴다: 수평 변은 중심에서 변까지로 길이 $\dfrac{1}{2}$, 빗변은 반지름 $r = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, 수직 변은 벌어진 폭의 절반 높이로 이를 $h$라 하자.
- 피타고라스 정리에 의해 $h = \sqrt{r^2 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^2}$이다.
💡 중심, 변, 그리고 만나는 점이 직각삼각형을 이루므로 피타고라스 정리로 만나는 점이 변 한가운데에서 얼마나 위에 있는지 잰다.
8.G.A.5 단계 4 정삼각형 알아채기
- 원은 변과 두 점에서 만나는데, 하나는 높이 $+h$에, 다른 하나는 $-h$에 있으므로 두 점 사이의 현 전체 길이는 $2h = \dfrac{2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = r$이다.
- 이제 중심에서 두 만나는 점까지 반지름 두 개를 긋자.
- 두 반지름과 현이 이루는 삼각형은 세 변이 모두 $r$로 같으므로 정삼각형이다.
- 정삼각형은 세 각이 모두 $60^\circ$이므로 우리 활꼴의 중심각은 $60^\circ$, 즉 한 바퀴의 $\dfrac{1}{6}$이다.
💡 삼각형의 세 변이 모두 같은 길이이면 세 각이 모두 $60^\circ$일 수밖에 없어, 재지 않고도 부채꼴의 각이 정해진다.
7.G.B.4 단계 5 부채꼴 넓이
- 중심에서 두 만나는 점까지 뻗은 부채꼴은 $60^\circ$를 차지하는데, 이는 원 전체의 $\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$이다.
- 원 전체의 넓이는 $\pi r^2 = \pi \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
- 따라서 부채꼴의 넓이는 그것의 $\dfrac{1}{6}$이다.
💡 $60^\circ$ 조각은 정확히 원의 $\dfrac{1}{6}$이므로 그 넓이는 원 넓이의 $\dfrac{1}{6}$일 뿐이다.
6.G.A.1 단계 6 삼각형을 잘라내고 4를 곱하기
- 활꼴은 부채꼴에서 정삼각형을 잘라낸 것이다.
- 한 변이 $r$인 정삼각형의 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{12}$이다.
- 따라서 활꼴 하나는 $\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt{3}}{12}$이다.
- 네 변만큼 4를 곱하면 전체 넓이가 나온다: $4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt{3}}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
- 이는 보기 $\textbf{(B)}$와 일치한다.
💡 활꼴은 직선 변을 가진 삼각형을 떼어낸 부채꼴일 뿐이므로, 부채꼴에서 삼각형을 빼고 4로 키우면 된다.
8.NS.A.2 공유하는 중심을 원점에 둔다. 정사각형은 각 변까지 $\dfrac{1}{2} = 0.5$만큼, 각 꼭짓점까지 $\dfrac{\sqrt{2}}{2 7.G.B.6 그림은 4중 대칭을 가진다: 위쪽 변에서 일어나는 일이 아래쪽, 왼쪽, 오른쪽에서 똑같이 일어난다. 원 안쪽이면서 정사각형 바깥쪽인 부분은 네 8.G.B.7 정사각형의 오른쪽 변, 즉 수직선 $x = \dfrac{1}{2}$을 보자. 중심에서 원이 이 선과 만나는 점까지 반지름을 그으면 직각삼각형이 8.G.A.5 원은 변과 두 점에서 만나는데, 하나는 높이 $+h$에, 다른 하나는 $-h$에 있으므로 두 점 사이의 현 전체 길이는 $2h = \dfrac{ 7.G.B.4 중심에서 두 만나는 점까지 뻗은 부채꼴은 $60^\circ$를 차지하는데, 이는 원 전체의 $\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{ 6.G.A.1 활꼴은 부채꼴에서 정삼각형을 잘라낸 것이다. 한 변이 $r$인 정삼각형의 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \dfrac{\s 검토
합리성 확인: 간단한 점검: 원의 넓이는 $\dfrac{\pi}{3} \approx 1.047$이고 정사각형의 넓이는 $1$이므로, 원은 정사각형보다 넓이가 약 $0.047$만큼만 더 크다. 원 안쪽이면서 정사각형 바깥쪽인 부분은 이 작은 여분보다도 작아야 하는데, 원 밖에 있는 정사각형의 꼭짓점들도 넓이를 차지하기 때문이다. 우리 답 $\dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.698 - 0.577 = 0.121$은 작고 양수이므로 네 개의 얇은 볼록 조각과 잘 맞는다. 보기 (E) $\dfrac{2\pi}{9}$는 삼각형을 빼지 않은 네 부채꼴이고, (A) $\dfrac{\pi}{3}-1 \approx 0.047$은 원 전체에서 정사각형 전체를 뺀 것으로 정사각형이 원 안에 완전히 들어간다고 잘못 가정한 값이다. 두 함정 모두 (B)가 옳은 계산임을 확인해 준다.
대안 접근: 부채꼴에서 삼각형을 빼는 대신, 표준 활꼴 넓이 공식 $\tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$에 $\theta = \dfrac{\pi}{3}$을 넣으면 활꼴 하나 $= \tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\pi}{3} - \sin 60^\circ\right) = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt{3}}{12}$이다. 다시 4를 곱하면 $\dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이 되어 두 번째 경로로도 답이 확인된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.NS.A.2Use rational approximations of irrational numbers to compare their size (반지름 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 0.577$을 절반 변 길이 $0.5$, 절반 대각선 길이 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$과 비교하여 원이 변은 넘고 꼭짓점은 넘지 못함을 확인.)7.G.B.6Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (4중 대칭을 이용해 구하려는 부분을 똑같은 네 활꼴로 쪼개고 문제를 하나 재는 것으로 줄임.)8.G.B.7Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (정사각형 변에서 원이 벌어진 폭의 절반 높이 $h = \sqrt{r^2 - \tfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$을 구함.)8.G.A.5Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (세 변이 모두 $r$로 같은 삼각형이 정삼각형이므로 그 중심각이 $60^\circ$임을 알아챔.)7.G.B.4Know the formulas for area and circumference of a circle (원의 넓이 $\pi r^2 = \dfrac{\pi}{3}$을 구하고 그 $\dfrac{1}{6}$인 부채꼴 넓이 $\dfrac{\pi}{18}$을 계산.)6.G.A.1Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (정삼각형의 넓이 $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$을 구해 부채꼴에서 빼 활꼴 하나를 얻고 4를 곱함.)
⭐ 원은 각 변의 한가운데를 넘어 볼록 튀어나오니, 똑같은 네 조각을 더하면 된다: 원의 $\dfrac{1}{6}$짜리 부채꼴에서 삼각형을 잘라내고 4를 곱하라.
⭐ 원은 각 변의 한가운데를 넘어 볼록 튀어나오니, 똑같은 네 조각을 더하면 된다: 원의 $\dfrac{1}{6}$짜리 부채꼴에서 삼각형을 잘라내고 4를 곱하라.
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