AMC 10 · 2010 · #18

학년 7 probabilitynumber-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
modular-arithmeticprobability-basicpolynomial-factoring casework ↑ 선수 지식: probability-basicmodular-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
세 수 a, b, c를 1, 2, 3, …, 2010 중에서 모두 같은 확률로 서로 독립적으로 하나씩 고른다. abc + ab + a가 3의 배수가 될 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\dfrac{1}{3}$
(B)
$\dfrac{29}{81}$
(C)
$\dfrac{31}{81}$
(D)
$\dfrac{11}{27}$
(E)
$\dfrac{13}{27}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

3의 배수 여부는 3으로 나눈 나머지에만 달려 있으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 거대한 집합 {1,…,2010}을 서로 같은 확률의 나머지 0, 1, 2 세 가지로 줄인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 식을 a(bc + b + 1)로 인수분해하여 'a가 3의 배수인가?'와 'bc + b + 1이 3의 배수인가?'로 나눈다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 나머지 경우의 작은 표를 추측 없이 정확히 센다.

1STEP 1

나머지 mod 3만 중요하다

3의 배수 여부는 나머지에만 달렸다. 2010 = 3 × 670이므로 나머지 0, 1, 2는 각각 확률 1/3이다.

P(a ≡ 0) = P(a ≡ 1) = P(a ≡ 2) = 1/3 (mod 3)
2STEP 2

식을 인수분해하기

모든 항이 a를 공통으로 가지므로 abc + ab + a = a(bc + b + 1)이고, 곱은 한 인수만 3의 배수여도 배수다.

abc + ab + a = a (bc + b + 1)
3STEP 3

쉬운 경우: a가 3의 배수

a ≡ 0 (mod 3)이면 b, c와 상관없이 곱은 3의 배수다(확률 1/3). 아니면 bc + b + 1 ≡ 0이어야 한다.

a ≡ 0: 항상 배수, P = 1/3
4STEP 4

b와 c의 나머지 경우를 모두 나열하기

아홉 가지 나머지 쌍 중 bc + b + 1 ≡ 0인 것은 (1, 1)과 (2, 0)뿐이고 확률은 2/9가 된다.

{(b,c): bc+b+1 ≡ 0} = {(1,1), (2,0)}, P = 2/9
5STEP 5

두 경우를 합치기

두 경우는 겹치지 않으므로 더한다: 1/3 + 2/3 × 2/9 = 9/27 + 4/27 = 13/27이다.

1/3 + 2/3·2/9 = 9/27 + 4/27 = 13/27
정답
13/27
결과 13/27 ≈ 0.481은 절반보다 조금 작아 타당하다. 3의 배수일 확률만 따지면 1/3인데, 추가 인수 구조는 기회를 더할 뿐이므로 답은 1/3보다 크고 1보다는 훨씬 작아야 한다. 나머지 삼중쌍을 직접 세어 교차 검증하면, (a,b,c)의 나머지 패턴 3³ = 27가지 중 a ≡ 0인 9가지는 모두 성립하고, a ≢ 0인 18가지 중에서는 (b,c) ∈ {(1,1),(2,0)}인 것들, 즉 2 × 2 = 4가지가 더 성립한다. 합계 9 + 4 = 13가지가 27가지 중이므로 13/27이 확인된다.
💡핵심 정리

3으로 나누어떨어지는지는 나머지 mod 3만 중요하다 — 식을 인수분해한 다음, 거대한 원래 집합 대신 작은 나머지 경우의 표만 확인하면 된다.

  • 나머지 mod 3만 중요하다
  • 식을 인수분해하기
  • 쉬운 경우: a가 3의 배수
  • b와 c의 나머지 경우를 모두 나열하기
  • 두 경우를 합치기

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