AMC 10 · 2010 · #25

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

polynomial-rootspolynomial-factoringlcmdivisibility-rules extreme-principle ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

$a > 0$ 이고, $P(x)$ 를 다음을 만족하는 정수 계수 다항식이라 하자.

$P(1) = P(3) = P(5) = P(7) = a$ ,
그리고
$P(2) = P(4) = P(6) = P(8) = -a$ .

$a$ 의 가능한 최솟값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

105

(B)

315

(C)

945

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정수 계수 다항식 $P(x)$ 가 $P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$ 와 $P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=-a$ 를 만족하고 $a>0$ 이다. $a$ 의 가능한 가장 작은 값은?

주어진 것: $P(x)$ 는 정수 계수를 가짐; $P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$; $P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=-a$; $a>0$; 선택지: (A) $105$, (B) $315$, (C) $945$, (D) $7!$, (E) $8!$

구하는 것: 그런 다항식 $P$ 가 존재하는 가장 작은 양의 정수 $a$

이해

문제 재정리: 정수 계수 다항식 $P(x)$ 가 $P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$ 와 $P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=-a$ 를 만족하고 $a>0$ 이다. $a$ 의 가능한 가장 작은 값은?

주어진 것: $P(x)$ 는 정수 계수를 가짐; $P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$; $P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=-a$; $a>0$; 선택지: (A) $105$, (B) $315$, (C) $945$, (D) $7!$, (E) $8!$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #14 극단의 원리, #3 가능성 지우기

도구 #4 (변수 도입): $P$ 를 직접 쫓지 말고 보조 다항식 $Q(x)=P(x)-a$ 를 정의. 네 개의 홀수 근으로 인수분해하고, 정수 계수를 갖는 또 다른 미지 다항식 $R(x)$ 를 도입. 도구 #7 (쪼개기): 네 짝수 입력 $2,4,6,8$ 이 각각 $2a$ 에 대한 별개의 나누어떨어짐 조건을 줌 — 하나씩 계산. 도구 #14 (극단의 원리): 가장 작은 $a$ 는 네 분모의 최소공배수로 결정됨. 도구 #3 (가능성 지우기): 선택지가 서로 멀어서 단 하나의 나눗셈 실패로 $105$ 가 탈락하고 $315$ 가 최소임이 드러남.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.5 단계 1

근을 만들도록 이동

새 다항식 $Q(x)=P(x)-a$ 를 정의한다.
$P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$ 이므로 $Q(1)=Q(3)=Q(5)=Q(7)=0$, 즉 $1,3,5,7$ 은 $Q$ 의 근이다.
$P$ 가 정수 계수이고 $a$ 가 정수이므로 $Q$ 도 정수 계수이다.

$$Q(x)=P(x)-a,\qquad Q(1)=Q(3)=Q(5)=Q(7)=0$$

💡 공통값 $a$ 를 빼면 네 홀수 입력이 인수분해할 수 있는 진짜 근이 된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 2

네 근을 인수로 빼내기

네 근이 네 인수를 준다.
$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$ 는 최고차 계수가 $1$ 인 정수 계수 다항식이므로, $Q$ 를 이것으로 나누면 나머지가 $0$ 이고 몫도 정수 계수 다항식 $R(x)$ 가 된다.
따라서 $Q(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)\,R(x)$, 즉 $P(x)=a+(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)\,R(x)$, 여기서 $R$ 은 정수 계수 다항식.

$$P(x)=a+(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)\,R(x),\quad R\in\mathbb{Z}[x]$$

💡 각 정수 근 $r$ 은 정수 계수를 유지한 채 인수 $(x-r)$ 을 빼낼 수 있게 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 3

짝수 입력 사용

$P(x)=-a$ 인 짝수 입력 $x=2,4,6,8$ 을 대입한다.
양변에서 $a$ 를 빼면 인수분해된 식이 각 점에서 $-2a$ 와 같아야 한다: $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)\,R(x)=-2a$.

