AMC 10 · 2010 · #8
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
몇 가지 가격이 가능한지 묻고 있으므로, 먼저 가능한 가격이라면 반드시 지켜야 할 규칙을 확실히 잡고, 그 규칙을 만족하는 수를 모두 나열해 개수를 센다. 가격 곱하기 표의 정수 장수가 총액이 되므로, 가격은 각 총액을 나누어떨어지게 해야 한다. 두 총액을 모두 나누는 수를 나열하면 문제가 짧고 확인 가능한 목록으로 바뀐다.
가격이 48을 나눔
9학년이 산 표의 장수를 t라 하면 48 = t × x이고, t가 자연수이므로 x는 48의 약수이다.
돈이 정수 장수의 표로 나뉘려면, 가격이 총액을 나머지 없이 나눠야 한다.
돈이 온전한 표들로 나뉜다면, 표값은 총액을 딱 나누어야 한다.
▸ 왜?
그렇지 않으면 나머지가 남는데, 그것은 온전한 표를 사지 못하는 돈이다.
▸ 왜?
약수는 곱해서 총액이 되는 짝으로 오므로, 후보인 값이 짧고 닫힌 목록이 된다.
가격이 64을 나눔
10학년도 마찬가지로 64 = s × x이고 s가 자연수이므로, x는 64의 약수이기도 하다.
하나의 가격이 두 총액에 모두 맞아야 하므로, 두 총액을 다 나눠야 한다.
4.OA.B.4Introduce A Variable공약수 나열
따라서 x는 48과 64의 공약수이다. 각각의 약수를 써 본 뒤 두 목록에 함께 있는 수만 남긴다.
가능한 가격은 두 약수 목록에 동시에 들어 있어야 한다.
4.OA.B.4Make A Systematic List값의 개수 세기
두 총액을 모두 나누는 수는 1, 2, 4, 8, 16이고, 가능한 가격은 5 가지이므로 정답은 (E)이다.
공통 약수를 세는 것이 곧 가능한 가격의 개수이다.
4.OA.B.4Make A Systematic List표 가격은 각 무리의 총액을 정확히 나눠야 하므로, 두 총액에 모두 나누어떨어지는 수를 세기만 하면 된다.
- 가격이 48을 나눔
- 가격이 64을 나눔
- 공약수 나열
- 값의 개수 세기