AMC 10 · 2010 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

inscribed-angleisosceles-triangleangle-sum-triangle convert-to-algebra ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

중심이 $O$ 인 원에서 $\overline{AB}$ 는 지름이고, $C$ 는 $\angle COB = 50^\circ$ 를 만족하는 원 위의 점이다. $\angle CAB$ 의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 중심이 $O$인 원이 있고 $\overline{AB}$는 지름이므로 $A$, $O$, $B$는 한 직선 위에 있다. 원 위의 또 다른 점 $C$가 있고, 중심각 $\angle COB$의 크기는 $50^\circ$이다. 삼각형 $ABC$에서 꼭짓점 $A$의 각인 $\angle CAB$의 크기를 구한다.

주어진 것: $O$는 원의 중심이다.; $\overline{AB}$는 지름이므로 $A$, $O$, $B$는 한 직선 위에 있고 $OA$, $OB$, $OC$는 모두 반지름이다.; $C$는 원 위의 점이고 $\angle COB = 50^\circ$이다.; 선택지: (A) $20$, (B) $25$, (C) $45$, (D) $50$, (E) $65$.

구하는 것: $\angle CAB$의 각도.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

구하려는 각 $\angle CAB$는 삼각형 $OAC$의 두 밑각 중 하나이다. 깔끔한 방법은 도구 #4(변수 도입하기)로, 그 밑각을 $x$라 놓는 것이다. $OA$와 $OC$가 모두 반지름이므로 삼각형 $OAC$는 이등변삼각형이고, 따라서 다른 밑각도 저절로 $x$가 된다 — 변수 하나가 두 각을 담는다. 도구 #1(그림 그리기)은 그림이 일을 하게 만든다. 반지름 $OC$를 그으면 이등변삼각형이 드러나고, $A$, $O$, $B$가 한 직선 위에 있음을 보면 평각 관계가 드러난다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눈다 — 먼저 직선에서 $\angle AOC$를 정하고, 그다음 삼각형의 각의 합으로 $x$를 구한다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 1

밑각을 x로 놓기

반지름 $OC$를 긋는다.
이제 삼각형 $OAC$를 보자.
변 $OA$와 $OC$는 모두 같은 원의 반지름이므로 $OA = OC$이고 이 삼각형은 이등변삼각형이다.
이등변삼각형에서 같은 변의 맞은편 두 각은 서로 같으므로 $A$에서의 각과 $C$에서의 각은 같다.
$x = \angle CAB$라 하면 $\angle OCA = x$도 성립한다.

$$OA = OC \;\Rightarrow\; \angle OCA = \angle OAC = x$$

💡 같은 두 반지름이 두 밑각을 같게 만들므로, 문자 $x$ 하나가 두 각을 모두 나타낸다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 2

O에서의 직선 이용하기

$\overline{AB}$가 지름이므로 $A$, $O$, $B$는 한 직선 위에 있다.
따라서 $\angle AOC$와 $\angle COB$는 $O$에서 평각을 함께 채우는 이웃한 각이고 서로 보각이다.
$\angle COB = 50^\circ$이므로 $\angle AOC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$이다.

$$\angle AOC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$$

💡 직선은 $180^\circ$의 각이므로, $OC$ 양옆의 두 조각은 다시 합해서 $180^\circ$가 되어야 한다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 3

각의 합 방정식 풀기

삼각형 $OAC$의 세 각의 합은 $180^\circ$이다.
그중 둘은 밑각 $x$이고, 나머지 하나는 $\angle AOC = 130^\circ$이다.
따라서 $x + x + 130^\circ = 180^\circ$이고, 이로부터 $2x = 50^\circ$, $x = 25^\circ$를 얻는다.
그러므로 $\angle CAB = 25^\circ$이고, 답은 $\textbf{(B)}\ 25$이다.

$$x + x + 130^\circ = 180^\circ \;\Rightarrow\; 2x = 50^\circ \;\Rightarrow\; x = 25^\circ$$

💡 꼭대기 각이 정해지면 남은 $50^\circ$가 같은 두 밑각에 똑같이 나뉜다.

[1] #4 8.G.A.5 반지름 $OC$를 긋는다. 이제 삼각형 $OAC$를 보자. 변 $OA$와 $OC$는 모두 같은 원의 반지름이므로 $OA = OC$이고 이 삼각형

[2] #7 7.G.B.5 $\overline{AB}$가 지름이므로 $A$, $O$, $B$는 한 직선 위에 있다. 따라서 $\angle AOC$와 $\angle COB$

[3] #4 8.G.A.5 삼각형 $OAC$의 세 각의 합은 $180^\circ$이다. 그중 둘은 밑각 $x$이고, 나머지 하나는 $\angle AOC = 130^\cir

검토

합리성 확인: 원주각 개념으로 확인하자. $\angle CAB$는 호 $BC$ 위에 선 원주각이고, $\angle COB$는 같은 호 위에 선 중심각이다. 원주각은 항상 같은 호 위의 중심각의 절반이므로 $\angle CAB = \tfrac{1}{2}(50^\circ) = 25^\circ$ — 우리가 구한 값과 정확히 같다. 또한 $\angle CAB = 25^\circ$가 중심각 $50^\circ$보다 작다는 것도 자연스럽다. 이는 (B)와 일치한다.

대안 접근: 외각 정리를 바로 쓸 수도 있다. 삼각형 $OAC$에서 $\angle COB$는 꼭짓점 $O$에서의 외각이다($B$는 변 $AO$를 $O$ 너머로 연장한 방향이므로). 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같으므로 $\angle COB = \angle OAC + \angle OCA = x + x = 2x$이다. 그러면 $2x = 50^\circ$에서 $x = 25^\circ$가 한 줄로 나오고, 평각 단계가 필요 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 삼각형의 각의 합과 외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 확립하기 (이등변삼각형의 두 밑각이 같음을 논증하고, 삼각형 $OAC$의 세 각의 합이 $180^\circ$임을 이용해 $2x + 130^\circ = 180^\circ$을 푸는 데 사용.)
7.G.B.5 보각, 여각, 맞꼭지각, 이웃한 각에 관한 사실 이용하기 ($\angle AOC$와 $\angle COB$가 지름을 따라 보각임을 인식해 $\angle AOC = 130^\circ$을 얻는 데 사용.)

⭐ 두 반지름이 이등변삼각형을 만들어 아래 두 각이 같아지니, 직선에서 꼭대기 각을 구하고 남은 각을 반으로 나누면 $25^\circ$가 된다.