AMC 10 · 2010 · #23
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AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"몇 가지 배열인가"는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 전형적인 신호다. 아홉 칸에 아홉 숫자를 무작정 나열하기에는 경우가 너무 많으므로, 먼저 도구 #14(극단의 원리)로 고정되는 칸을 못 박는다. 가장 작은 숫자는 왼쪽 위, 가장 큰 숫자는 오른쪽 아래에 강제되고, 가운데 값은 단 세 가지로 좁혀진다. 그러면 가운데 숫자를 기준으로 몇 개의 깔끔한 경우로 개수가 나뉜다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기). 각 경우 안에서는 남은 숫자들이 작은 순서 묶음으로 떨어지므로 곱셈 원리로 쉽게 센다. 마지막으로 도구 #5(패턴 찾기)로 한 경우를 그 거울상에 재사용해 계산을 절반으로 줄인다.
두 모서리 고정하기
칸 a는 나머지 여덟 숫자보다 모두 작으니 1, 칸 i는 여덟 숫자보다 모두 크니 9다.
전체에서 가장 작은 숫자는 그보다 작아야 할 것이 아무것도 없는 자리, 곧 왼쪽 위 모서리에만 올 수 있고, 가장 큰 숫자는 반대편 모서리에 온다.
1.NBT.B.3Extreme Principle가운데 값 가두기
가운데 e보다 작아야 할 칸이 a, b, d 셋, 커야 할 칸이 f, h, i 셋이므로 e는 4, 5, 6 중 하나다.
세 칸이 가운데보다 아래여야 하고 세 칸이 위여야 하므로, 가운데 숫자는 너무 작을 수도 너무 클 수도 없다.
1.NBT.B.3Extreme Principle가운데 숫자로 경우 나누기
가운데가 4인 경우, 5인 경우, 6인 경우를 따로 센 뒤 세 값을 더한다.
가운데의 기준값을 고정하면 하나의 어려운 개수 세기가 세 개의 작은 독립적인 세기로 바뀐다.
7.SP.C.8Identify Subproblems가운데 = 4 세기
b와 d가 2, 3을 두 가지로 담고, 5, 6, 7, 8 중 오른쪽 열에 갈 둘을 고르면 나머지는 정해져 12이다.
작은 숫자를 배치하고 나면, 남은 네 숫자를 순서가 정해진 쌍-쌍으로 나누는 것은 넷 중 둘을 고르는 일일 뿐이다.
3.OA.A.3Make A Systematic List대칭으로 가운데 = 6 세기
각 숫자 k를 10-k로 바꾸고 격자를 뒤집으면 가운데 4가 가운데 6과 일대일로 짝지어지므로 이 경우도 12이다.
"k를 10-k로 바꾸기" 규칙은 작은 값과 큰 값을 맞바꾸는 거울이어서, 모든 가운데-4 격자를 정확히 하나의 가운데-6 격자와 짝지어 준다.
각 숫자를 그 짝으로 바꾸는 것은 작은 것과 큰 것을 맞바꾸는 거울이다.
▸ 왜?
각 격자가 거울에 비친 격자 하나에 정확히 대응하므로, 두 무리의 크기가 같다.
▸ 왜?
그 거울은 배열의 짜임을 그대로 두므로, 올바른 격자는 올바른 격자로 옮겨 간다.
가운데 = 5 세기
b, d는 작은 숫자, f, h는 큰 숫자이고 c와 g 중 하나가 남은 작은 숫자를 맡아 각각 3 × 3 = 9이므로 18이다.
가운데-5 격자는 어느 대각선 칸이 작은 숫자를 담는지라는 자유도가 하나 더 있고, 각 선택은 정돈된 순서 삼중쌍 둘을 남긴다.
3.OA.A.3Make A Systematic List경우들 더하기
세 경우의 개수 12 + 18 + 12를 더하면 조건을 만족하는 격자는 모두 42이다.
세 가지 가운데 값은 겹침 없이 모든 격자를 덮으므로 개수를 그냥 더하면 된다.
2.NBT.B.5Make A Systematic List고정되는 칸부터 못 박자 — 왼쪽 위에 1, 오른쪽 아래에 9, 가운데는 4, 5, 6뿐이다 — 그다음 가운데 경우마다 따로 세면 12+18+12=42이다.
- 두 모서리 고정하기
- 가운데 값 가두기
- 가운데 숫자로 경우 나누기
- 가운데 = 4 세기
- 대칭으로 가운데 = 6 세기
- 가운데 = 5 세기
- 경우들 더하기