AMC 10 · 2010 · #18

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

modular-arithmeticprobability-basicpolynomial-factoring casework ↑ 선수 지식: probability-basicmodular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수 $a$ , $b$ , $c$ 를 집합 $\{1, 2, 3,\dots, 2010\}$ 에서 복원추출로 무작위로 그리고 독립적으로 선택한다. $abc + ab + a$ 가 $3$ 으로 나누어떨어질 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{3}$

(B)

$\dfrac{29}{81}$

(C)

$\dfrac{31}{81}$

(D)

$\dfrac{11}{27}$

(E)

$\dfrac{13}{27}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 수 $a$, $b$, $c$를 각각 $1, 2, 3, \dots, 2010$ 중에서 서로 독립적으로, 모두 같은 확률로 하나씩 고른다. $abc + ab + a$가 $3$의 배수가 될 확률을 구하여라.

주어진 것: $a$, $b$, $c$는 각각 $\{1, 2, \dots, 2010\}$에서 균등하고 독립적으로 뽑는다; 관심 대상은 $abc + ab + a$이다; 이 값이 $3$으로 나누어떨어질 확률을 구한다; 보기: (A) $\dfrac{1}{3}$, (B) $\dfrac{29}{81}$, (C) $\dfrac{31}{81}$, (D) $\dfrac{11}{27}$, (E) $\dfrac{13}{27}$

구하는 것: $abc + ab + a \equiv 0 \pmod{3}$이 될 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

$3$의 배수 여부는 $3$으로 나눈 나머지에만 달려 있으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 거대한 집합 $\{1,\dots,2010\}$을 서로 같은 확률의 나머지 $0$, $1$, $2$ 세 가지로 줄인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 식을 $a(bc + b + 1)$로 인수분해하여 '$a$가 $3$의 배수인가?'와 '$bc + b + 1$이 $3$의 배수인가?'로 나눈다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 나머지 경우의 작은 표를 추측 없이 정확히 센다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 1

나머지 mod 3만 중요하다

어떤 수가 $3$으로 나누어떨어지는지는 그 수를 $3$으로 나눈 나머지에만 달려 있다.
$2010 = 3 \times 670$이므로 $1$부터 $2010$까지 중 정확히 $670$개가 나머지 $0$, $670$개가 나머지 $1$, $670$개가 나머지 $2$를 가진다.
따라서 각 나머지는 확률 $\tfrac{670}{2010} = \tfrac{1}{3}$로 똑같이 나오고, 세 선택은 서로 독립이다.

$$P(a \equiv 0) = P(a \equiv 1) = P(a \equiv 2) = \tfrac{1}{3} \pmod 3$$

💡 $2010$이 셋으로 딱 나누어지므로 각 나머지는 완벽하게 공평한 $3$분의 $1$ 결과다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 2

식을 인수분해하기

$abc$, $ab$, $a$의 모든 항이 $a$를 공통으로 가진다.
이를 묶어내면 $abc + ab + a = a(bc + b + 1)$이다.
곱이 $3$의 배수가 되는 것은 두 인수 중 적어도 하나가 $3$의 배수일 때뿐이다.
즉, $a$가 $3$의 배수이거나, 또는 $bc + b + 1$이 $3$의 배수일 때 전체 값이 $3$의 배수가 된다.

$$abc + ab + a = a\,(bc + b + 1)$$

💡 인수분해하면 지저분한 합이 곱으로 바뀌고, 곱은 한 조각만 $3$의 배수여도 $3$의 배수가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

쉬운 경우: a가 3의 배수

$a \equiv 0 \pmod 3$이면 $b$, $c$가 무엇이든 $a(bc + b + 1)$은 자동으로 $3$의 배수다.
이 경우의 확률은 $\tfrac{1}{3}$이다.
남은 일은 $a$가 $3$의 배수가 아닌 경우(확률 $\tfrac{2}{3}$)뿐인데, 이때는 $bc + b + 1 \equiv 0 \pmod 3$이어야 한다.

$$a \equiv 0:\ \text{항상 배수},\quad P = \tfrac{1}{3}$$

💡 한 인수가 이미 $3$의 배수라면 곱 전체가 배수이고, $b$, $c$는 상관없다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

b와 c의 나머지 경우를 모두 나열하기

이제 $b, c \in \{0, 1, 2\}$의 모든 나머지 쌍(서로 같은 확률의 아홉 쌍)에 대해 $bc + b + 1 \pmod 3$을 계산한다.
$b = 0$이면 값은 모든 $c$에 대해 $0 + 0 + 1 = 1$($0$이 안 됨).
$b = 1$이면 값은 $c + 2$이고, $c = 1$일 때만 $0$.
$b = 2$이면 값은 $2c + 3 \equiv 2c$이고, $c = 0$일 때만 $0$.
따라서 아홉 쌍 중 정확히 두 쌍 $(b, c) = (1, 1)$과 $(2, 0)$만 조건을 만족한다.

