AMC 10 · 2010 · #8

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

factorsdivisibility-rulesgcd systematic-enumeration ↑ 선수 지식: factors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어느 학교 연극의 입장권 한 장의 가격은 $x$ 달러이며, 여기서 $x$ 는 자연수이다. 9학년 학생들로 이루어진 한 무리는 입장권을 사는 데 총 $48$를 썼고, 10학년 학생들로 이루어진 한 무리는 총$ 64 $를 썼다.$ x$의 가능한 값은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 표 한 장의 가격 x는 자연수(달러)이다. 한 무리는 표를 사는 데 모두 $48을 썼고, 다른 무리는 모두 $64을 썼다. 이 두 금액을 모두 가능하게 만드는 표 가격 x가 몇 가지인지 세어라.

주어진 것: 표 가격 x는 자연수(달러)이다.; 9학년 학생들은 모두 $48을 썼다.; 10학년 학생들은 모두 $64을 썼다.

구하는 것: 가능한 x의 값이 몇 가지인지.

이해

주어진 것: 표 가격 x는 자연수(달러)이다.; 9학년 학생들은 모두 $48을 썼다.; 10학년 학생들은 모두 $64을 썼다.

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #8 단위 살펴보기

몇 가지 가격이 가능한지 묻고 있으므로, 먼저 가능한 가격이라면 반드시 지켜야 할 규칙을 확실히 잡고, 그 규칙을 만족하는 수를 모두 나열해 개수를 센다. 가격 곱하기 표의 정수 장수가 총액이 되므로, 가격은 각 총액을 나누어떨어지게 해야 한다. 두 총액을 모두 나누는 수를 나열하면 문제가 짧고 확인 가능한 목록으로 바뀐다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 1

가격이 $48을 나눔

9학년 학생들이 산 표의 장수를 t라 하자.
이들이 쓴 돈은 가격 곱하기 표의 장수이므로 48 = t 곱하기 x 이다.
t가 자연수이므로 x는 48을 정확히 나누어떨어지게 해야 한다.

$$48 = t \times x \implies x \mid 48$$

💡 돈이 정수 장수의 표로 나뉘려면, 가격이 총액을 나머지 없이 나눠야 한다.

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 2

가격이 $64을 나눔

10학년 학생들에게도 같은 논리가 적용된다.
이들이 s장을 샀다면 64 = s 곱하기 x이고 s는 자연수이므로, x는 64도 정확히 나누어떨어지게 해야 한다.

$$64 = s \times x \implies x \mid 64$$

💡 하나의 가격이 두 총액에 모두 맞아야 하므로, 두 총액을 다 나눠야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

공약수 나열

따라서 x는 48의 약수이면서 동시에 64의 약수여야 한다.
각각의 약수를 모두 써 본 뒤, 두 목록에 함께 나타나는 수만 남긴다.

48:\ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 \qquad 64:\ 1,2,4,8,16,32,64 \qquad \text{공통: } 1,2,4,8,16

💡 가능한 가격은 두 약수 목록에 동시에 들어 있어야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

값의 개수 세기

두 총액을 모두 나누는 수는 1, 2, 4, 8, 16이다.
가능한 표 가격이 5가지이므로 정답은 (E)이다.

\{1,2,4,8,16\} \Rightarrow 5 \text{ 가지}

💡 공통 약수를 세는 것이 곧 가능한 가격의 개수이다.

[1] #4 4.OA.B.4 9학년 학생들이 산 표의 장수를 t라 하자. 이들이 쓴 돈은 가격 곱하기 표의 장수이므로 48 = t 곱하기 x 이다. t가 자연수이므로 x는

[2] #4 4.OA.B.4 10학년 학생들에게도 같은 논리가 적용된다. 이들이 s장을 샀다면 64 = s 곱하기 x이고 s는 자연수이므로, x는 64도 정확히 나누어떨어지

[3] #2 4.OA.B.4 따라서 x는 48의 약수이면서 동시에 64의 약수여야 한다. 각각의 약수를 모두 써 본 뒤, 두 목록에 함께 나타나는 수만 남긴다.

[4] #2 4.OA.B.4 두 총액을 모두 나누는 수는 1, 2, 4, 8, 16이다. 가능한 표 가격이 5가지이므로 정답은 (E)이다.

검토

합리성 확인: 나열한 각 가격이 실제로 성립한다. 예를 들어 x = 16이면 9학년은 3장($48), 10학년은 4장($64)을 사며 둘 다 정수 장수이다. 반면 5 같은 가격은 48이 5의 배수가 아니므로 안 되고, 따라서 아무 작은 수나 되는 것이 아니라 공통 약수 5개만 된다. 5는 보기 (E)와 일치한다.

대안 접근: 48과 64을 모두 나누는 수는 바로 두 수의 최대공약수의 약수와 같다. 48과 64의 최대공약수는 16이고, 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16으로 역시 5가지이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (가격이 각 총액의 약수여야 함을 알아차리고, 48과 64의 약수를 나열해 공통 약수를 찾는 데 사용.)

⭐ 표 가격은 각 무리의 총액을 정확히 나눠야 하므로, 두 총액에 모두 나누어떨어지는 수를 세기만 하면 된다.