AMC 10 · 2010 · #25
학년 7 algebranumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #4 (변수 도입): P 를 직접 쫓지 말고 보조 다항식 Q(x)=P(x)-a 를 정의. 네 개의 홀수 근으로 인수분해하고, 정수 계수를 갖는 또 다른 미지 다항식 R(x)를 도입. 도구 #7 (쪼개기): 네 짝수 입력 2,4,6,8이 각각 2a 에 대한 별개의 나누어떨어짐 조건을 줌 — 하나씩 계산. 도구 #14 (극단의 원리): 가장 작은 a 는 네 분모의 최소공배수로 결정됨. 도구 #3 (가능성 지우기): 선택지가 서로 멀어서 단 하나의 나눗셈 실패로 105가 탈락하고 315가 최소임이 드러남.
근을 만들도록 이동
Q(x)=P(x)-a로 두면 1, 3, 5, 7에서 P가 a이므로 이 넷이 Q의 근이고, Q도 정수 계수이다.
공통값 a 를 빼면 네 홀수 입력이 인수분해할 수 있는 진짜 근이 된다.
6.EE.B.5Introduce A Variable네 근을 인수로 빼내기
최고차 계수가 1인 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)로 Q를 나누면 나머지 없이 정수 계수 몫 R(x)가 남는다.
각 정수 근 r 은 정수 계수를 유지한 채 인수 (x-r)을 빼낼 수 있게 한다.
정수인 근마다 인수를 하나씩 끌어낼 수 있으며, 계수는 정수로 남는다.
▸ 왜?
다항식이 0이 되는 곳은 인수 가운데 하나가 0인 곳이므로, 각 근이 인수 하나를 표시한다.
▸ 왜?
펼쳐서 같은 항끼리 견주면 남은 계수도 여전히 정수임이 드러난다.
짝수 입력 사용
x=2, 4, 6, 8에서는 P(x)=-a이므로, 인수분해된 부분이 각각 -2a와 같아야 한다.
각 짝수 입력에서 알려진 인수 곱이 -2a 를 흡수해야 하고, 그 결과 R 값이 정수로 남는다.
6.EE.A.2Identify Subproblems네 곱 계산
부호 있는 네 곱은 -15, 9, -15, 105이므로 -15R(2)=9R(4)=-15R(6)=105R(8)=-2a이다.
부호 있는 네 거리의 곱이 그 입력에서 2a 를 나누어야 하는 정확한 수를 준다.
7.NS.A.2Identify Subproblems나누어떨어짐 조건으로
각 R값이 정수여야 하므로 2a는 15, 9, 105로 모두 나누어떨어져야 한다 (x=6은 x=2와 같음).
출력이 정수라는 것은 각 분모가 2a 의 약수여야 한다는 뜻이다.
4.OA.B.4Identify Subproblems최소공배수로 최소화
lcm(9, 15, 105)=3²·5·7=315가 2a를 나누어야 하고, 315는 홀수이므로 a도 315의 배수다.
가장 작은 a 는 모든 분모의 최소공배수로 강제된다.
6.NS.B.4Extreme Principle확인하고 선택지 대조
a=315면 R(2)=42, R(4)=-70, R(6)=42, R(8)=-6으로 모두 정수라 유효한 P가 존재한다 — 선택지 (B).
a=315는 모든 나눗셈 조건을 만족하고 도달 가능하므로 더 작은 값은 불가능하다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities무서운 마지막 문제도 a 를 빼서 근을 만들고 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)을 빼낸 뒤, 정수 계수가 2a 를 lcm(9,15,105)=315 의 배수로 강제한다는 걸 보면 풀린다 — 7학년 약수·배수면 충분.
- 근을 만들도록 이동
- 네 근을 인수로 빼내기
- 짝수 입력 사용
- 네 곱 계산
- 나누어떨어짐 조건으로
- 최소공배수로 최소화
- 확인하고 선택지 대조