AMC 10 · 2010 · #21

학년 7 probabilitynumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

probability-basicdivisibility-rulesdigit-decomposition casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1000부터 9999 사이의 네 자리 회문수(앞으로 읽으나 뒤로 읽으나 같은 수) 하나를 무작위로 고른다. 이 수가 7의 배수일 확률을 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{10}$

(B)

$\dfrac{1}{9}$

(C)

$\dfrac{1}{7}$

(D)

$\dfrac{1}{6}$

(E)

$\dfrac{1}{5}$

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

자유롭게 정할 수 있는 두 자리 숫자에 이름을 붙이면 모든 회문수가 하나의 식으로 표현된다. 그 식은 두 부분으로 나뉘고, 각 부분이 7로 나누어떨어지는지 확인하는 편이 90개의 수를 하나씩 시험하는 것보다 훨씬 쉽다. 그다음 성공하는 경우를 세어 전체로 나누면 확률이 나온다.

1STEP 1

회문수를 숫자로 나타내기

네 자리 회문수 abba는 1001a + 110b이고, a는 1~~9, b는 0~~9이므로 모두 90개이다.

abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b

2STEP 2

나누어떨어짐을 두 부분으로 쪼개기

1001 = 7 x 11 x 13이므로 1001a는 늘 7의 배수이고, 결국 110b만 나누어떨어짐을 정한다.

1001 = 7 × 11 × 13 → 7 ∣ 1001a (모든 a 에 대해)

3STEP 3

어떤 안쪽 숫자가 되는지 찾기

110b는 7로 나눈 나머지가 5b와 같고, 5b가 7의 배수인 것은 b = 0과 b = 7뿐이라 10개 중 2개다.

110b ≡ 5b (mod 7), 5b ≡ 0 (mod 7) ⇔ b ∈ {0, 7}

4STEP 4

성공 경우를 전체로 나누기

바깥 숫자 a는 자유로우니 90개 중 9 x 2 = 18개가 되어 확률은 18/90 = 1/5, 답은 (E)이다.

(9 × 2)/(9 × 10) = 18/90 = 1/5

정답

1/5

1001이 이미 7이라는 인수를 품고 있으므로 나누어떨어짐은 오직 안쪽 숫자 b 하나에만 달려 있고, 그 10개 값 중 2개가 성공한다. 10분의 2의 확률은 1/5이고 이는 보기 (E)와 일치한다. 확인 검산도 통과한다: 7007(a=7, b=0) = 7 x 1001, 1771(a=1, b=7) = 7 x 253은 둘 다 7로 나누어떨어지는 회문수이다.

💡핵심 정리

1001이 이미 7의 배수라서 가운데 숫자만 결과를 정하고, 그 10개 중 2개가 성공하므로 확률은 1/5이다.

회문수를 숫자로 나타내기
나누어떨어짐을 두 부분으로 쪼개기
어떤 안쪽 숫자가 되는지 찾기
성공 경우를 전체로 나누기

회문수를 숫자로 나타내기

나누어떨어짐을 두 부분으로 쪼개기

어떤 안쪽 숫자가 되는지 찾기

성공 경우를 전체로 나누기

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