AMC 10 · 2010 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

area-circlesequilateral-trianglepythagorean-theoremchord-perpendicular-from-center identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

중심이 $O$ 인 원의 넓이가 $156\pi$ 이다. 삼각형 $ABC$ 는 정삼각형이고, $\overline{BC}$ 는 이 원의 현이며, $OA = 4\sqrt{3}$ 이고, 점 $O$ 는 $\triangle ABC$ 의 외부에 있다. $\triangle ABC$ 의 한 변의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{3}$

(B)

(C)

$4\sqrt{3}$

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 중심이 $O$이고 넓이가 $156\pi$인 원이 있다. 정삼각형 $ABC$의 변 $\overline{BC}$는 이 원의 현이고, 세 번째 꼭짓점 $A$는 한쪽으로 떨어져 있으며, 중심 $O$는 삼각형 바깥에 있다. $OA = 4\sqrt{3}$일 때, $\triangle ABC$의 한 변의 길이를 구하라.

주어진 것: 원의 중심은 $O$이고 넓이는 $156\pi$이다; $\triangle ABC$는 정삼각형이다; $\overline{BC}$는 원의 현이다 (즉 $B$와 $C$는 원 위에 있다); $OA = 4\sqrt{3}$; 점 $O$는 $\triangle ABC$의 바깥에 있다; 선택지: (A) $2\sqrt{3}$, (B) $6$, (C) $4\sqrt{3}$, (D) $12$, (E) $18$

구하는 것: $\triangle ABC$의 한 변의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

이 문제는 그림을 그리기만 기다리는 문제이므로 도구 #1 (그림 그리기)가 앞장선다. 그림을 그리면 깔끔한 사실 하나가 드러난다 — 정삼각형의 높이와 중심에서 현에 내린 수선이 같은 직선이라서, $A$, $BC$의 중점 $M$, $O$가 모두 한 직선 위에 놓인다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 변의 길이를 $s$라 놓아 길이들을 식으로 만든다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 반지름-현 관계용 직각삼각형과 삼각형 높이용 직각삼각형, 두 개로 나눈다. 도구 #3 (가능성 지우기)로 '바깥에 있다'는 단서를 써서 대수가 허용하는 두 값 중 옳은 변의 길이를 골라낸다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 1

그림을 그려 한 직선을 찾기

원, 현 $BC$, 꼭짓점 $A$를 그린다.
$M$을 $BC$의 중점이라 하자.
$\triangle ABC$가 정삼각형이므로 선분 $AM$은 높이이고 $AM \perp BC$이다.
또 $BC$가 현이므로 중심 $O$에서 $BC$에 내린 수선도 $M$을 지난다.
두 사실 모두 $M$을 지나는 같은 수선을 가리키므로 $A$, $M$, $O$는 한 직선 위에 있다.

💡 그림의 모든 것이 $BC$의 수직이등분선을 기준으로 대칭이라서, 그 한 직선이 꼭짓점과 현의 중점과 중심을 한꺼번에 붙잡는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

넓이를 반지름으로 바꾸기

원의 넓이는 $\pi r^2$이다.
주어진 넓이와 같다고 놓고 $r^2$을 구한다.
$r$ 자체가 아니라 $r^2$만 있으면 된다.

$$\pi r^2 = 156\pi \;\Rightarrow\; r^2 = 156$$

💡 넓이 공식만이 '$156\pi$'에서 길이로 건너가는 다리이고, $r^2$은 바로 다음 피타고라스 단계가 요구하는 값이다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

현 위의 직각삼각형

변의 길이를 $s$라 하자.
그러면 $M$이 $BC$의 중점이므로 $BM = \tfrac{s}{2}$이고, $B$가 원 위에 있으므로 $OB = r$이다.
삼각형 $OMB$는 $M$에서 직각이다.
피타고라스 정리로 $OM$을 구한다.

$$OM^2 = OB^2 - BM^2 = 156 - \dfrac{s^2}{4}$$

💡 현에 수선을 내리면 반현과 중심까지의 거리를 두 변으로 갖는 직각삼각형이 생기고, 그 둘을 $r$이 이어 준다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 4

정삼각형의 높이

정삼각형 $\triangle ABC$에서 높이 $AM$은 삼각형을 빗변이 $s$이고 한 변이 $\tfrac{s}{2}$인 직각삼각형으로 나눈다.
피타고라스 정리로 높이를 구한다.

$$AM^2 = s^2 - \left(\dfrac{s}{2}\right)^2 = \dfrac{3s^2}{4} \;\Rightarrow\; AM = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,s$$

💡 현을 재던 그 직각삼각형 요령이 삼각형의 높이도 잰다 — 밑변의 반과 한 변 전체가 높이를 못 박는다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 5

'바깥'을 써서 식 하나 세우기

$A$, $M$, $O$가 한 직선 위에 있으므로 $OA$는 그 직선의 한 조각일 뿐이다.
만약 $O$가 $M$과 $A$ 사이에 있다면 삼각형 안쪽에 놓일 텐데, $O$는 바깥에 있으므로 $A$보다 더 바깥에 놓이고 따라서 $OM = OA + AM$이다.
$OA = 4\sqrt{3}$과 $AM = \tfrac{\sqrt{3}}{2}s$을 대입해 제곱한 뒤, 현 단계에서 얻은 $156 - \tfrac{s^2}{4}$과 같다고 놓는다.