$$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)\,R(x)=-2a\quad(x=2,4,6,8)$$

💡 각 짝수 입력에서 알려진 인수 곱이 $-2a$ 를 흡수해야 하고, 그 결과 $R$ 값이 정수로 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 4

네 곱 계산

각 짝수 입력에서 부호 있는 거리들의 곱을 계산: $x=2$ 에서 $(1)(-1)(-3)(-5)=-15$; $x=4$ 에서 $(3)(1)(-1)(-3)=9$; $x=6$ 에서 $(5)(3)(1)(-1)=-15$; $x=8$ 에서 $(7)(5)(3)(1)=105$.
따라서 $-15\,R(2)=-2a$, $9\,R(4)=-2a$, $-15\,R(6)=-2a$, $105\,R(8)=-2a$.

$$R(2)=\tfrac{2a}{15},\ R(4)=-\tfrac{2a}{9},\ R(6)=\tfrac{2a}{15},\ R(8)=-\tfrac{2a}{105}$$

💡 부호 있는 네 거리의 곱이 그 입력에서 $2a$ 를 나누어야 하는 정확한 수를 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 5

나누어떨어짐 조건으로

각 $R$ 값이 정수여야 하므로 모든 분모가 $2a$ 를 나누어야 한다: $15\mid 2a$, $9\mid 2a$, $105\mid 2a$ ($x=6$ 조건은 $x=2$ 조건과 같음).
이 조건들이 성립하면 $R(2),R(4),R(6),R(8)$ 가 정수가 되어 유효한 정수 다항식이 이를 지날 수 있으므로, 이것이 유일한 제약이다.

$$15\mid 2a,\qquad 9\mid 2a,\qquad 105\mid 2a$$

💡 출력이 정수라는 것은 각 분모가 $2a$ 의 약수여야 한다는 뜻이다.

#14 극단의 원리 6.NS.B.4 단계 6

최소공배수로 최소화

세 조건이 모두 성립하려면 $2a$ 가 $\operatorname{lcm}(9,15,105)$ 의 배수여야 한다.
$9=3^2$, $15=3\cdot5$, $105=3\cdot5\cdot7$ 이므로 최소공배수는 $3^2\cdot5\cdot7=315$.
따라서 $315\mid 2a$.
$315$ 는 홀수여서 인수 $2$ 를 공유하지 않으므로 $315\mid a$.
이런 가장 작은 양의 $a$ 는 $315$.

$$\operatorname{lcm}(9,15,105)=3^2\cdot5\cdot7=315,\quad 315\mid 2a\Rightarrow 315\mid a$$

💡 가장 작은 $a$ 는 모든 분모의 최소공배수로 강제된다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 7

확인하고 선택지 대조

$a=315$ 가 실제로 되는지 확인: 이때 $2a=630$ 이므로 $R(2)=42$, $R(4)=-70$, $R(6)=42$, $R(8)=-6$ 으로 모두 정수이고, 이 네 점을 지나는 정수 계수 다항식 $R$ 이 존재하므로 유효한 $P$ 가 존재한다.
따라서 $315$ 는 필요하면서도 도달 가능하고, $a$ 의 가장 작은 값은 $315$, 즉 선택지 (B).

$$a=315:\ R(2)=42,\ R(4)=-70,\ R(6)=42,\ R(8)=-6\ \checkmark$$

💡 $a=315$ 는 모든 나눗셈 조건을 만족하고 도달 가능하므로 더 작은 값은 불가능하다.

