AMC 10 · 2010 · #6
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
구하려는 각 ∠ CAB는 삼각형 OAC의 두 밑각 중 하나이다. 깔끔한 방법은 도구 #4(변수 도입하기)로, 그 밑각을 x라 놓는 것이다. OA와 OC가 모두 반지름이므로 삼각형 OAC는 이등변삼각형이고, 따라서 다른 밑각도 저절로 x가 된다 — 변수 하나가 두 각을 담는다. 도구 #1(그림 그리기)은 그림이 일을 하게 만든다. 반지름 OC를 그으면 이등변삼각형이 드러나고, A, O, B가 한 직선 위에 있음을 보면 평각 관계가 드러난다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눈다 — 먼저 직선에서 ∠ AOC를 정하고, 그다음 삼각형의 각의 합으로 x를 구한다.
밑각을 x로 놓기
반지름 OC를 그으면 OA = OC인 이등변삼각형 OAC가 생긴다. x = ∠ CAB로 놓으면 ∠ OCA도 x이다.
같은 두 반지름이 두 밑각을 같게 만들므로, 문자 x 하나가 두 각을 모두 나타낸다.
8.G.A.5Introduce A VariableO에서의 직선 이용하기
AB가 지름이므로 ∠ AOC와 ∠ COB는 O에서 평각을 이룬다. 따라서 ∠ AOC = 180° - 50° = 130°이다.
직선은 180°의 각이므로, OC 양옆의 두 조각은 다시 합해서 180°가 되어야 한다.
직선은 평각이므로, 양옆의 두 조각을 더하면 그것이 되어야 한다.
▸ 왜?
직선의 한쪽을 채우는 각의 합은 언제나 평각이다.
▸ 왜?
같은 두 반지름은 두 밑각을 같게 만드므로, 문자 하나가 둘 다를 나타낸다.
각의 합 방정식 풀기
삼각형 OAC의 각의 합은 180°이므로 x + x + 130° = 180°, 즉 2x = 50°, ∠ CAB = 25°이다.
꼭대기 각이 정해지면 남은 50°가 같은 두 밑각에 똑같이 나뉜다.
8.G.A.5Introduce A Variable두 반지름이 이등변삼각형을 만들어 아래 두 각이 같아지니, 직선에서 꼭대기 각을 구하고 남은 각을 반으로 나누면 25°가 된다.
- 밑각을 x로 놓기
- O에서의 직선 이용하기
- 각의 합 방정식 풀기