AMC 10 · 2010 · #19
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제는 그림을 그리기만 기다리는 문제이므로 도구 #1 (그림 그리기)가 앞장선다. 그림을 그리면 깔끔한 사실 하나가 드러난다 — 정삼각형의 높이와 중심에서 현에 내린 수선이 같은 직선이라서, A, BC의 중점 M, O가 모두 한 직선 위에 놓인다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 변의 길이를 s라 놓아 길이들을 식으로 만든다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 반지름-현 관계용 직각삼각형과 삼각형 높이용 직각삼각형, 두 개로 나눈다. 도구 #3 (가능성 지우기)로 '바깥에 있다'는 단서를 써서 대수가 허용하는 두 값 중 옳은 변의 길이를 골라낸다.
그림을 그려 한 직선을 찾기
원과 현 BC, 꼭짓점 A를 그린다. BC의 중점 M을 높이 AM과 O에서 내린 수선이 모두 지나므로 A, M, O는 한 직선 위에 있다.
그림의 모든 것이 BC의 수직이등분선을 기준으로 대칭이라서, 그 한 직선이 꼭짓점과 현의 중점과 중심을 한꺼번에 붙잡는다.
7.G.A.2Draw A Diagram넓이를 반지름으로 바꾸기
원의 넓이는 π r²이므로 주어진 넓이와 맞추면 r² = 156이다. 다음 단계에는 r²만 있으면 된다.
넓이 공식만이 '156π'에서 길이로 건너가는 다리이고, r²은 바로 다음 피타고라스 단계가 요구하는 값이다.
7.G.B.4Identify Subproblems현 위의 직각삼각형
한 변을 s라 하자. BM = s/2이고 OB = r이며 삼각형 OMB는 M에서 직각이므로 OM² = 156 - s²/4이다.
현에 수선을 내리면 반현과 중심까지의 거리를 두 변으로 갖는 직각삼각형이 생기고, 그 둘을 r이 이어 준다.
현에 수선을 내리면 두 변이 아는 길이인 직각삼각형이 생긴다.
▸ 왜?
중심은 현의 양 끝에서 같은 거리에 있으므로, 그 선이 현을 직각으로 반 자른다.
▸ 왜?
그 직각이 현의 절반과 중심까지의 거리와 반지름을 하나의 식으로 묶는다.
정삼각형의 높이
높이 AM은 정삼각형 △ ABC를 빗변 s, 밑변 s/2인 직각삼각형으로 자르므로 AM = √(3)/2 s이다.
현을 재던 그 직각삼각형 요령이 삼각형의 높이도 잰다 — 밑변의 반과 한 변 전체가 높이를 못 박는다.
8.G.B.7Introduce A Variable'바깥'을 써서 식 하나 세우기
O가 바깥이면 O는 그 직선에서 A보다 멀리 놓이므로 OM = OA + AM이다. 두 길이를 넣고 제곱해 156 - s²/4과 맞춘다.
'바깥'이라는 말은 장식이 아니다 — 그 말이 O를 A의 반대편 끝에 고정해서 OA와 AM이 어떻게 더해지는지를 알려 준다.
8.G.B.7Introduce A Variable어느 변의 길이가 맞는지 확인
식을 정리하면 s² + 12s - 108 = 0, 즉 (s - 6)(s + 18) = 0이다. 길이는 양수이므로 s = 6, 선택지 (B)이다.
대수에서 두 후보가 살아남지만, '바깥' 조건이 심판이 되어 18을 버리고 6을 남긴다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities그림을 그려 보라: 삼각형의 높이와 중심에서 현으로 가는 직선이 같은 직선이라 꼭짓점, 중점, 중심이 한 줄로 선다 — 그러면 직각삼각형 두 개와 '바깥'이라는 말이 변의 길이를 6으로 못 박는다.
- 그림을 그려 한 직선을 찾기
- 넓이를 반지름으로 바꾸기
- 현 위의 직각삼각형
- 정삼각형의 높이
- '바깥'을 써서 식 하나 세우기
- 어느 변의 길이가 맞는지 확인