$$\left(4\sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}s\right)^2 = 156 - \dfrac{s^2}{4} \;\Rightarrow\; 48 + 12s + \dfrac{3s^2}{4} = 156 - \dfrac{s^2}{4}$$

💡 '바깥'이라는 말은 장식이 아니다 — 그 말이 $O$를 $A$의 반대편 끝에 고정해서 $OA$와 $AM$이 어떻게 더해지는지를 알려 준다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 6

어느 변의 길이가 맞는지 확인

식을 정리하면 $s^2$ 항이 합쳐져 $s^2 + 12s - 108 = 0$이 되고, 이는 $(s - 6)(s + 18) = 0$으로 인수분해된다.
길이는 음수일 수 없으므로 $s = 6$이다.
선택지에 대입해 확인하면, $s = 6$일 때 $OM = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$이고 $OM^2 = 147 = 156 - 9$로 현 관계와 정확히 맞는다.
함정 값 $s = 18$은 $O$가 삼각형 안쪽에 놓이는 경우인데, 문제가 이를 금지한다.
따라서 변의 길이는 $6$, 선택지 $\textbf{(B)}$이다.

$$s^2 + 12s - 108 = 0 \;\Rightarrow\; (s-6)(s+18)=0 \;\Rightarrow\; s = 6$$

💡 대수에서 두 후보가 살아남지만, '바깥' 조건이 심판이 되어 $18$을 버리고 $6$을 남긴다.

[1] #1 7.G.A.2 원, 현 $BC$, 꼭짓점 $A$를 그린다. $M$을 $BC$의 중점이라 하자. $\triangle ABC$가 정삼각형이므로 선분 $AM$은 높

[2] #7 7.G.B.4 원의 넓이는 $\pi r^2$이다. 주어진 넓이와 같다고 놓고 $r^2$을 구한다. $r$ 자체가 아니라 $r^2$만 있으면 된다.

[3] #4 8.G.B.7 변의 길이를 $s$라 하자. 그러면 $M$이 $BC$의 중점이므로 $BM = \tfrac{s}{2}$이고, $B$가 원 위에 있으므로 $OB =

[4] #4 8.G.B.7 정삼각형 $\triangle ABC$에서 높이 $AM$은 삼각형을 빗변이 $s$이고 한 변이 $\tfrac{s}{2}$인 직각삼각형으로 나눈다.

[5] #4 8.G.B.7 $A$, $M$, $O$가 한 직선 위에 있으므로 $OA$는 그 직선의 한 조각일 뿐이다. 만약 $O$가 $M$과 $A$ 사이에 있다면 삼각형

[6] #3 6.EE.B.5 식을 정리하면 $s^2$ 항이 합쳐져 $s^2 + 12s - 108 = 0$이 되고, 이는 $(s - 6)(s + 18) = 0$으로 인수분해된

검토

합리성 확인: $s = 6$을 처음까지 되짚어 대입한다. 반지름: $r^2 = 156$이므로 $r = 2\sqrt{39} \approx 12.49$. 반현 $BM = 3$이므로 $OM = \sqrt{156 - 9} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \approx 12.12$. 높이 $AM = \tfrac{\sqrt{3}}{2}(6) = 3\sqrt{3} \approx 5.20$. $A$, $M$, $O$가 한 직선 위에 있고 $O$가 $A$보다 바깥에 있으므로 $OA = OM - AM = 7\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$으로 주어진 값과 정확히 같다. 또 $OM \approx 12.12 > AM \approx 5.20$이 $O$가 $A$보다 바깥, 즉 삼각형 바깥에 있음을 확인해 준다. 모두 들어맞고 $6$은 선택지 (B)이다.

대안 접근: 대수를 건너뛰고 도구 #3 (가능성 지우기)를 선택지에 바로 쓴다. 각 후보 $s$에 대해 현에서 $OM = \sqrt{156 - s^2/4}$, 높이에서 $AM = \tfrac{\sqrt{3}}{2}s$을 구한 뒤, ('바깥'의 경우인) $OM - AM$이 $4\sqrt{3}$과 같은지 확인한다. $s = 6$만 $7\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$을 주고 나머지는 빗나간다. 이차식을 풀지 않고 산술만으로 (B)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.2 Draw geometric shapes with given conditions including triangles (원, 현, 정삼각형을 그려 꼭짓점 $A$, 현의 중점 $M$, 중심 $O$가 모두 한 직선 위에 있음을 드러내는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle ($\text{넓이} = \pi r^2$을 써서 넓이 $156\pi$을 $r^2 = 156$으로 바꾸는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (반지름-현 직각삼각형에서 $OM^2 = 156 - \tfrac{s^2}{4}$을, 정삼각형에서 높이 $AM = \tfrac{\sqrt{3}}{2}s$을 구하고, 이들을 $s^2 + 12s - 108 = 0$으로 합치는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (어느 변의 길이가 식과 '바깥' 조건을 동시에 만족하는지 확인해 $s = 6$을 남기고 $s = 18$을 버리는 데 사용.)

⭐ 그림을 그려 보라: 삼각형의 높이와 중심에서 현으로 가는 직선이 같은 직선이라 꼭짓점, 중점, 중심이 한 줄로 선다 — 그러면 직각삼각형 두 개와 '바깥'이라는 말이 변의 길이를 $6$으로 못 박는다.