[1] #4 6.EE.B.5 새 다항식 $Q(x)=P(x)-a$ 를 정의한다. $P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$ 이므로 $Q(1)=Q(3)=Q(5)=Q(7)=0$,

[2] #4 6.EE.A.3 네 근이 네 인수를 준다. $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$ 는 최고차 계수가 $1$ 인 정수 계수 다항식이므로, $Q$ 를 이것으로 나

[3] #7 6.EE.A.2 $P(x)=-a$ 인 짝수 입력 $x=2,4,6,8$ 을 대입한다. 양변에서 $a$ 를 빼면 인수분해된 식이 각 점에서 $-2a$ 와 같아야 한

[4] #7 7.NS.A.2 각 짝수 입력에서 부호 있는 거리들의 곱을 계산: $x=2$ 에서 $(1)(-1)(-3)(-5)=-15$; $x=4$ 에서 $(3)(1)(-1)

[5] #7 4.OA.B.4 각 $R$ 값이 정수여야 하므로 모든 분모가 $2a$ 를 나누어야 한다: $15\mid 2a$, $9\mid 2a$, $105\mid 2a$ (

[6] #14 6.NS.B.4 세 조건이 모두 성립하려면 $2a$ 가 $\operatorname{lcm}(9,15,105)$ 의 배수여야 한다. $9=3^2$, $15=3\c

[7] #3 4.OA.B.4 $a=315$ 가 실제로 되는지 확인: 이때 $2a=630$ 이므로 $R(2)=42$, $R(4)=-70$, $R(6)=42$, $R(8)=-6

검토

합리성 확인: 가까운 선택지들을 나눗셈 조건에 대입해 본다. 선택지 (A) $105$: $2a=210$ 이고 $210/9$ 는 정수가 아니므로 $x=4$ 조건 $9\mid 2a$ 가 실패 — $105$ 는 두 번째 인수 $3$ 이 없다. 선택지 (C) $945$: $2a=1890$ 은 $9,15,105$ 로 모두 나누어떨어져 되지만 $945=3\times315$ 로 세 배 크다. 선택지 (D) $7!=5040$ 과 (E) $8!=40320$ 은 훨씬 더 크다. 따라서 모든 조건을 통과하는 최소값은 $315$ 이고, 명시적 구성 $R(2)=42,\ R(4)=-70,\ R(6)=42,\ R(8)=-6$ 과 일치한다.

대안 접근: 도구 #5 (패턴 찾기) — 계차. 여덟 값은 등간격 입력 $1,\ldots,8$ 에 놓여 있고 $a,-a,a,-a,\ldots$ 로 교대한다. 이 자료의 연속 계차표를 만들면 정수 계수 조건이 각 $k$ 차 계차를 대응하는 계승형 인수로 나누어떨어지게 요구하고, 결정적 조건은 다시 $2a$ 가 $315$ 의 배수라는 것으로 귀결된다. 인수분해 대신 자료를 계차 내어 같은 답에 도달.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.5 방정식·부등식 풀이를 값을 찾는 과정으로 이해하기 ($x=1,3,5,7$ 이 $Q(x)=P(x)-a$ 를 $0$ 으로 만드는 값, 즉 근임을 인식.)
6.EE.A.3 연산 성질을 적용해 동치 식 만들기 ($Q(x)$ 를 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)R(x)$ 로 인수분해하고 $P(x)$ 를 인수분해 형태로 다시 쓰기.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 ($P$ 의 인수분해 형태를 짝수 입력 $x=2,4,6,8$ 에서 계산.)
7.NS.A.2 유리수의 곱셈·나눗셈 이해 확장·적용 (부호 있는 곱 $(1)(-1)(-3)(-5)=-15$ 등과 그로 인한 $R$ 의 몫 계산.)
4.OA.B.4 약수쌍 찾기·배수 인식·소수/합성수 판별 (정수 값 요구를 나눗셈 조건 $15\mid 2a$, $9\mid 2a$, $105\mid 2a$ 로 바꾸고 $105$ 를 제거.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 구하기 (조건들을 $\operatorname{lcm}(9,15,105)=315$ 로 결합해 가장 작은 $a$ 찾기.)

⭐ 무서운 마지막 문제도 $a$ 를 빼서 근을 만들고 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$ 을 빼낸 뒤, 정수 계수가 $2a$ 를 $\operatorname{lcm}(9,15,105)=315$ 의 배수로 강제한다는 걸 보면 풀린다 — 7학년 약수·배수면 충분.