$$\{(b,c): bc+b+1 \equiv 0\} = \{(1,1),\,(2,0)\},\quad P = \tfrac{2}{9}$$

💡 각 나머지가 세 가지뿐이므로 전체는 손으로 확인 가능한 $3\times 3$ 표다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 5

두 경우를 합치기

이 식이 $3$의 배수가 되는 경우는 $a \equiv 0$일 때(확률 $\tfrac{1}{3}$), 또는 $a \not\equiv 0$이면서 $bc + b + 1 \equiv 0$일 때(확률 $\tfrac{2}{3} \times \tfrac{2}{9} = \tfrac{4}{27}$)다.
이 두 경우는 겹치지 않으므로 더한다: $\tfrac{1}{3} + \tfrac{4}{27} = \tfrac{9}{27} + \tfrac{4}{27} = \tfrac{13}{27}$.
따라서 답은 $\textbf{(E)}\ \tfrac{13}{27}$이다.

$$\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{9} = \tfrac{9}{27} + \tfrac{4}{27} = \tfrac{13}{27}$$

💡 곱이 $3$의 배수가 되는 서로 겹치지 않는 방법들의 확률을 더한다.

[1] #9 7.SP.C.7 어떤 수가 $3$으로 나누어떨어지는지는 그 수를 $3$으로 나눈 나머지에만 달려 있다. $2010 = 3 \times 670$이므로 $1$부터

[2] #7 6.EE.A.3 $abc$, $ab$, $a$의 모든 항이 $a$를 공통으로 가진다. 이를 묶어내면 $abc + ab + a = a(bc + b + 1)$이다.

[3] #7 4.OA.B.4 $a \equiv 0 \pmod 3$이면 $b$, $c$가 무엇이든 $a(bc + b + 1)$은 자동으로 $3$의 배수다. 이 경우의 확률은

[4] #2 7.SP.C.8 이제 $b, c \in \{0, 1, 2\}$의 모든 나머지 쌍(서로 같은 확률의 아홉 쌍)에 대해 $bc + b + 1 \pmod 3$을 계산

[5] #2 7.SP.C.8 이 식이 $3$의 배수가 되는 경우는 $a \equiv 0$일 때(확률 $\tfrac{1}{3}$), 또는 $a \not\equiv 0$이면서

검토

합리성 확인: 결과 $\tfrac{13}{27} \approx 0.481$은 절반보다 조금 작아 타당하다. $3$의 배수일 확률만 따지면 $\tfrac{1}{3}$인데, 추가 인수 구조는 기회를 더할 뿐이므로 답은 $\tfrac{1}{3}$보다 크고 $1$보다는 훨씬 작아야 한다. 나머지 삼중쌍을 직접 세어 교차 검증하면, $(a,b,c)$의 나머지 패턴 $3^3 = 27$가지 중 $a \equiv 0$인 $9$가지는 모두 성립하고, $a \not\equiv 0$인 $18$가지 중에서는 $(b,c) \in \{(1,1),(2,0)\}$인 것들, 즉 $2 \times 2 = 4$가지가 더 성립한다. 합계 $9 + 4 = 13$가지가 $27$가지 중이므로 $\tfrac{13}{27}$이 확인된다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건 세기): 식이 $3$의 배수가 아닐 확률을 구한다. 이는 $a \not\equiv 0$(확률 $\tfrac{2}{3}$)이고 $bc + b + 1 \not\equiv 0$(같은 표에서 확률 $\tfrac{7}{9}$)이어야 하므로 $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{7}{9} = \tfrac{14}{27}$이다. 이를 $1$에서 빼면 $1 - \tfrac{14}{27} = \tfrac{13}{27}$로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델을 세워 사건의 확률을 구하기 ($2010$이 세 나머지 부류로 고르게 나누어지므로 각 나머지 $0$, $1$, $2$가 확률 $\tfrac{1}{3}$로 똑같이 나옴을 확립하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($abc + ab + a$를 곱 $a(bc + b + 1)$로 인수분해하는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수와 배수를 찾고 어떤 수의 배수를 알아보기 (곱이 $3$의 배수가 되는 것은 한 인수가 $3$의 배수일 때뿐이라는 규칙을 써서 $a \equiv 0$ 경우와 $bc + b + 1 \equiv 0$ 경우로 나누는 데 사용.)
7.SP.C.8 목록, 표, 모의실험으로 복합 사건의 확률 구하기 ($(b,c)$ 나머지의 $3\times 3$ 표를 나열해 유리한 두 쌍을 세고, 독립인 경우들을 $\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{9} = \tfrac{13}{27}$로 합치는 데 사용.)

⭐ $3$으로 나누어떨어지는지는 나머지 mod $3$만 중요하다 — 식을 인수분해한 다음, 거대한 원래 집합 대신 작은 나머지 경우의 표만 확인하면 된다.